1．簡簡單單的七巧板能拼出千變?nèi)f化的圖形．殊不知七巧板作為中國傳統(tǒng)玩具在國外也甚為流傳，被稱為“唐圖”．下面四幅七巧板拼圖的形狀是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如圖，在中，，，，分別是，，的對邊，則下列式子正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師與學(xué)生們做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)：不透明袋子中有4個白球、3個紅球、2個黃球和1個黑球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出一個球，某一顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該種球的顏色最有可能是（ ）
A．黑球B．紅球C．黃球D．白球
4．如圖，，與相交于點(diǎn)（點(diǎn)在，之間），若，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在中，半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則（ ）

A．B．C．D．
6．關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖象的開口向上
B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
C．函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
D．當(dāng)時，的值隨的值的增大而減小
7．國產(chǎn)動畫電影《舒克貝塔·五角飛碟》于2024元旦檔上映．電影的點(diǎn)映及預(yù)售總票房破400萬，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計(jì)票房收入達(dá)4000萬．設(shè)票房收入的增長率為x，則方程可列為（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，直線 與雙曲線 交于，兩點(diǎn)，則不等式 的解為 （ ）
A．B．
C．或D．或
二、填空題（本大題共1小題）
9．若，則 ．
三、單選題（本大題共1小題）
10．已知是關(guān)于x的方程的解，則m值為 ．
四、填空題（本大題共3小題）
11．如圖所示，已知在梯形中，，，則 ．
12．如圖1是裝了液體的長方體容器的主視圖（數(shù)據(jù)如圖），將該容器繞地面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好接觸到容器口邊緣，如圖2所示，此時液面寬度 ．
13．如圖，在矩形紙片中，將沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，為折痕，連接；再將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，為折痕，連接并延長交于點(diǎn)，若，，則線段的長等于 ．
五、解答題（本大題共7小題）
14．計(jì)算：．
15．?dāng)?shù)學(xué)文化節(jié)猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質(zhì)地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數(shù)學(xué)名詞”，字謎C、字謎D是猜“數(shù)學(xué)家人名”．
(1)若小軍從中隨機(jī)抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數(shù)學(xué)名詞”的概率是__________；
(2)若小軍一次從中隨機(jī)抽取兩張字謎卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率．
16．如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
(1)在圖1中作的角平分線；
(2)在圖2中過點(diǎn)作一條直線，使點(diǎn)，到直線的距離相等．
17．根據(jù)背景素材，探索解決問題．
18．如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
19．二次函數(shù)的圖象交x軸于原點(diǎn)O及點(diǎn)A．
【感知特例】
（1）當(dāng)時，如圖1，拋物線上的點(diǎn)B，O，C，A，D分別關(guān)于點(diǎn)A中心對稱的點(diǎn)為、、、、，如表：
①補(bǔ)全表格；
②在圖1中描出表中對稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．
【形成概念】
我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖像上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，則稱是L的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時，圖2中的拋物線是拋物線L的“孔像拋物線”．
【探究問題】
（2）①當(dāng)時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為________；
②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)m取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是________（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點(diǎn)，求m的值．
20．問題背景：如圖（1），在矩形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，求證：．
問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)，求證：．
問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

參考答案
1．【答案】B
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A. 不是中心對稱圖形，不符合題意，
B.是中心對稱圖形，符合題意，
C.不是中心對稱圖形，不符合題意，
D不是中心對稱圖形，不符合題意，
故此題答案為B
2．【答案】D
【詳解】解：如圖，
、，原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)正確，符合題意；
故此題答案為．
3．【答案】C
【分析】先求出四種顏色球出現(xiàn)的概率，再根據(jù)頻率估計(jì)出概率，即可求解．
【詳解】解：由題意可知，袋子上中有個球，則白球出現(xiàn)的概率為，紅球出現(xiàn)的概率為，黃球出現(xiàn)的概率為，黑球出現(xiàn)的概率為，
試驗(yàn)中該顏色的球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在左右，
該種球的顏色最有可能是黃色，
故此題答案為C．
4．【答案】A
【分析】利用平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例求解．
【詳解】解：∵，
∴．
故此題答案為A．
5．【答案】D
【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：如圖，
半徑互相垂直，
，
所對的圓心角為，
所對的圓周角，
又，
，
故此題答案為D．
6．【答案】D
【分析】從拋物線的頂點(diǎn)式可知拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，最高（最低）點(diǎn)坐標(biāo)，增減性等．已知拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式反映出的性質(zhì)，逐一判斷．
【詳解】解：∵二次函數(shù)中，
∴二次函數(shù)的圖象開口向下，故A選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
∴對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是2,3，故B選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
∴函數(shù)有最高點(diǎn)2,3，當(dāng)時，的值隨的值的增大而減小，故D選項(xiàng)正確，符合題意；
令中的解得：，故函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，故C選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
故此題答案為D．
7．【答案】D
【分析】根據(jù)每天票房按相同的增長率增長，可以列出方程，本題得以解決．
【詳解】解：設(shè)票房收入的增長率為x，
則第二天的票房收入為，
第三天的票房收入為，
由題可知．
故此題答案為D．
8．【答案】D
【詳解】解：直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的解析式為即，
∵直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，
∴直線與雙曲線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，
觀察圖象可知，
當(dāng)或時，直線在反比例函數(shù)圖象的下方，
∴不等式的解為是或，
故此題答案為．
9．【答案】
【分析】由，設(shè)，，然后代入式子計(jì)算即可．
【詳解】解：由，設(shè)，，
∴
10．【答案】
【分析】將代入原方程即可求解．
【詳解】解：是關(guān)于的方程的解，
，
解得：
11．【答案】
【分析】過作于，過作于，由四邊形是矩形，可得，，根據(jù)，可得，，即可得到．
【詳解】解：過作于，過作于，如圖：
，，，
四邊形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
12．【答案】
【分析】如圖，作于，則，由題意知，，，則，證明，則，即，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：如圖，作于，則，
由題意知，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
13．【答案】．
【分析】據(jù)折疊可得是正方形，，，，可求出三角形的三邊為3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三邊的長，通過作輔助線，可證∽，三邊占比為3：4：5，設(shè)未知數(shù)，通過，列方程求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出的長，然后求的長．
【詳解】過點(diǎn)作，，垂足為、，
由折疊得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，設(shè)，則，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
設(shè)，則，，
∴，，
解得：，
∴，
∴
14．【答案】
【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值和二次根式的性質(zhì)化簡，然后計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)概率公式解答即可．
（2）利用畫樹狀圖法解答即可．
【詳解】（1）小軍抽取的字謎是猜“數(shù)學(xué)名詞”的概率是，
故答案為：．
（2）根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的有2種，
∴小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率是．
16．【答案】(1)作圖見解析部分
(2)作圖見解析部分
【分析】（1）連接，，與交于點(diǎn)，作射線即可；
（2）取格點(diǎn)，過點(diǎn)和點(diǎn)作直線即可．
【詳解】（1）解：如圖1，連接、，與交于點(diǎn)，設(shè)小正方形的邊長為1個單位，
∵線段和是矩形的兩條對角線且交于點(diǎn)，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射線即為所作；
（2）如圖2，連接、、、，直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)小正方形的邊長為1個單位，
∴，，
，，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，，且，
∴直線即為所作．
17．【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：；任務(wù)3：當(dāng)x為65時，銷售總利潤達(dá)到最大，最大總利潤為12250元
【分析】任務(wù)1：設(shè)增長率為a ，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量,即可得出關(guān)于a的一元二次方程；
任務(wù)2：根據(jù)售價每漲價1元/個，則月銷售量將減少10個列代數(shù)式；
任務(wù)3：利用二次函數(shù)的最值求解即可
【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)增長百分率為a，依題意列方程為：；
故答案為：；
任務(wù)2：該品牌頭盔定價為x元/個，則銷售量為；
故答案為：；
任務(wù)3：設(shè)總利潤為w元，銷售量為y個
∴
，
∴當(dāng)時，元，
∴當(dāng)x為65時，銷售總利潤達(dá)到最大，最大總利潤為12250元．
18．【答案】(1)見詳解；(2)
【分析】（1）由等弧所對的圓周角相等可得出，再由等邊對等角得出，等量代換可得出，又，即可得出．
（2）連接，由直徑所對的圓周角等于得出，設(shè)，即，由相似三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出，即可得出的值， 進(jìn)一步即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
（2）連接，如下圖：
∵為直徑，∴，
設(shè)，∴，
由（1）知，∴，
∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，
即，解得，
.
19．【答案】（1）①；②見解析；（2）①；②；③
【分析】（1）①根據(jù)中心對稱的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；
（2）①畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點(diǎn)為，則圖象的頂點(diǎn)為 ，再根據(jù)題意即可求解．
【詳解】解：（1）①∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
補(bǔ)全表格如下：
②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖1所示．

（2）①當(dāng)時，拋物線為，對稱軸為，
它的“孔像拋物線”的解析式為，對稱軸為．
畫出草圖如圖2所示：

∴拋物線L與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著x的增大而減小．
則x的取值范圍為．
②畫出草如圖3所示．

由圖象知，這條拋物線的解析式只能是．故答案為．
③，設(shè)頂點(diǎn)為，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，“孔像拋物線”的頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，

由題意，可知．得，
∴．
∵拋物線及“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點(diǎn)，
∴或．
解得或0．
當(dāng)時，與只有一個交點(diǎn)，不合題意，舍去．
∴．
20．【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：
【分析】問題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可得，即可得證；
問題探究：取的中點(diǎn)，連接，得是的中位線，根據(jù)已知條件可得平行且等于，進(jìn)而可得是平行四邊形，得，則，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進(jìn)而可得，等量代換可得，等角對等邊，即可得證；
問題拓展：過點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，根據(jù)已知以及勾股定理得出；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得，證明垂直平分，進(jìn)而得出，證明，進(jìn)而證明， 進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，分別是，的中點(diǎn)
∴，
即，
∴；
問題探究：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∴
又∵，是的中點(diǎn)，
∴
∴
∴，
∴；
問題拓展：如圖所示，過點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，

∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中點(diǎn)，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
設(shè)，則
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．素材1
電動車是重要的出行工具之一．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
素材2
若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每漲價1元/個，則月銷售量將減少10個．
問題解決
任務(wù)1
為求該品牌頭盔銷售量的月增長率，設(shè)增長百分率為a，依題意列方程為：________．
任務(wù)2
若該品牌頭盔定價為x元/個，則銷售量為________（用含x的代數(shù)式表示）
任務(wù)3
當(dāng)x為多少時？銷售總利潤達(dá)到最大，求最大總利潤．
…
A（________，________）
…
…
…
…
…
…
…

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