1．下列計算中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列關(guān)于的函數(shù)是一次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
3．在“百善孝為先”朗誦比賽中，曉晴根據(jù)七位評委所給的某位參賽選手的分?jǐn)?shù)制作了如下表格：
如果去掉一個最高分和一個最低分，那么表格中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
4．光從空氣進入水中，入水前與入水后的光路圖如圖所示，若建立坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的表達式分別為，，則下列關(guān)于與的大小關(guān)系中，正確的是（ ）
A．，B．，C．D．
5．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如圖，點A，B，C在一次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為，，，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題）
7．若點，則點到軸的距離為
8．已知方程組是關(guān)于，的二元一次方程組，則的值 ．
9．已知一組數(shù)據(jù)6，8，9，a，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)恰好也是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，則a的值為 ．
10．如圖，函數(shù)和的圖象相交于點P，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是 ．
11．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如圖所示放置，點A1、A2、A3…在直線y＝x+1上，點C1、C2、C3…在x軸上，則A5的坐標(biāo)是 ．
12．如圖，四邊形是長方形，，，點是的中點，點在上，且，點沿運動，當(dāng)為等腰三角形時，的長為 ．
三、解答題（本大題共11小題）
13．計算和解方程組：
(1)
(2)
14．已知，，z是9的算術(shù)平方根，求的平方根．
15．如圖，每個小正方形的邊長都是1，在每幅圖中以格點為頂點，分別畫出一個符合下列條件的格點三角形．
(1)在圖1中畫出一個等腰直角三角形，要求底邊；
(2)在圖2中畫出一個直角三角形，要求，，的長為無理數(shù)．
16．已知與成正比例，當(dāng)時，．試求：
(1)與的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)時，求的值；
17．我們知道，長方形的對邊平行且相等，四個角都是直角，即長方形中，，．如圖，在長方形中，，點為上一點，把沿折疊，點恰好落在的點處，求的長．
18．甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，兩人在相同條件下，各射擊10次，射擊的成績?nèi)鐖D所示．根據(jù)統(tǒng)計圖信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：
（1）補充表格中a，b，c的值，并求甲的方差s2；
（2）運用表中的四個統(tǒng)計量，簡要分析這兩名運動員的射擊成績，若選派其中一名參賽，你認(rèn)為應(yīng)選哪名運動員？
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的各頂點分別為、、
(1)在平面直角坐標(biāo)系中作，使與關(guān)于y軸對稱；
(2)連接，，請判定的形狀，并說明理由．
20．在“新冠病毒”疫情防控期間，某藥店分兩次購進酒精消毒液與測溫槍進行銷售，兩次購進同一商品的進價相同，具體情況如下表所示：
(1)求酒精消毒液和測溫槍每件的進價分別是多少元？
(2)該藥店決定酒精消毒液以每件15元出售，測溫槍以每件200元出售．為滿足市場需求．需購進這兩種商品共1000件，設(shè)購進測溫槍m件，獲得的利潤為W元，請求出獲利W（元）與購進測溫槍件數(shù)m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式．若測溫槍的數(shù)量不超過300件，求該公司銷售完上述1000件商品獲得的最大利潤．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，點，，若，則稱點與點互為“等差點”，例如：點，點，因為，所以點與點互為“等差點”．
(1)若點的坐標(biāo)是，則在點，，中，點的“等差點”為點______ ；
(2)若點的坐標(biāo)是的“等差點”在坐標(biāo)軸上，求點的坐標(biāo)；
(3)若點的坐標(biāo)是與點互為“等差點”，且、互為相反數(shù)，求點的坐標(biāo)．
22．某天早晨，張強從家跑步去體育場鍛煉，同時媽媽從體育場晨練結(jié)束回家，途中兩人相遇，張強跑到體育場后發(fā)現(xiàn)要下雨，立即按原路返回，遇到媽媽后兩人一起回到家（張強和媽媽始終在同一條筆直的公路上行進）．張強、媽媽兩人距家的距離y（米）與張強出發(fā)的時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，請結(jié)合圖象信息，解答下列問題：
(1)張強返回時的速度是______米/分；
(2)媽媽比按原速返回提前多少分鐘到家?
(3)請求出張強出發(fā)多長時間與媽媽相距1000米．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸交于點A，與x軸交于點B?2,0，的面積為2．動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在射線上運動，動點Q從O出發(fā)，沿x軸的正半軸于點P同時以相同的速度運動，過P作軸交直線于M．
(1)求直線的解析式．
(2)當(dāng)點P在線段上運動時，設(shè)的面積為S，點P運動的時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量的取值范圍）．
(3)過點Q作軸交直線于N，在運動過程中（P不與B重合），是否存在某一時刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出時間t值．
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則逐項計算即可．
【詳解】解：A、，原式錯誤；
B、，原式錯誤；
C、，原式正確；
D、，原式錯誤；
故此題答案為C．
2．【答案】C
【分析】根據(jù)形如的函數(shù)叫做一次函數(shù)進行逐項判斷即可．
【詳解】解：A、函數(shù)不是一次函數(shù)，該選項不符合題意；
B、函數(shù)不是一次函數(shù)，該選項不符合題意；
C、函數(shù)是一次函數(shù)，該選項符合題意；
D、函數(shù)不是一次函數(shù)，該選項不符合題意；
故此題答案為C．
3．【答案】B
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義（位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數(shù)）解答即可．
【詳解】解：去掉一個最高分和一個最低分對中位數(shù)沒有影響，
故此題答案為B．
4．【答案】D
【分析】取橫坐標(biāo)相同的點，利用縱坐標(biāo)的大小關(guān)系得到比例系數(shù)的關(guān)系．利用兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系取橫坐標(biāo)相同的點利用縱坐標(biāo)的大小列出不等式，即可求解．
【詳解】解：如圖，在兩個圖象上分別取橫坐標(biāo)為，的兩個點和，
則，，
，
，
當(dāng)取橫坐標(biāo)為正數(shù)時，同理可得，
，，
，
故此題答案為D．
5．【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．
【詳解】解：枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩
由題意得：
故此題答案為D．
6．【答案】A
【分析】設(shè)直線與y軸交于點D，軸于點E，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A，D的坐標(biāo)，進而可得出、的長，利用三角形的面積計算公式可求出的面積，同理可得出另外兩個小三角形的面積均為，再將三個小三角形的面積相加即可求出結(jié)論．
【詳解】設(shè)直線與y軸交于點D，軸于點E，如圖所示．
當(dāng)時，，
∴點D的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
∴點A的坐標(biāo)為，
∴點E的坐標(biāo)為，，
∴，
∴．
同理，可求出另兩個三角形的面積均為（陰影部分組成的小三角形），
∴陰影部分面積之和為：．
故此題答案為A．
7．【答案】3
【分析】根據(jù)到y(tǒng)軸的距離為點的橫坐標(biāo)的絕對值求解即可．
【詳解】解：點到y(tǒng)軸的距離為3．
8．【答案】5
【分析】二元一次方程組也滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程；②方程組中共含有兩個未知數(shù)；③每個方程都是一次方程．
根據(jù)二元一次方程組的定義得到，且，且，求解即可．
【詳解】解：∵方程組是關(guān)于x，y的二元一次方程組，
∴，且，且，
∴．
9．【答案】8
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的求法即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵6，8，9，a這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)恰好也是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，
∴只有當(dāng)時，符合題意
10．【答案】
【分析】先利用正比例函數(shù)解析式確定P點坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)求解．
【詳解】解：把代入函數(shù)中，
得，解得，
∴，
∴方程組的解是．
11．【答案】（15，16）．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的特征及正方形的性質(zhì)求出A1、A2、A3的坐標(biāo)，找出規(guī)律，即可解答．
【詳解】∵直線y＝x+1和y軸交于A1，
∴A1的坐標(biāo)（0，1），
即OA1＝1，
∵四邊形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐標(biāo)為（1，2），
同理A3的坐標(biāo)為（3，4），
…
∴An的坐標(biāo)為（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴A5的坐標(biāo)是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16）
12．【答案】4或或
【分析】先利用勾股定理求出，再分當(dāng)點P在上且時，當(dāng)點P在上且時，當(dāng)點P在上且時，三種情況構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∵點是的中點，
∴，
在中，由勾股定理得，
如圖所示，當(dāng)點P在上且時，則，
∴此時點D與點P重合，
∴；
如圖所示，當(dāng)點P在上且時，
∴；
如圖所示，當(dāng)點P在上且時，過點F作于G，
∴（平行線間間距線段）
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得，
∴；
綜上所述，的長為4或或
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用零指數(shù)冪法則，絕對值的代數(shù)意義，負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可求數(shù)值；
（2）方程組整理后，利用代入消元法求出解即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：，
由得，
把③代入②，得：
解得：，
把代入，得，
．
14．【答案】
【分析】根據(jù)，，z是9的算術(shù)平方根，可以求得x、y、z的值，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵，，z是9的算術(shù)平方根，
∴，，，
∴．
故的平方根是．
15．【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義和勾股定理，求出的長，作圖即可；
（2）根據(jù)要求作圖即可；
【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，底邊
∴，
由勾股定理得：，
∴，
如圖，即為所求；
此時：；
（2）解：如圖，即為所求；
由勾股定理得：，，，
∴，
∴為直角三角形，且，的長為無理數(shù)．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)函數(shù)解析式為，將，代入求出的值，即可得到與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將代入與的函數(shù)關(guān)系式，即可求出的值．
【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時，，
，
解得：
與的函數(shù)關(guān)系式為，，
即；
（2）解：當(dāng)時，，
解得：．
17．【答案】1
【分析】利用角的關(guān)系求得，再在中，由勾股定理求得的長，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵折疊，點恰好落在線段上的點處
∴，，，，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得
∴
∴，
∴．
18．【答案】(1)a=7,b=8,c=7, s2=1.8;(2) 應(yīng)選甲運動員,理由見解析
【分析】（1）由折線統(tǒng)計圖得出具體數(shù)據(jù)，再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解可得；
（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及方差的意義求解，只要合理即可．
【詳解】（1）a=×（6×2+7×7+9）=7，b=8，c=7，
s2=×[（9﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]=1.8．
（2）∵甲的平均成績、中位數(shù)與眾數(shù)比乙的都高，
∴應(yīng)選甲運動員．
19．【答案】(1)見解析
(2)見解析；△ABC’是等腰直角三角形，理由見解析
【分析】（1）找出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC’、AC’，再利用勾股定理逆定理判斷出三角形是等腰直角三角形．
【詳解】（1）解：所作如圖所示
（2）△ABC’如圖所示，△ABC’是等腰直角三角形，
理由如下：
∵AB2=12+32=10,C’B2=12+32=10
∴AB=C’B=
∵AC’2=22+42=20
∴AB2+C’B2=AC’2，且∠ABC’＝90°
∴△ABC’是等腰直角三角形．
20．【答案】(1)酒精消毒液每件的進價為10元，測溫槍每件的進價為150元
(2)，最大利潤為18500元．
【分析】（1）設(shè)酒精消毒液每件的進價為x元，測溫槍每件的進價為y元，然后根據(jù)兩次購買情況列方程組求解即可；
（2）設(shè)購進測溫槍m件，則購進酒精消毒液(1000?a)件，銷售完這1000件商品獲得的利潤為W，根據(jù)酒精消毒液以每件15元出售，測溫槍以每件200元出售，可以得到酒精消毒液每件的利潤為5元，測溫槍每件的利潤為50元，由此可以求出利潤的表達式；再根據(jù)表達式運用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤即可．
【詳解】（1）解：設(shè)酒精消毒液每件的進價為x元，測溫槍每件的進價為y元，
根據(jù)題意得 ，解得．
答：酒精消毒液每件的進價為10元，測溫槍每件的進價為150元．
（2）解：根據(jù)題意得
，
∵測溫槍數(shù)量不超過300件，
∴，
又∵在中，，
∴W的值隨m的增大而增大，
∴當(dāng)時，W取最大值，最大值為．
答：當(dāng)購進酒精消毒液700件，購進測溫槍300件時，銷售利潤最大，最大利潤為18500元．
21．【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）、（2）讀懂新定義，根據(jù)新定義解題即可；
（3）根據(jù)新定義，列出方程組，求出，，即可求出點坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：根據(jù)新定義可以得、與點互為“等差點”；
因為點的坐標(biāo)是，點，則有，所以點與點不是互為“等差點”．
因為點的坐標(biāo)是，點，則有，所以點與點互為“等差點”．
因為點的坐標(biāo)是，點，則有，所以點與點互為“等差點”．
（2）①當(dāng)點在軸上時，
設(shè)，由題意得，
解得，
．
②當(dāng)點在軸上時，
設(shè)，
由題意得，
解得，
．
綜上所述：的“等差點”點的坐標(biāo)為或．
（3）由題意得，
．
、互為相反數(shù)，
，
解得，
，．
，．
22．【答案】(1)
(2)10分鐘
(3)分鐘、分鐘、分鐘
【分析】（1）由兩點的坐標(biāo)即可求解；
（2）求出點的坐標(biāo)即可求解；
（3）求出直線的解析式、直線的解析式、直線的解析式，分三種情況討論即可求解．
【詳解】（1）解：由圖象可知：
張強返回時的速度是：（米/分），
（2）解：∵（米），（米），
∴
∴媽媽原來的速度為：（米/分），
媽媽按原來的速度回家需要：（分鐘），
∵（分鐘），
∴媽媽比按原速返回提前分鐘到家；
（3）解：如圖所示：
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
直線的解析式為：，
，
解得：
，
解得：
，
解得：
綜上所述：張強出發(fā)分鐘、分鐘、分鐘與媽媽相距1000米
23．【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式求出，確定A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再表示出，然后利用直角三角形的面積公式解答即可；
（3）由題意可以確定t秒時，點M、N、Q的坐標(biāo)分別為、、，再分別求出，最后分三種情況列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵B?2,0，
∴，
∴，
則，
∴點
將點、B?2,0的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：
得：，
解得：，
∴直線的表達式為：；
（2）解：∵v，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵軸，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵點P、Q的速度都是每秒1個單位長度，時間為t，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由：
∵軸，，
∴也為等腰直角三角形，
∴，
t秒時，點M、N、Q的坐標(biāo)分別為、、，
則：，，
當(dāng)時，即：，（負值已舍去），
當(dāng)時，同理可得：（負值已舍去），
當(dāng)時，同理可得：（舍去），
故：當(dāng)是等腰三角形時，或． 眾數(shù)
中位數(shù)
平均數(shù)
方差
平均成績（環(huán)）
中位數(shù)（環(huán)）
眾數(shù)（環(huán)）
方差
甲
8
b
8
s2
乙
a
7
c
0.6
購進數(shù)量（件）
購進所需費用（元）
酒精消毒液
測溫槍
第一次
30
40
6300
第二次
40
30
4900

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江西省吉安市永豐縣十一校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題
江西省吉安市省級九校2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

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