1．（3分）以下列各組線段的長(zhǎng)為邊，能組成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，5cm
C．2cm，5cm，10cmD．8cm，4cm，4cm
2．（3分）要求畫(huà)△ABC的邊AB上的高，下列畫(huà)法中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）從十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引出對(duì)角線（ ）
A．9條B．10條C．11條D．12條
4．（3分）我國(guó)的紙傘工藝十分巧妙，如圖，傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)，傘不論張開(kāi)還是縮攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)所成的角∠BAC，為了證明這個(gè)結(jié)論，我們的依據(jù)是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
5．（3分）如圖，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．95°B．100°C．105°D．115°
6．（3分）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分別是△ABC的高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，下列結(jié)論：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．
其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）如圖，自行車的主框架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是三角形具有 ．
8．（3分）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，這個(gè)三角形為 三角形（按角分類）
9．（3分）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為B，D．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ADC，這個(gè)條件可以是 ．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
10．（3分）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是邊BC、AC、DC的中點(diǎn)，△EFC面積為5，則△ABC的面積為 ．
11．（3分）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)為 °．
12．（3分）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，4），以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)： ．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
14．（6分）如圖，已知AD＝AE，∠B＝∠C．求證：△ACD≌△ABE．
15．（6分）已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且b、c滿足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a為方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周長(zhǎng)．
16．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．
17．（6分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，按要求在方格紙中畫(huà)圖．
（1）在圖①中畫(huà)出△ABC中BC邊上的高線AD；
（2）在圖②中，作直線CN，將△ABC分成面積相等的兩個(gè)三角形；
（3）在圖③中畫(huà)出一個(gè)與△ABC全等的△ACE．
四、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分）
18．（8分）如圖，AC∥BE，點(diǎn)D在BC上，AB＝DE，∠ABE＝∠CDE．
（1）求證：△ABC≌△DEB；
（2）若AC＝5，BE＝7，求CD的長(zhǎng)．
19．（8分）如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，AF＝AD，AB＝AD+BC．
（1）AE與BE垂直嗎？說(shuō)明你的理由；
（2）若AE＝5，BE＝3，試求出四邊形ABCD的面積．
20．（8分）如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度數(shù)；
（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
21．（8分）（1）如圖①，已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，判斷并說(shuō)明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖②，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，且DE＝9cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上由點(diǎn)E向點(diǎn)F勻速運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在t，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
五、解答題（本大題共2小題，22題10分，23題12分，共22分）
22．（10分）（1）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ；
（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；
（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以65海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，前進(jìn)3小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
23．（12分）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題提出】如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線．對(duì)于這一圖形，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下探究：
分別過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)可證得．完成這一證明后，提出一個(gè)新的問(wèn)題：與有什么數(shù)量關(guān)系呢？
【特例感知】（1）如圖2，若AB＝AC時(shí)， （填“＞”“＜”或“＝”）；
【深入探究】（2）如圖1，當(dāng)AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎，寫(xiě)出你的猜想并給予證明；
【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖3，CE是△ABC的角平分線，且與AD相交于O，若∠ABC＝60°，，求出的值．
2024-2025學(xué)年江西省贛州三中八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共18分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)正確）
1．解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，可知
A、2+3＞4，能組成三角形，故A正確；
B、2+3＝5，不能組成三角形，故B錯(cuò)誤；
C、2+5＜10，不能夠組成三角形，故C錯(cuò)誤；
D、4+4＝8，不能組成三角形，故D錯(cuò)誤；
故選：A．
2．解：過(guò)點(diǎn)C作AB邊的垂線，正確的是C．
故選：C．
3．解：12﹣3＝9，
十二邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出9條對(duì)角線．
故選：A．
4．解：根據(jù)傘的結(jié)構(gòu)，AE＝AF，傘骨DE＝DF，AD是公共邊，
∵在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE＝∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故選：B．
5．解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠BCA+∠ECD＝100°，
∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，
∴∠ACD＝105°，
故選：C．
6．解：∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正確；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正確；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故③正確；
∵∠BGH＝∠ABD+∠BTG，∠CBE＝∠ABE，BE⊥TH，
∴∠BTG+∠ABE＝∠BHG+∠CBE＝90°，
∴∠BTG＝∠BHT，
顯然∠CBE與∠BHT不一定相等，故④錯(cuò)誤，
故選：A．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
7．解：自行車的主框架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是三角形具穩(wěn)定性，
故答案為：穩(wěn)定性．
8．解：∵∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角．
9．解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可證Rt△ABC≌Rt△ADC；
故答案為：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．
10．解：∵D、E、F分別是邊BC、AC、DC的中點(diǎn)，
∴S△ABC＝2S△ACD＝4S△CDE＝8S△CEF＝8×5＝40．
故答案為：40．
11．解：如圖所示，
由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A+∠G，
由四邊形的內(nèi)角和是360°可得，
∠1+∠2+∠E+∠F＝360°，∠3+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
＝∠1+∠C+∠D+∠E+∠F+∠B
＝360°×2﹣180°
＝540°．
故答案為：540．
12．解：如圖所示，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（4，0）或（4，4）．
故答案為：（0，4）或（4，0）或（4，4）．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得：
（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得：n＝8．
答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8．
14．證明：在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS）．
15．解：∵（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，
∴，解得
∵a為方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
當(dāng)a＝1，b＝5，c＝7時(shí)，1+5＜7，
不能組成三角形，故a＝1不合題意；
∴a＝5，
∴△ABC的周長(zhǎng)＝5+5+7＝17，
16．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分線．
17．解：（1）如圖所示，高線AD即為所求；
（2）如圖所示，取格點(diǎn)N，作直線CN，直線CN即為所求；
（3）如圖所示，△ACE即為所求．
四、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分）
18．（1）證明：∵AC∥BE，
∴∠C＝∠EBD，
∵∠CDE＝∠E+∠EBD，∠ABE＝∠ABC+∠EBD，
又∵∠ABE＝∠CDE，
∴∠ABC+∠EBD＝∠E+∠EBD，
∴∠ABC＝∠E，
在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（AAS）；
（2）解：∵AC＝5，BE＝7，
由（1）可知：△ABC≌△DEB，
∴AC＝BD＝5，BC＝BE＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣5＝2．
19．解：（1）結(jié)論：AE⊥BE．
理由：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∵∠EAB+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）∵AF＝AD，AB＝AD+BC，
∴BF＝BC，
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴S四邊形ADEF＝2S△AEF，
同理△BEF≌△BEC，
∴S四邊形BCEF＝2S△BEF，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形ADEF+S四邊形BCEF＝2S△AEF+2S△BEF＝2S△ABE＝2××5×3＝15．
∴四邊形ABCD的面積為15．
20．解：（1）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，
∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝30°；
（2）∠D＝（∠M+∠N﹣180°）；
理由：延長(zhǎng)BM、CN交于點(diǎn)A，
則∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（1）知，∠D＝∠A，
∴∠D＝（∠M+∠N﹣180°）．
21．解：（1）BD+CE＝DE，理由如下：
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE+AD＝DE，
∴BD+CE＝DE；
（2）存在，理由如下：
當(dāng)△DAB≌△ECA時(shí)，AD＝CE，BD＝AE＝7cm，
∵AD+AE＝DE＝9cm，
∴CE＝AD＝DE﹣AE＝2cm，
∴t＝＝＝1，
∴；
當(dāng)△DAB≌△EAC時(shí)，
∴AD＝AE＝DE＝cm，
∴t＝＝，
綜上所述，存在t，使得△ABD與△EAC全等，t＝1或．
五、解答題（本大題共2小題，22題10分，23題12分，共22分）
22．解：（1）結(jié)論：EF＝BE+FD．
理由：根據(jù)△ABE≌△ADG可得BE＝DG，
根據(jù)△AEF≌△AGF得EF＝GF，
∴EF＝DG+DF＝BE+DF，
故答案為：EF＝BE+DF；
（2）結(jié)論：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝2∠EAF﹣∠EAF＝∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C．
由題意可知，∠EOF＝70°，OA＝OB…①，
在四邊形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠AOB＝2∠EOF…②，
又∵∠A+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°…③，
∴由①②③可知，符合“探索延伸”中的條件，
∴結(jié)論EF＝AE+FB成立，
即EF＝AE+FB＝（50+65）×3＝345（海里）．
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為345海里．
23．解：（1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD平分BC，
∴BD＝CD，
∴＝，
故答案為：＝；
（2）（1）中的結(jié)論還成立；
證明：設(shè)△ABC邊BC上的高為h，
則＝＝，
又∵＝，
∴＝；
（3）在AC上取AF＝AE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴，，
∴∠OAC+∠OCA＝∠BAC+∠BCA＝（∠BAC+∠BCA）＝×120°＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO＝∠FAO，
又∵AE＝AF，AO＝AO，
∴△EAO≌△FAO（SAS），
∴∠AOE＝∠AOF＝60°，
∴∠COF＝60°，
∴∠AOF＝∠COF＝60°，
∴OF是△AOC的角平分線，
∴，
又∵AO是△ACE的角平分線，
∴＝＝，
∴＝，
∴AF＝，
∴CF＝，
∴＝＝＝．

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