1. 下列各式中，是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了最簡二次根式，最簡二次根式是滿足下列兩個條件的二次根式：（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．據此逐項判斷即可．
【詳解】解：A． 被開方數含能開得盡方的因數或因式，故A錯誤；
B． 被開方數含分母，故B錯誤；
C． 被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式，故C正確；
D． 被開方數含能開得盡方的因數或因式，故D錯誤；
故選：C．
2. 與是同類二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了同類二次根式的定義，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
把所給的二次根式化簡后比較被開方數即可解答．
【詳解】解：，，，，
∴與是同類二次根式的是，
故選：D．
3. 下列計算，結果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
根據二次根式的運算法則逐項計算判斷即可．
【詳解】解：A.，故該選項不符合題意；
B. ，故該選項不符合題意；
C. 不是同類二次根式，不能合并，故該選項不符合題意；
D. ，故該選項符合題意；
故選： D．
4. 計算的結果是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了積的乘方逆用及二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵﹒
把原式變形為，逆用積的乘方計算即可．
【詳解】解：
．
故選：B．
5. 若關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關鍵在于熟知關于一元二次方程若有解，則其解為．
【詳解】解：由題意得：，，，
∴該方程為，
故選：．
6. 某校為響應閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學校圖書館．據統(tǒng)計，第一個月進館128人次，進館人次逐月增加，三個月累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同．若設進館人次的月平均增長率為，則根據題意，可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意是解題的關鍵．設進館人次的月平均增長率x， 先表示出第2，3個月的進館人次，再相加即可得到方程．
【詳解】解：設進館人次的月平均增長率為，
則根據題意，可列方程是，
故選：D．
7. 實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡的結果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了數軸的定義、絕對值運算、算術平方根、整式的加減，根據數軸的定義判斷出是解題關鍵．
先根據數軸的定義得出，，，，再根據絕對值運算、算術平方根進行化簡，然后計算整式的加減即可得．
【詳解】解：由題意得：，，，
∴ ，，
∴
．
故選：D．
8. 若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則點所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，不等式的性質，平面直角坐標系，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根得到，再由不等式的性質分別判斷P的橫縱坐標的正負，即可判斷所處象限．
【詳解】解：∵關于一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：，
∴，，
∴所在象限是第四象限，
故選：D．
9. 關于的方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B. 或
C. 且D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程和一元二次方程的性質，以及一元二次方程判別式的應用，解題關鍵是分方程為一元一次方程和方程為一元二次方程，兩種情況討論．首先，需要分情況討論和．然后，對于的情況，用根的判別式來判斷方程是否有實數根，即可解答．
【詳解】當時，，
解得，
∴方程有實數根．
當時， 是一元二次方程，
在方程中，，，．
∴．
∵方程有實數根，
∴，即．
解得，
∵，
∴且．
∴的取值范圍是．
答案：D．
10. 若定義：方程是方程的“倒方程”．則下列四個結論：
①如果是的倒方程的一個解，則．
②一元二次方程與它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程無解，則它的倒方程也無解．
④若，則與它的倒方程都有兩個不相等的實數根．
上述結論正確的有（ ）個
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及根的判別式．根據倒方程的定義和一元二次方程根的定義對①進行判斷；一元二次方程與它的倒方程有公共解，可以判定②正確；利用倒方程的定義和根的判別式的意義對③④進行判斷．
【詳解】解：①倒方程為，
把代入方程得，
解得，故①錯誤；
②一元二次方程的倒方程為，則聯立得：，
兩式相減得到，
則，
由于，那么，
解得：，故有公共解，故②正確；
③若一元二次方程無解，則，
而倒方程為，那么根判別式也為，
故它的倒方程也無解，故③正確；
④當時，一元二次方程的根的判別式，
也為一元二次方程，此方程的根的判別式，
所以這兩個方程都有兩個不相等的實數根，所以④正確，符合題意；
故選：C．
二．填空題（共6小題，每小題4分，共24分）
11. 若代數式有意義，則的取值范圍為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握被開方數非負是解題的關鍵．
根據被開方數是非負數，可得答案．
【詳解】解：∵代數式有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 已知，則的平方根為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，平方根的定義，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵
根據被開方數大于等于0列式，得出x的值，再根據題目中y與x的關系式計算出y，代入代數式求值，再根據平方根的定義解答即可．
【詳解】
，
，
，
把代入中
的平方根為，
∴的平方根為，
故答案為：．
13. 已知，則的值為_______．
【答案】3
【解析】
【分析】令，可得到關于t的一元二次方程，求解方程，最后判斷根的情況即可．
【詳解】解：令，
則可化為，
整理得，
解得，，
，
（舍去），
，即，
故答案為：3．
【點睛】本題考查換元法，解一元二次方程，掌握換元法是解決本題的關鍵．
14. 一個三角形的兩邊長分別為和，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三邊的關系，掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三邊的關系得到三角形第三邊長為，然后計算三角形的周長即可．
【詳解】解：，
整理得：，
，
解得：，，
當時，，不能構成三角形，
當時，三角形的周長為，
故答案為：．
15. 若關于x的一元二次方程有兩個不相等實數解，且關于y的分式方程有整數解，那么滿足條件的所有整數m的和為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，先根據一元二次方程有兩個不相等實數解可得m的取值范圍，再解分式方程得到且，最后結合整數解可得答案．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等實數解，
∴，且，
即且，
解關于y的分式方程，可得；
∴或或，
∵且，，y為整數，即，
∴或或，
∴足條件的所有整數m的和為：．
故答案為：．
16. 如圖，線段、（）的長是方程的兩根，點是y軸正半軸上一點，連接，以點P為中心，將線段順時針旋轉得到線段，連接，當線段取最小值時點P的坐標是_____，此時線段的最小值為______．
【答案】 ①. （0，1） ②.
【解析】
【分析】先解一元二次方程，求解出A，B坐標，接著以為斜邊構造等腰直角三角形，使 與形成旋轉相似，進而得到新的旋轉相似，即，從而利用相似比，得到，M點坐標可求，P為y軸上一動點，利用垂線段最短，得到當 軸時，最短，從而最短，即可解決．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或4，
∵線段、（）的長是方程的兩根，
∴，
∴A，B，，
∴以為斜邊構造等腰直角三角形，如圖，
連接，，
過M作于N，則，
∴M的坐標為（?3，1），
∵與均為等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
當取得最小值時，取得最小值，
當軸時，取得最小值是3，此時取得最小值，此時P為（0，1），
故答案為（0，1），．
【點睛】本題考查了“一定一動”類型的線段最值問題，構造旋轉相似圖，形成二次相似，轉化所求的線段最值問題，是本題的關鍵．
三．解答題（共8小題，共66分）
17. 計算：
（1）；
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，零指數冪，負整數指數冪，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）根據零指數冪，負整數指數冪，二次根式的性質，計算即可；
（2）根據二次根式的混合運算，計算即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關鍵．
（1）先移項，再用因式分解法求解；
（2）直接利用因式分解法求解．
【小問1詳解】
解：

或
解得：；
【小問2詳解】
解：
或
解得：．
19. 如圖，在某地的清明上河園景區(qū)，有一個用于表演豫劇的矩形舞臺，其面積為平方米，長為米．
（1）求這個舞臺的寬；（結果化簡為最簡二次根式）
（2）為了增加舞臺效果，準備在舞臺的四周鋪設寬度均為米的裝飾帶（圖中陰影部分），求裝飾后矩形舞臺的總面積．
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】本題考查二次根式混合運算的應用，
（1）利用二次根式的除法解題即可；
（2）利用二次根式的混合運算解題即可．
【小問1詳解】
解：這個舞臺的寬為（米）
答：這個舞臺的寬為米；
【小問2詳解】
解：裝飾后矩形舞臺的總面積為
（平方米）．
答：舞臺裝飾后的面積是平方米．
20. 已知關于的一元二次方程有實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）若中，，和的長是方程的兩根，判斷的形狀并說明理由．
【答案】（1）且；
（2）是等邊三角形，理由見詳解
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程以及等邊三角形的定義；
（1）根據根的判別式列出不等式即可求解；
（2）先求出k的值，再求出一元二次方程的根，進而即可得到答案
【小問1詳解】
解：∵關于的一元二次方程有實數根，
∴且，解得：且；
【小問2詳解】
解：把代入得：，解得：，
∴，解得：，
∴和的長分別是：2，2，
∴，即是等邊三角形
21. 配方思想，是初中數學重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以簡化數學運算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面問題：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【答案】（1）23 （2）17
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查完全平方公式的變形以及二次根式的混合運算，正確變形、熟練掌握相關公式是解答本題的關鍵．
（1）運用完全平方公式的變形求解即可；
（2）分別求出的值，再將所要求的式子變形，最后整體代入計算即可；
（3）將變形為，最后整體代入計算即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴；
【小問2詳解】
解：，，
，
，
則
．
【小問3詳解】
解：∵，，
∴．
22. 公安部提醒市民，騎車必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔每個進價為30元，商家經過調查統(tǒng)計，當每個頭盔售價為40元時，月銷售量為600個，在此基礎上售價每漲價1元，則月銷售量將減少10個．設該品牌頭盔售價為x元，月銷售量為y．
①直接寫出y關于x的函數關系式；
②為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元？
【答案】（1）
（2）①；②50
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為a，根據該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）①根據“上售價每漲價1元，則月銷售量將減少10個”，列式即可求解；②根據月銷售利潤每個頭盔的利潤月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，即可求出結論．
【小問1詳解】
解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為a，
依題意，得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．
【小問2詳解】
解：①
②依題意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵盡可能讓顧客得到實惠，
∴該品牌頭盔實際售價應定為50元，
答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．
23. 我們定義：一個整數能表示成（、是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為．所以5是“完美數”．
【解決問題】（1）已知10是“完美數”，請將它寫成（、是整數）的形式_____；
（2）已知（、是整數，是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．
【探究問題】（3）已知，求的值；
（4）已知實數、滿足，求的最值．
【實際應用】（5）已知的三邊長、、滿足，求的周長．
【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）20
【解析】
【分析】本題考查了非負數的性質，完全平方公式，二次根式的性質，讀懂題目信息，理解“完美數”的定義并熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
（1）根據“完美數”的定義即可求解；
（2）利用完全平方公式把原式變形，根據“完美數”的定義即可求解；
（3）利用配方法和非負數的性質即可求解；
（4）利用配方法和非負數的性質即可求解；
（5）利用配方法和非負數的性質即可求解．
【詳解】解：（1）∵10是“完美數”
∴；
故答案為：；
（2）
要使S為“完美數”，
則，即．
（3）∵，
∴
∴，
∴， ，
解得， ，
則．
（4），
，
，
，
無論x取何值，，
當時，的值最大，為.
（5），
∴，
，，，
，，，
．
24. 綜合與實踐
【答案】（1）方案1中，方案2中，矩形種植園面積最大為；（2）見解析
【解析】
【分析】題目主要考查二次函數的應用，根據題意，列出二次函數關系式，然后再求最值即可得出結果，理解題意是解題關鍵．
（1）方案1：根據題意得出面積的函數關系式，然后利用其性質求解即可；方案2：設，然后確定相應函數關系式求解即可；
（2）同（1）方法類似，確定函數關系式求解即可．
【詳解】（1）方案1：∵，則，
∴，
∵，
∴當時，，
方案2：設，則，
∴，
∵，
當時，．
∵，
∴矩形種植園面積最大為；
（2）圖示如下：
（同（1）過程，可分別求得：
方案1：∵，則．
∴（）．
∴當時， ．
方案2：（）
∴當為12時，達到最大，最大值是48．
可見矩形種植園面積最大為，此時．
矩形種植園最大面積探究
情境
實踐基地有一長為12米的墻，研究小組想利用墻和長為40米的籬笆，在前面的空地圍出一個面積最大的矩形種植園．假設矩形一邊，矩形種植園的面積為．
分析
要探究面積的最大值，首先應將另一邊用含的代數式表示，從而得到關于的函數表達式，同時求出自變量的取值范圍，再結合函數性質求出最值．
探究
思考一：將墻的一部分用來替代籬笆
按圖1的方案圍成矩形種植園（邊為墻的一部分）．
思考二：將墻的全部用來替代籬笆
按圖2的方案圍成矩形種植園（墻為邊的一部分）．
解決問題
（1）根據分析，分別求出兩種方案中的的最大值；比較并判斷矩形種植園的面積最大值為多少．
類比應用
（2）若“情境”中籬笆長為20米，其余條件不變，請畫出矩形種植園面積最大的方案示意圖（標注邊長）．

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