人教版（2024）五年級下冊4 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)約分約分課后作業(yè)題

這是一份人教版（2024）五年級下冊4 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)約分約分課后作業(yè)題，共16頁。試卷主要包含了能化簡成34等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2024秋?長春期末）12和21的最大公因數(shù)是（ ）
A．2B．3C．12D．21
2．（2024秋?皇姑區(qū)期末）a和b都是非零自然數(shù)，a÷b＝1……1，那么a和b的最大公因數(shù)是（ ）
A．1B．a(chǎn)bC．a(chǎn)D．b
3．（2024秋?大東區(qū)期末）下面選項中，能約分成45的是（ ）
A．1012B．1015C．1620D．2425
4．（2024秋?寶安區(qū)期末）下面哪組數(shù)的最大公因數(shù)是4？（ ）
A．2和4B．4和8C．6和24D．1和4
5．（2024秋?金水區(qū)期末）下面幾個分?jǐn)?shù)，（ ）能化簡成34。
A．1216B．1524C．2748
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?灞橋區(qū)期末）分?jǐn)?shù)1016中，分子與分母的最大公因數(shù)是 ，最小公倍數(shù)是 ，將這個分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)是 。
7．（2024秋?金牛區(qū)期末）數(shù)A＝2×3×11，數(shù)B＝3×5×11，那數(shù)A與數(shù)B的最大公因數(shù)是 。
8．（2024春?槐蔭區(qū)期末）915約分后是 ，約分后的分?jǐn)?shù)單位是 ，它有 個這樣的分?jǐn)?shù)單位，再加上 個這樣的分?jǐn)?shù)單位就是最小的合數(shù)。
9．（2024春?慈利縣期中）已知a＝5b（a、b均不為0），那么a和b的最大公因數(shù)是 。
10．（2024?茌平區(qū)）如果m和n是相鄰的兩個非零自然數(shù)，那么m和n的最大公因數(shù)是 。
三．判斷題（共5小題）
11．（2024?邵陽）a、b都是非0自然數(shù)，且a＝3b。a和b的最大公因數(shù)是b。
12．（2024春?鎮(zhèn)雄縣期末）當(dāng)非零自然數(shù)a和b的公因數(shù)只有1時，a和b的最小公倍數(shù)一定是ab。
13．（2024春?信宜市期末）如果自然數(shù)a是b的倍數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是b．
14．（2024春?岳池縣期末）將4572約分成分?jǐn)?shù)單位為18的分?jǐn)?shù)，約分結(jié)果是58。
15．（2024春?順慶區(qū)期末）如果m﹣n＝1（m、n為非零自然數(shù)），那么m、n的最大公因數(shù)是1。
四．計算題（共1小題）
16．（2024秋?皇姑區(qū)期末）分?jǐn)?shù)化簡?！緦懗龌嗊^程】
五．應(yīng)用題（共4小題）
17．（2024春?汝南縣期中）新年到了，爸爸用微信給年年發(fā)了一個紅包。紅包里的錢既是48的因數(shù)，也是54的因數(shù)，爸爸給年年發(fā)的紅包可能是多少元？
18．（2024春?齊河縣期中）把一張長120厘米、寬100厘米的長方形裁成大小相等的正方形，紙無剩余，至少能裁成多少個正方形？
19．（2022秋?金水區(qū)期末）插花師計劃用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵數(shù)相同，玫瑰的朵數(shù)也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？這時每束花中有多少朵花？
20．（2023春?婁底期末）數(shù)學(xué)閱讀。
在我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，就介紹了“約分術(shù)”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約。”意思是說：如果分子、分母全是偶數(shù)，就先除以2；否則以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，把所得的差與上一步中的減數(shù)比較，并再以大數(shù)減去小數(shù)，如此重復(fù)進(jìn)行下去，當(dāng)差與減數(shù)相等即出現(xiàn)“等數(shù)”時，用這個等數(shù)約分，這種方法被后人稱為“更相減損術(shù)”。
試著用這個方法對分?jǐn)?shù)2842，102153進(jìn)行約分。
六．解答題（共2小題）
21．（2024春?遷安市期末）求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。
36和60
54和72
22．（2024?京口區(qū)）數(shù)學(xué)辯論題．
觀察下面的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：3與5互質(zhì)，5與8互質(zhì)，3與8也互質(zhì)；4與7互質(zhì)，7與9互質(zhì)，4與9也互質(zhì)……正方：根據(jù)上述現(xiàn)象，可得出這樣一個結(jié)論：若A與B互質(zhì)，B與C互質(zhì)，則A與C一定互質(zhì)．
你（作為反方）是否認(rèn)同正方觀點？如果不同意，請舉例予以辯論．
約分
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?長春期末）12和21的最大公因數(shù)是（ ）
A．2B．3C．12D．21
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】推理能力．
【答案】B
【分析】兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連成積為兩個數(shù)的最大公因數(shù)；如果兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，較小的數(shù)為最大公因數(shù)；如果兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)為1，據(jù)此解答。
【解答】解：12＝2×2×3
21＝3×7
12和21的最大公因數(shù)是3。
故選：B。
【點評】本題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法。
2．（2024秋?皇姑區(qū)期末）a和b都是非零自然數(shù)，a÷b＝1……1，那么a和b的最大公因數(shù)是（ ）
A．1B．a(chǎn)bC．a(chǎn)D．b
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】運算能力．
【答案】A
【分析】通過已知除法算式得出a與b的關(guān)系，再根據(jù)兩個數(shù)的關(guān)系確定它們的最大公因數(shù)。
【解答】解：a÷b＝1……1，那么a＝1×b+1＝b+1，所以a和b是相鄰的兩個非0自然數(shù)，相鄰的兩個非0自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，互質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)是1。
所以a和b的最大公因數(shù)是1。
故選：A。
【點評】本題考查了有余數(shù)的除法以及最大公因數(shù)的求法。
3．（2024秋?大東區(qū)期末）下面選項中，能約分成45的是（ ）
A．1012B．1015C．1620D．2425
【考點】約分．
【專題】綜合題；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】C
【分析】把一個分?jǐn)?shù)的分子和分母同時除以它們的最大公因數(shù)，即可把這個分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)。
【解答】解：A.1012=10÷212÷2=56
B.1015=10÷515÷5=23
C.1620=16÷420÷4=45
D.2425是最簡分?jǐn)?shù)。
故選：C。
【點評】此題考查了約分的知識，要求學(xué)生掌握。
4．（2024秋?寶安區(qū)期末）下面哪組數(shù)的最大公因數(shù)是4？（ ）
A．2和4B．4和8C．6和24D．1和4
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】運算能力．
【答案】B
【分析】兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最大公因數(shù)是較小的數(shù)；據(jù)此分別求出各選項的最大公因數(shù)即可判斷。
【解答】解：A.2和4的最大公因數(shù)是2；
B.4和8的最大公因數(shù)是4；
C.6和24的最大公因數(shù)是6；
D.1和4的最大公因數(shù)是1。
故選：B。
【點評】熟練掌握求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。
5．（2024秋?金水區(qū)期末）下面幾個分?jǐn)?shù)，（ ）能化簡成34。
A．1216B．1524C．2748
【考點】約分．
【專題】運算能力．
【答案】A
【分析】將選項中的三個分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)，看哪個分?jǐn)?shù)能化簡成34即可。
【解答】解：1216=34，1524=58，2748=916。
故選：A。
【點評】解答本題需熟練掌握利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化簡分?jǐn)?shù)的方法，靈活解答。
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?灞橋區(qū)期末）分?jǐn)?shù)1016中，分子與分母的最大公因數(shù)是 2 ，最小公倍數(shù)是 80 ，將這個分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)是 58 。
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法；約分．
【專題】數(shù)的運算；運算能力．
【答案】2，80，58。
【分析】把分子和分母分別分解質(zhì)因數(shù)，求出最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，分子與分母分別除以最大公因數(shù)，化簡分?jǐn)?shù)。
【解答】解：10＝2×5
16＝2×2×2×2
最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是2×2×2×2×5＝80。
分?jǐn)?shù)1016中，分子與分母的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是80，將這個分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)58。
故答案為：2，80，58。
【點評】熟悉求最大公因數(shù)與求最小公倍數(shù)的方法是解決本題的關(guān)鍵。
7．（2024秋?金牛區(qū)期末）數(shù)A＝2×3×11，數(shù)B＝3×5×11，那數(shù)A與數(shù)B的最大公因數(shù)是 33 。
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】運算能力．
【答案】33。
【分析】公因數(shù)，是一個能被若干個整數(shù)同時均整除的整數(shù)。如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的因數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公因數(shù)”；公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)。
可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法求最大公因數(shù)：兩個數(shù)全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。
【解答】解：A與B共有的質(zhì)因數(shù)是3和11
最大公因數(shù)：3×11＝33
數(shù)A與數(shù)B的最大公因數(shù)是33。
故答案為：33。
【點評】本題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答。
8．（2024春?槐蔭區(qū)期末）915約分后是 35 ，約分后的分?jǐn)?shù)單位是 15 ，它有 3 個這樣的分?jǐn)?shù)單位，再加上 17 個這樣的分?jǐn)?shù)單位就是最小的合數(shù)。
【考點】約分；合數(shù)與質(zhì)數(shù)的初步認(rèn)識．
【專題】數(shù)感．
【答案】35，15，3，17。
【分析】915的分子、分母含有公因數(shù)3，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子、分母都除以3即可將此分?jǐn)?shù)約分；約分后的分?jǐn)?shù)是35，表示把單位“1”平均分成5份，每份是15，35表示其中3份。根據(jù)分?jǐn)?shù)單位的意義，把單位“1”平均分成若干份，表示其中1份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。因此，約分后的分?jǐn)?shù)單位是15，它有3個這樣的分?jǐn)?shù)單位。最小的合數(shù)是4，4=205，即20個這樣的分?jǐn)?shù)單位是最小的合數(shù)，再加上（20﹣3）個，即17個這樣的分?jǐn)?shù)單位就是最小的合數(shù)。
【解答】解：915約分后是35，約分后的分?jǐn)?shù)單位是15，它有3個這樣的分?jǐn)?shù)單位，再加上17個這樣的分?jǐn)?shù)單位就是最小的合數(shù)。
故答案為：35，15，3，17。
【點評】此題考查的知識點：分?jǐn)?shù)的約分、分?jǐn)?shù)單位的意義、合數(shù)的意義等。
9．（2024春?慈利縣期中）已知a＝5b（a、b均不為0），那么a和b的最大公因數(shù)是 b 。
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】應(yīng)用意識．
【答案】b。
【分析】如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么較小數(shù)是它們的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】解：因為a＝5b，即a÷b＝5，即a是b的倍數(shù)，所以它們的最大公因數(shù)是較小的那個數(shù)b。
故答案為：b。
【點評】此題主要考查了求兩個成倍數(shù)關(guān)系的數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公因數(shù)。
10．（2024?茌平區(qū)）如果m和n是相鄰的兩個非零自然數(shù)，那么m和n的最大公因數(shù)是 1 。
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】綜合填空題；應(yīng)用意識．
【答案】1。
【分析】根據(jù)m和n是相鄰的兩個非零自然數(shù)，他們最大公因數(shù)是1進(jìn)行填空。
【解答】解：如果m和n是相鄰的兩個非零自然數(shù)，那么m和n的最大公因數(shù)是1。
故答案為：1。
【點評】本題考查的主要內(nèi)容是最大公因數(shù)的應(yīng)用問題。
三．判斷題（共5小題）
11．（2024?邵陽）a、b都是非0自然數(shù)，且a＝3b。a和b的最大公因數(shù)是b。 √
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】推理能力．
【答案】√
【分析】如果兩個數(shù)中小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。據(jù)此解答。
【解答】解：從a＝3b可知，a÷b＝3，a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)，所以a和b的最大公因數(shù)是b。原說法正確。
故答案為：√。
【點評】本題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，注意倍數(shù)關(guān)系的最大公因數(shù)是較小數(shù)。
12．（2024春?鎮(zhèn)雄縣期末）當(dāng)非零自然數(shù)a和b的公因數(shù)只有1時，a和b的最小公倍數(shù)一定是ab。 √
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】√
【分析】當(dāng)非零自然數(shù)a和b的公因數(shù)只有1時，a和b是互質(zhì)數(shù)，兩個數(shù)互質(zhì)，則它們的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。
【解答】解：當(dāng)非零自然數(shù)a和b的公因數(shù)只有1時，a和b是互質(zhì)數(shù)，所以a和b的最小公倍數(shù)是ab。
所以原題說法正確。
故答案為：√。
【點評】明確當(dāng)非零自然數(shù)a和b的公因數(shù)只有1時，a和b是互質(zhì)數(shù)是解題的關(guān)鍵。
13．（2024春?信宜市期末）如果自然數(shù)a是b的倍數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是b． √
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】數(shù)的整除．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，最大公因數(shù)是較小的那個數(shù)；據(jù)此解答．
【解答】解：因為自然數(shù)a是b的倍數(shù)，所以最大公因數(shù)是b．
所以如果自然數(shù)a是b的倍數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是b說法正確．
故答案為：√．
【點評】考查了求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)．
14．（2024春?岳池縣期末）將4572約分成分?jǐn)?shù)單位為18的分?jǐn)?shù)，約分結(jié)果是58。 √
【考點】約分．
【專題】綜合判斷題；應(yīng)用意識．
【答案】√
【分析】約分的方法：（1）逐步約分法。用分子和分母的公因數(shù)（1除外）去除，直到除到分子和分母只有公因數(shù)1為止。（2）一次約分法。直接用分子和分母的最大公因數(shù)（1除外）去除。
【解答】解：4572=58
將4572約分成分?jǐn)?shù)單位為18的分?jǐn)?shù)，約分結(jié)果是58。
原題說法正確。
故答案為：√。
【點評】本題考查的主要內(nèi)容是約分的應(yīng)用問題。
15．（2024春?順慶區(qū)期末）如果m﹣n＝1（m、n為非零自然數(shù)），那么m、n的最大公因數(shù)是1。 √
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】運算能力；推理能力．
【答案】√
【分析】相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)，互質(zhì)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1。據(jù)此判斷即可。
【解答】解：如果m﹣n＝1（m、n為非零自然數(shù)），那么m、n的最大公因數(shù)是1。原題說法正確。
故答案為：√。
【點評】本題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法的應(yīng)用。
四．計算題（共1小題）
16．（2024秋?皇姑區(qū)期末）分?jǐn)?shù)化簡?！緦懗龌嗊^程】
【考點】約分；分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)．
【專題】分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】（1）32；（2）25；（3）73。
【分析】分?jǐn)?shù)的分子和分母同時除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，據(jù)此化簡即可。
【解答】解：（1）9664=96÷1664÷16=64=6÷24÷2=32
（2）3895=38÷1995÷19=25
（3）9139=91÷1339÷13=73
【點評】本題考查了利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)約分的方法。
五．應(yīng)用題（共4小題）
17．（2024春?汝南縣期中）新年到了，爸爸用微信給年年發(fā)了一個紅包。紅包里的錢既是48的因數(shù)，也是54的因數(shù)，爸爸給年年發(fā)的紅包可能是多少元？
【考點】因數(shù)、公因數(shù)和最大公因數(shù)．
【專題】常規(guī)題型；能力層次．
【答案】1，2，3，6。
【分析】紅包里的錢既是48的因數(shù)，也是54的因數(shù)，實際就求48和54的公因數(shù)，分別將48和54的因數(shù)都寫出來，再找出公因數(shù)即可。
【解答】解：48的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
54的因數(shù)有1、2、3、6、9、18、27、54；
所以48和54的公因數(shù)有：1，2，3，6。
答：爸爸給年年發(fā)的紅包可能是1元、2元、3元、6元。
【點評】熟練掌握求兩個數(shù)的公因數(shù)的方法是解決此題的關(guān)鍵。
18．（2024春?齊河縣期中）把一張長120厘米、寬100厘米的長方形裁成大小相等的正方形，紙無剩余，至少能裁成多少個正方形？
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先求120、100的最大公因數(shù)，確定正方形的邊長，再求裁成的正方形的個數(shù)．
【解答】解：120＝2×2×2×3×5，
100＝2×2×5×5，
2×2×5＝20（厘米），
120×100÷（20×20）
＝12000÷400，
＝30（個），
答：至少能裁成30個正方形．
【點評】此題主要考查學(xué)生應(yīng)用最大公因數(shù)的求法解決實際問題的能力．
19．（2022秋?金水區(qū)期末）插花師計劃用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵數(shù)相同，玫瑰的朵數(shù)也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？這時每束花中有多少朵花？
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】應(yīng)用意識．
【答案】14，8。
【分析】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因數(shù)，先把要求的兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把它們公有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數(shù)；再用百合花的總朵數(shù)除以最大公因數(shù)就是每束花中百合花的朵數(shù)，用玫瑰花的總朵數(shù)除以最大公因數(shù)就是每束花中玫瑰花的總朵數(shù)，再把每束花中百合花的朵數(shù)與每束花中玫瑰花的總朵數(shù)相加即可。
【解答】解：70＝2×5×7
42＝2×3×7
所以70和42的最大公因數(shù)是2×7＝14
70÷14＝5（朵）
42÷14＝3（朵）
5+3＝8（朵）
答：最多可以做14束花，這時每束花中有8朵花。
【點評】本題考查了最大公因數(shù)的應(yīng)用以及最大公因數(shù)的求法。
20．（2023春?婁底期末）數(shù)學(xué)閱讀。
在我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，就介紹了“約分術(shù)”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約?！币馑际钦f：如果分子、分母全是偶數(shù)，就先除以2；否則以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，把所得的差與上一步中的減數(shù)比較，并再以大數(shù)減去小數(shù)，如此重復(fù)進(jìn)行下去，當(dāng)差與減數(shù)相等即出現(xiàn)“等數(shù)”時，用這個等數(shù)約分，這種方法被后人稱為“更相減損術(shù)”。
試著用這個方法對分?jǐn)?shù)2842，102153進(jìn)行約分。
【考點】約分．
【專題】分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】23，23。
【分析】可根據(jù)材料中的方法，如果分子、分母全是偶數(shù)，就先除以2；否則用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，把所得的差與上一步中的減數(shù)比較，再用大數(shù)減去小數(shù)，如此重復(fù)進(jìn)行下去，當(dāng)差與減數(shù)相等即出現(xiàn)“等數(shù)”時，用這個等數(shù)約分。
【解答】解：2842=1421
21﹣14＝7
14﹣7＝7
1421=14÷721÷7=23
153﹣102＝51
102﹣51＝51
102153=102÷51153÷51=23
【點評】此題主要考查約分的認(rèn)識及應(yīng)用，靈活運用不同的約分方法求解。
六．解答題（共2小題）
21．（2024春?遷安市期末）求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。
36和60
54和72
【考點】求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．
【專題】運算能力．
【答案】18；12。
【分析】求最大因約數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，由此解決問題即可。
【解答】解：54＝2×3×3×3
72＝2×2×2×3×3
最大公因數(shù)是2×3×3＝18。
36＝2×2×3×3
60＝2×2×3×5
所以36和60的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12。
【點評】此題需要學(xué)生掌握求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法，并能靈活的運用。
22．（2024?京口區(qū)）數(shù)學(xué)辯論題．
觀察下面的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：3與5互質(zhì)，5與8互質(zhì)，3與8也互質(zhì)；4與7互質(zhì)，7與9互質(zhì)，4與9也互質(zhì)……正方：根據(jù)上述現(xiàn)象，可得出這樣一個結(jié)論：若A與B互質(zhì)，B與C互質(zhì)，則A與C一定互質(zhì)．
你（作為反方）是否認(rèn)同正方觀點？如果不同意，請舉例予以辯論．
【考點】因數(shù)、公因數(shù)和最大公因數(shù)．
【專題】數(shù)的整除．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】若A與B互質(zhì)，B與C互質(zhì)，則A與C不一定互質(zhì)，并舉例說明即可．
【解答】解：若A與B互質(zhì)，B與C互質(zhì)，則A與C不一定互質(zhì)，
例如：3與5互質(zhì)，5與9互質(zhì)，但3與9不互質(zhì)，3和9的公因數(shù)有：1、3．
【點評】此題主要考查了合數(shù)與質(zhì)數(shù)的特征和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：若A與B互質(zhì)，B與C互質(zhì)，則A與C不一定互質(zhì)．
考點卡片
1．因數(shù)、公因數(shù)和最大公因數(shù)
【知識點解釋】
給定若干個正整數(shù)，如果他們有相同的因數(shù)，那么這個（些）因數(shù)就叫做它們的公因數(shù)．而這些公因數(shù)中最大的那個稱為這些正整數(shù)的最大公因數(shù)．
【命題方向】
常考題型：
例1：互質(zhì)的兩個數(shù)沒有公約數(shù)． × ．
分析：根據(jù)互質(zhì)數(shù)的意義，公因數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)，以此解答問題即可．
解：因為，公因數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)；
所以，互質(zhì)的兩個數(shù)沒有公約數(shù)這種說法是錯誤的．
故答案為：×．
點評：此題主要考查互質(zhì)數(shù)的意義以及判斷兩個數(shù)是不是互質(zhì)數(shù)的方法．
例2：36和48的最大公約數(shù)是12，公約數(shù)是1、2、3、4、6、12． √ ．
分析：利用分解質(zhì)因數(shù)的方法和求一個數(shù)的公約數(shù)的方法即可解決問題．
解：36的約數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48的約數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以36和48的公約數(shù)有1、2、3、4、6、12，其中最大公約數(shù)為12，
所以原題說法正確，
故答案為：√．
點評：此題是考查求一個數(shù)的公約數(shù)和最大公約數(shù)的方法．
2．求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法
【知識點歸納】
方法：1．分別分解各個數(shù)的質(zhì)因數(shù)，然后比較出公共的質(zhì)因數(shù)相乘．
2．用短除法，寫短除算式，道理與第一種方法相似，只是找公共因數(shù)的過程與除法過程合并了．
【命題方向】
常考題型：
例1：如果A是B的15，A和B的最小公倍數(shù)是 B ，它們的最大公因數(shù)是 A ．
分析：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公約數(shù)，較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，由題目條件可以得知：A是B的15，也就是B是A的5倍，由此可以解決．
解：因為A和B是倍數(shù)關(guān)系，所以它們的最大公約數(shù)是較小的那個數(shù)A，最小公倍數(shù)是較大的那個數(shù)B，
故答案為：B；A．
此題主要考查了求兩個成倍數(shù)關(guān)系的數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公約數(shù)，較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù)．
例2：甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是 12 ，最小公倍數(shù) 120 ．
分析：根據(jù)甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，可知這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)是2、2、3，公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；除了公有質(zhì)因數(shù)外，甲數(shù)獨有的質(zhì)因數(shù)為2，乙數(shù)獨有的質(zhì)因數(shù)為5，那么公有質(zhì)數(shù)與各自獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)．據(jù)此進(jìn)行解答．
解：甲＝2×2×2×3；
乙＝2×2×3×5；
甲和乙的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12；
甲和乙的最小公倍數(shù)是：2×2×3×2×5＝120；
故答案為：12，120．
點評：此題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；公有質(zhì)因數(shù)與各自獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)．
3．合數(shù)與質(zhì)數(shù)的初步認(rèn)識
【知識點解釋】
合數(shù)：指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他的數(shù)整除的數(shù)．“0”“1”既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)．
質(zhì)數(shù)：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（素數(shù)）
【命題方向】
?？碱}型：
例1：所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)． × ．
分析：只有1和它本身兩個因數(shù)的自然數(shù)為質(zhì)數(shù)．不能被2整除的數(shù)為奇數(shù)，也就是說，奇數(shù)除了沒有因數(shù)2外，可以有其他因數(shù)，如9、15等．
解：根據(jù)質(zhì)數(shù)和奇數(shù)的定義，“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”的說法是錯誤的．
故答案為：×．
點評：本題混淆了質(zhì)數(shù)和奇數(shù)的定義．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均為小于1000的質(zhì)數(shù)，x是奇數(shù)，那么x的最大值是 1997 ．
分析：x是奇數(shù)，因為偶數(shù)+奇數(shù)＝奇數(shù)，3為奇數(shù)，所以，a×b定為偶數(shù)，則a、b必有一個為最小的質(zhì)數(shù)2，小于1000的最大的質(zhì)數(shù)為997，所以x的最大值為2×997+3＝1997．
解：x是奇數(shù)，a×b一 定為偶數(shù)，
則a、b必有一個為最小的質(zhì)數(shù)2，
小于1000的最大的質(zhì)數(shù)為997，
所以x的最大值為2×997+3＝1997．
故答案為：1997．
點評：在自然數(shù)中，注意特殊的數(shù)2既為偶數(shù)，同時也為質(zhì)數(shù)．
4．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)
【知識解釋】
分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變．這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)．
【命題方向】
常考例題：
例1：310的分子加上6，如果要使這個分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)該（ ）
A、加上20 B、加上6 C、擴大2倍 D、增加3倍
分析：分子加上6后是原來的幾倍，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，那么分母也是原來的幾倍，分?jǐn)?shù)的大小才不變．
解：分子：3+6＝9 9÷3＝3 說明分子擴大了3倍．要想分?jǐn)?shù)的大小不變，那么分母也要擴大3倍，或10×3＝30 30﹣10＝20說明分母應(yīng)加上20．
故選：A．
本題主要考查分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，根據(jù)這一性質(zhì)解答即可．
例2：一個假分?jǐn)?shù)，如果分子、分母同時加上1，則分?jǐn)?shù)的值小于原分?jǐn)?shù)． × ．
分析：分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1或等于1．可以用賦值法來判斷這道題目的正誤即可．
解：假設(shè)這個假分?jǐn)?shù)是11，分子和分母同時加上1，1+11+1=22，因11=1，22=1，則這兩個分?jǐn)?shù)相等，與分?jǐn)?shù)的值小于原分?jǐn)?shù)不相符．
故答案為：×．
本題是考查假分?jǐn)?shù)的定義，用賦值法來判斷正誤就比較容易解決．
5．約分
【知識點歸納】
1、約分的意義：把一個分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。
2、約分的方法：
（1）逐步約分法。用分子和分母的公因數(shù)（1除外）去除，直到除到分子和分母只有公因數(shù)1為止。
（2）一次約分法。直接用分子和分母的最大公因數(shù)（1除外）去除。
3、分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)。（分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)）
【方法總結(jié)】
把一個分?jǐn)?shù)的分子、分母同時除以公因數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，這個過程叫做約分。
2、理解最簡分?jǐn)?shù)的含義：
像這樣分子、分母公因數(shù)只有1了，不能再約分了，這樣的分?jǐn)?shù)是最簡分?jǐn)?shù)；
分子與分母是相鄰的自然數(shù)的分?jǐn)?shù)一定是最簡分?jǐn)?shù)；
分子分母是兩個不同質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)一定是最簡分?jǐn)?shù)；分子是“1”的分?jǐn)?shù)一定是最簡分?jǐn)?shù)。
3、掌握約分的方法：
約分的方法一般有兩種，一種是用兩個數(shù)的公因數(shù)一個一個去除，另一種是直接用兩個數(shù)的最大公因數(shù)去除。
4、比較分?jǐn)?shù)大小時，分母相同的、分子相同的可以直接比較，有些時候分子分母都不相同可以采用約分后進(jìn)行比較的方法。 （1）9664
（2）3895
（3）9139
題號
1
2
3
4
5
答案
B
A
C
B
A
（1）9664
（2）3895
（3）9139