一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、兩點(diǎn)分布
1.若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為
其中 SKIPIF 1 < 0 ，則稱離散型隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從參數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 的兩點(diǎn)分布．其中 SKIPIF 1 < 0 稱為成功概率．
注意：兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為 SKIPIF 1 < 0 ；
2.兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從參數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 的兩點(diǎn)分布，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
二、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1.定義
一般地，在相同條件下重復(fù)做的 SKIPIF 1 < 0 次試驗(yàn)稱為 SKIPIF 1 < 0 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
2.特點(diǎn)
（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；
（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．
三、二項(xiàng)分布
1.定義
一般地，在 SKIPIF 1 < 0 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用 SKIPIF 1 < 0 表示事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，不發(fā)生的概率 SKIPIF 1 < 0 ，那么事件 SKIPIF 1 < 0 恰好發(fā)生 SKIPIF 1 < 0 次的概率是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ）
于是得到 SKIPIF 1 < 0 的分布列
由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式
SKIPIF 1 < 0 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從參數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二項(xiàng)分布，記作 SKIPIF 1 < 0 ，并稱 SKIPIF 1 < 0 為成功概率．
注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．
2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
③隨機(jī)變量是這 SKIPIF 1 < 0 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．
（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．
3.二項(xiàng)分布的期望、方差
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
四、超幾何分布
1.定義
在含有 SKIPIF 1 < 0 件次品的 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中，任取 SKIPIF 1 < 0 件，其中恰有 SKIPIF 1 < 0 件次品，則事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1，2，…， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①考察對(duì)象分兩類；
②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的概率分布．
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．
五、正態(tài)曲線
1.定義：我們把函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 是樣本均值， SKIPIF 1 < 0 是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．
2.正態(tài)曲線的性質(zhì)
（1）曲線位于 SKIPIF 1 < 0 軸上方，與 SKIPIF 1 < 0 軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱；
（3）曲線在 SKIPIF 1 < 0 處達(dá)到峰值（最大值） SKIPIF 1 < 0 ；
（4）曲線與 SKIPIF 1 < 0 軸之間的面積為1；
（5）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 一定時(shí)，曲線的位置由 SKIPIF 1 < 0 確定，曲線隨著 SKIPIF 1 < 0 的變化而沿 SKIPIF 1 < 0 軸平移，如圖甲所示：
（6）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 一定時(shí)，曲線的形狀由 SKIPIF 1 < 0 確定． SKIPIF 1 < 0 越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中； SKIPIF 1 < 0 越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：

甲 乙
六、正態(tài)分布
1.定義
隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 落在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的兩條 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線，及 SKIPIF 1 < 0 軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是 SKIPIF 1 < 0 落在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率的近似值．
一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 確定，因此正態(tài)分布常記作 SKIPIF 1 < 0 ．如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布，則記為 SKIPIF 1 < 0 ．
其中，參數(shù) SKIPIF 1 < 0 是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)； SKIPIF 1 < 0 是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．
2. SKIPIF 1 < 0 原則
若 SKIPIF 1 < 0 ，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 而言，該面積隨著 SKIPIF 1 < 0 的減小而變大．這說(shuō)明 SKIPIF 1 < 0 越小， SKIPIF 1 < 0 落在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率越大，即 SKIPIF 1 < 0 集中在 SKIPIF 1 < 0 周圍的概率越大
特別地，有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間 SKIPIF 1 < 0 之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有 SKIPIF 1 < 0 ，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 的隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 只取 SKIPIF 1 < 0 之間的值，并簡(jiǎn)稱之為 SKIPIF 1 < 0 原則．
【常用結(jié)論】
①超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；
而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.
②求正態(tài)變量 SKIPIF 1 < 0 在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法
（1）根據(jù)題目中給出的條件確定 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的值．
（2）將待求問(wèn)題向 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）利用 SKIPIF 1 < 0 在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．
二、題型分類精講
題型一 兩點(diǎn)分布
策略方法
兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為 SKIPIF 1 < 0
【典例1】在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從兩點(diǎn)分布，且 SKIPIF 1 < 0 .設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．0.6B．0.3C．0.2D．0.4
2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的3倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．兩點(diǎn)分布也叫 SKIPIF 1 < 0 分布，已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從參數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 的兩點(diǎn)分布，則下列選項(xiàng)中不正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從兩點(diǎn)分布， SKIPIF 1 < 0 ，則其成功概率為（ ）
A．0B．1C．0.3D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
5．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從兩點(diǎn)分布的是（ ）
A．拋擲一枚均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0
B．某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，命中得1分，不中得0分， SKIPIF 1 < 0 為罰球一次的得分
C．從裝有大小完全相同的5個(gè)紅球、3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球， SKIPIF 1 < 0
D．從含有3件次品的100件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件， SKIPIF 1 < 0 為抽到的次品件數(shù)
三、填空題
7．已知隨機(jī)變量X的取值為0，1，若 SKIPIF 1 < 0 ，則X的均值為 .
8．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從兩點(diǎn)分布，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且 SKIPIF 1 < 0 ，則隨機(jī)變量X的方差為 ．
四、解答題
11．甲擊中目標(biāo)的概率是p，如果擊中，得1分，否則得0分．用X表示甲的得分，計(jì)算隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
12．從裝有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)白球和 SKIPIF 1 < 0 個(gè)紅球的口袋中任取 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，用 SKIPIF 1 < 0 表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，則 SKIPIF 1 < 0 的取值為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的概率分布．
13．一個(gè)袋中有除顏色外其余完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球．
(1)從袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，則有 SKIPIF 1 < 0 求X的分布列；
(2)從袋中任意摸出兩個(gè)球，用“ SKIPIF 1 < 0 0”表示兩個(gè)球全是白球，用“ SKIPIF 1 < 0 ”表示兩個(gè)球不全是白球，求Y的分布列．
14．籃球運(yùn)動(dòng)員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知運(yùn)動(dòng)員甲投籃命中率的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若投籃1次得分記為 SKIPIF 1 < 0 ，求方差 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（2）當(dāng)（1）中 SKIPIF 1 < 0 取最大值時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員甲投5次籃得分為4分的概率．
15．現(xiàn)有 SKIPIF 1 < 0 人要通過(guò)化驗(yàn)來(lái)確定是否患有某種疾病，化驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性視為患有該疾病．化驗(yàn)方案 SKIPIF 1 < 0 ：先將這 SKIPIF 1 < 0 人化驗(yàn)樣本混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽(yáng)性，則還要對(duì)每個(gè)人再做一次化驗(yàn)；否則化驗(yàn)結(jié)束．已知這 SKIPIF 1 < 0 人未患該疾病的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，是否患有該疾病相互獨(dú)立．
(1)按照方案 SKIPIF 1 < 0 化驗(yàn)，求這 SKIPIF 1 < 0 人的總化驗(yàn)次數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列；
(2)化驗(yàn)方案 SKIPIF 1 < 0 ：先將這 SKIPIF 1 < 0 人隨機(jī)分成兩組，每組 SKIPIF 1 < 0 人，將每組的 SKIPIF 1 < 0 人的樣本混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽(yáng)性，則還需要對(duì)這 SKIPIF 1 < 0 人再各做一次化驗(yàn)；否則化驗(yàn)結(jié)束．若每種方案每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，且 SKIPIF 1 < 0 ，問(wèn)方案 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中哪個(gè)化驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望更??？
題型二 超幾何分布
策略方法
超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要是指與兩類不同元素的抽取問(wèn)題的概率計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列、期望及方差的求解等有關(guān)的問(wèn)題．解題的關(guān)鍵如下：
①定型：根據(jù)已知建立相應(yīng)的概率模型，并確定離散型隨機(jī)變量服從的分布的類型，特別要區(qū)分超幾何分布與二項(xiàng)分布．
②定參：確定超幾何分布中的三個(gè)參數(shù)N，M，n．即確定試驗(yàn)中包含的元素的個(gè)數(shù)、特殊元素的個(gè)數(shù)及要抽取的元素個(gè)數(shù)．
③列表：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率列出分布列．
④求值：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)值求值．
【典例1】一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，白球有3個(gè)，從中任意取出3個(gè)球.
(1)求取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球的概率；
(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．已知8名學(xué)生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數(shù)為X，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)的概率為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．1
4．今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．某競(jìng)賽小組共有13人，其中有6名女生，現(xiàn)從該競(jìng)賽小組中任選5人參加一項(xiàng)活動(dòng)，用 SKIPIF 1 < 0 表示這5人中女生的人數(shù)，則下列概率中等于 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．某學(xué)校有一個(gè)體育運(yùn)動(dòng)社團(tuán)，該社團(tuán)中會(huì)打籃球且不會(huì)踢足球的有3人，籃球、足球都會(huì)的有2人，從該社團(tuán)中任取2人，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為選出的人中籃球、足球都會(huì)的人數(shù)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則該社團(tuán)的人數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．10
二、多選題
7．某單位推出了 SKIPIF 1 < 0 道有關(guān)二十大的測(cè)試題供學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)和測(cè)試，乙能答對(duì)其中的 SKIPIF 1 < 0 道題，規(guī)定每次測(cè)試都是從這 SKIPIF 1 < 0 道題中隨機(jī)抽出 SKIPIF 1 < 0 道，答對(duì)一題加 SKIPIF 1 < 0 分，答錯(cuò)一題或不答減 SKIPIF 1 < 0 分，最終得分最低為 SKIPIF 1 < 0 分，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．乙得 SKIPIF 1 < 0 分的概率是 SKIPIF 1 < 0 B．乙得 SKIPIF 1 < 0 分的概率是 SKIPIF 1 < 0
C．乙得 SKIPIF 1 < 0 分的概率是 SKIPIF 1 < 0 D．乙得 SKIPIF 1 < 0 分的概率是 SKIPIF 1 < 0
8．在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地、大小均一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布
C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布
D． SKIPIF 1 < 0
9．一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 為取出白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 為取出黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 服從超幾何分布B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空題
10．從一箱臍橙（共10個(gè)，其中7個(gè)是大果，3個(gè)是中果）中任選3個(gè)，則恰有2個(gè)中果的概率為 ．
11．莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟、莫高窟三層樓16號(hào)窟、藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是 ．
12．廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是 ．
13．一個(gè)袋中共有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，得到黑球的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；從袋中任意摸出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，至少得到 SKIPIF 1 < 0 個(gè)白球的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，則白球的個(gè)數(shù)為 .
14．為慶祝第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國(guó)杭州舉行，杭州某中學(xué)舉辦了一次“亞運(yùn)知識(shí)知多少”的知識(shí)競(jìng)賽.參賽選手從7道題（4道多選題，3道單選題）中隨機(jī)抽題進(jìn)行作答，若某選手先隨機(jī)抽取2道題，再隨機(jī)抽取1道題，則最后抽取到的題為多選題的概率為 .
15．在高考志愿模擬填報(bào)實(shí)驗(yàn)中，共有9個(gè)專業(yè)可供學(xué)生甲填報(bào)，其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個(gè)．若在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)進(jìn)行填報(bào)，則填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為 ．
四、解答題
16．教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．
(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；
(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列；
17．為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道 SKIPIF 1 < 0 類試題得10分；每答對(duì)1道 SKIPIF 1 < 0 類試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué) SKIPIF 1 < 0 類試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道 SKIPIF 1 < 0 類試題的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若該同學(xué)只抽取3道 SKIPIF 1 < 0 類試題作答，設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求 SKIPIF 1 < 0 的分布和期望；
(2)若該同學(xué)在 SKIPIF 1 < 0 類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．
18．某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用 SKIPIF 1 < 0 兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市 SKIPIF 1 < 0 個(gè)人數(shù)超過(guò)1000的大集團(tuán)和3個(gè)人數(shù)低于200的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是大集團(tuán)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為小集團(tuán)的概率；
(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出大集團(tuán)的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．隨著“中華好詩(shī)詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩(shī)詞經(jīng)典的熱潮．某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對(duì)于“中華詩(shī)詞”的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間，按照 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分組，并整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間，可以將學(xué)生對(duì)于“中華詩(shī)詞”的喜好程度分為三個(gè)等級(jí)：
(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計(jì)其“愛(ài)好”中華詩(shī)詞的概率；
(2)從這兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記ξ為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”時(shí)間的平均值 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小，及方差 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）
20．一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長(zhǎng)外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標(biāo)．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來(lái)中國(guó)各地政府對(duì)夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長(zhǎng)，下表為2017—2022年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模（單位：萬(wàn)億元），設(shè)2017—2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1~6．
(1)已知可用函數(shù)模型 SKIPIF 1 < 0 擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.01）；
(2)某傳媒公司發(fā)布的2023年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)城市發(fā)展指數(shù)排行榜前10名中，吸引力超過(guò)90分的有4個(gè)，從這10個(gè)城市中隨機(jī)抽取5個(gè)，記吸引力超過(guò)90分的城市數(shù)量為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：
其中 SKIPIF 1 < 0 ．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，其回歸直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
21．2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 “了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”， SKIPIF 1 < 0 “學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù) SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
22．ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話，ChatGPT的開發(fā)主要采用PLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù).在測(cè)試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)在某次測(cè)試中輸入了7個(gè)問(wèn)題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這7個(gè)問(wèn)題中抽取3個(gè)，以 SKIPIF 1 < 0 表示這抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問(wèn)題的輸入沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率.
23．某班為了慶祝我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)紅球，則分得 SKIPIF 1 < 0 個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目.
(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
24．有3男?2女共5位學(xué)生，從中隨機(jī)選取3人參加創(chuàng)建文明城區(qū)宣傳活動(dòng)，用隨機(jī)變量X?Y分別表示被選中的男生?女生人數(shù).
(1)寫出 SKIPIF 1 < 0 的分布，并求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
題型三 二項(xiàng)分布
策略方法
二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要是指與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列、期望及方差的求解等有關(guān)的問(wèn)題．解題的關(guān)鍵如下：
①定型，“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
②定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．
③列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．
④求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【典例1】．某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)，方便管理”的原則，參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)有A，B，C三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇相互獨(dú)立.設(shè)4名參加保險(xiǎn)人員選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【典例2】隨著國(guó)力的發(fā)展，人們的生活水平越來(lái)越好，我國(guó)的人均身高較新中國(guó)成立初期有大幅提高．為了掌握學(xué)生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀，合理制訂學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進(jìn)行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高 SKIPIF 1 < 0 （單位：cm）服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，試估計(jì)該市身高高于180cm的高中男生人數(shù)．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從二項(xiàng)分布 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．“錦里開芳宴，蘭缸艷早年.”元宵節(jié)是中國(guó)非常重要的傳統(tǒng)節(jié)日，某班級(jí)準(zhǔn)備進(jìn)行“元宵福氣到”抽獎(jiǎng)活動(dòng)福袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1， 2， 3， 4， 5的五個(gè)相同小球，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，若號(hào)碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有5名同學(xué)參與此次活動(dòng)，則恰好3人獲獎(jiǎng)的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對(duì)其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)有10門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次．記恰好擊中目標(biāo)3次的概率為A；若擊中目標(biāo)記2分，記10門大炮總得分的期望值為B，則A，B的值分別為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，5B． SKIPIF 1 < 0 ，10C． SKIPIF 1 < 0 ，5D． SKIPIF 1 < 0 ，10
6．技術(shù)員小李對(duì)自己培育的新品種蔬菜種子進(jìn)行發(fā)芽率的試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組3個(gè)坑，每個(gè)坑種1粒種子.經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組沒(méi)有發(fā)芽的坑數(shù)平均數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則每粒種子發(fā)芽的概率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．?dāng)?shù)軸上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知向右移動(dòng)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，向左移動(dòng)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，共移動(dòng)6次，則質(zhì)點(diǎn)位于2的位置的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．琴棋書畫是中國(guó)古代四大藝術(shù)，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，琴棋書畫之棋，指的就是圍棋．已知甲、乙兩人進(jìn)行五局圍棋比賽，甲每局獲勝的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，且各局的勝負(fù)相互獨(dú)立，設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
9．設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有10道單選題（四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的），某同學(xué)全都不會(huì)做，記該同學(xué)做對(duì)的題目數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 服從二項(xiàng)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．甲、乙兩人進(jìn)行比賽，假設(shè)每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，且各局比賽互不影響．若采取“5局3勝制”，則概率最大的比賽結(jié)果是（ ）
A．乙 SKIPIF 1 < 0 贏得比賽B．甲 SKIPIF 1 < 0 贏得比賽
C．甲 SKIPIF 1 < 0 贏得比賽D．甲 SKIPIF 1 < 0 贏得比賽
12．排球比賽實(shí)行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲?乙兩隊(duì)的比賽中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙隊(duì)獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．某人在19次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 最大，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．14或15B．15C．15或16D．16
14．為了遠(yuǎn)程性和安全性上與美國(guó)波音747競(jìng)爭(zhēng)，歐洲空中客車公司設(shè)計(jì)并制造了 SKIPIF 1 < 0 ，它是一種有四臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的遠(yuǎn)程雙過(guò)道寬體客機(jī)，取代只有兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的 SKIPIF 1 < 0 ，假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知 SKIPIF 1 < 0 飛機(jī)至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行； SKIPIF 1 < 0 飛機(jī)需要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才能成功飛行.若要使 SKIPIF 1 < 0 飛機(jī)比 SKIPIF 1 < 0 飛機(jī)更安全，則飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．甲乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立且沒(méi)有平局，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．某同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)投籃測(cè)試，若該同學(xué)連續(xù)三次投籃成功，則通過(guò)測(cè)試；若出現(xiàn)連續(xù)兩次失敗，則不通過(guò)測(cè)試.已知該同學(xué)每次投籃的成功率為 SKIPIF 1 < 0 ，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．為了發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)政府根據(jù)當(dāng)?shù)氐牡乩韮?yōu)勢(shì)計(jì)劃從A，B，C三種經(jīng)濟(jì)作物中選取兩種進(jìn)行種植推廣.通過(guò)調(diào)研得到當(dāng)?shù)卮迕裨敢夥N植A，B，C的概率均分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若從當(dāng)?shù)卮迕裰须S機(jī)選取4人進(jìn)行交流，則其中至少有2人愿意種植A，且至少有1人愿意種植B的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．某學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，采取積分制，有7次投籃機(jī)會(huì)，投中一次得1分，不中得0分，若連續(xù)投中兩次則額外加1分，連續(xù)投中三次額外加2分，以此類推，連續(xù)投中七次額外加6分，假設(shè)該學(xué)生每次投中的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，且每次投中之間相互獨(dú)立，則該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
19．一個(gè)盒子里放著大小、形狀完全相同的1個(gè)黑球、2個(gè)白球、2個(gè)紅球，現(xiàn)不放回地隨機(jī)從盒子中摸球，每次取一個(gè)，直到取到黑球?yàn)橹?，記摸到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．若袋子中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球（球除了顏色不同，沒(méi)有其他任何區(qū)別），現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．某區(qū)四所高中各自組建了排球隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率都為 SKIPIF 1 < 0 ，則在比賽結(jié)束時(shí)（ ）
A．甲隊(duì)積分為9分的概率為 SKIPIF 1 < 0 B．四支球隊(duì)的積分總和可能為15分
C．甲隊(duì)勝3場(chǎng)且乙隊(duì)勝1場(chǎng)的概率為 SKIPIF 1 < 0 D．甲隊(duì)輸一場(chǎng)且積分超過(guò)其余每支球隊(duì)積分的概率為 SKIPIF 1 < 0
22．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔 SKIPIF 1 < 0 向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，向左移動(dòng)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，向右移動(dòng)的概率為 SKIPIF 1 < 0 .則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．第八次移動(dòng)后位于原點(diǎn)0的概率為 SKIPIF 1 < 0
B．第六次移動(dòng)后位于4的概率為 SKIPIF 1 < 0
C．第一次移動(dòng)后位于-1且第五次移動(dòng)后位于1的概率為 SKIPIF 1 < 0
D．已知第二次移動(dòng)后位于2，則第六次移動(dòng)后位于4的概率為 SKIPIF 1 < 0
三、填空題
23．設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
24．某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核，規(guī)則是①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃；②每個(gè)輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過(guò)，否則不通過(guò)．已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是 ．
25．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，恰好出現(xiàn)3次正面朝上的概率為 ．
26．若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
27．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．當(dāng)比賽采取 SKIPIF 1 < 0 局 SKIPIF 1 < 0 勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)甲，乙進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 局比賽，設(shè)甲勝的局?jǐn)?shù)為 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ．
28．將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是 .
29．甲與乙進(jìn)行投籃游戲，在每局游戲中兩人分別投籃兩次，每局投進(jìn)的次數(shù)之和不少于 SKIPIF 1 < 0 次則勝利，已知甲乙兩名隊(duì)員投籃相互獨(dú)立且投進(jìn)籃球的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為甲乙兩名隊(duì)員獲得勝利的局?jǐn)?shù)，若游戲的局?jǐn)?shù)是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
30．投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期較為盛行.如圖所示的為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲?乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者，且甲?乙每次投壺投中的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 ，每人每次投壺相互獨(dú)立.若約定甲投壺2次，乙投壺3次，投中次數(shù)多者勝，則乙最后獲勝的概率為 .
四、解答題
31．某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對(duì)第1題的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，甲答對(duì)題序?yàn)?SKIPIF 1 < 0 的題目的概率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
(1)若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，求甲答對(duì)第4題的概率；
(2)求甲停止答題時(shí)答對(duì)題目數(shù)量 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望．
32．某中醫(yī)研究所研制了一種治療A疾病的中藥，為了解其對(duì)A疾病的作用，要進(jìn)行雙盲實(shí)驗(yàn)．把60名患有A疾病的志愿者隨機(jī)平均分成兩組，甲組正常使用這種中藥，乙組用安慰劑代替中藥，全部療期后，統(tǒng)計(jì)甲、乙兩組的康復(fù)人數(shù)分別為20和5．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表，并判斷是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為使用這種中藥與A疾病康復(fù)有關(guān)聯(lián)？
(2)若將乙組未用藥（用安慰劑代替中藥）而康復(fù)的頻率視為這種疾病的自愈概率，現(xiàn)從患有A疾病的人群中隨機(jī)抽取3人，記其中能自愈的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附表：
附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
注：雙盲實(shí)驗(yàn)：是指在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，測(cè)驗(yàn)者與被測(cè)驗(yàn)者都不知道被測(cè)者所屬的組別，（實(shí)驗(yàn)組或?qū)φ战M），分析者在分析資料時(shí)，通常也不知道正在分析的資料屬于哪一組．旨在消除可能出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)者和參與者意識(shí)當(dāng)中的主觀偏差和介入偏好．安慰劑：是指沒(méi)有藥物治療作用，外形與真藥相像的片、丸、針劑．
33．某中學(xué)為了響應(yīng)國(guó)家雙減政策，開展了校園娛樂(lè)活動(dòng)．在一次五子棋比賽活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)每賽一局，勝者得1分，對(duì)方得0分，沒(méi)有平局．規(guī)定當(dāng)一人比另一人多得5分或進(jìn)行完10局比賽時(shí)，活動(dòng)結(jié)束．假設(shè)甲、乙兩位同學(xué)獲勝的概率都為 SKIPIF 1 < 0 ，且兩人各局勝負(fù)分別相互獨(dú)立．已知現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)行了3局比賽，甲得2分，乙得1分，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)比賽．
(1)只有當(dāng)一人比另一人多得5分時(shí)，得分高者才能獲得比賽獎(jiǎng)品，求甲獲得比賽獎(jiǎng)品的概率；
(2)設(shè)X表示該活動(dòng)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的比賽的總輪數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
34．某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考查方案：考生從 SKIPIF 1 < 0 道備選題中一次性隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定至少正確完成其中 SKIPIF 1 < 0 題才可提交通過(guò)．已知 SKIPIF 1 < 0 道備選題中考生甲有 SKIPIF 1 < 0 道題能正確完成， SKIPIF 1 < 0 道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，且每題正確完成與否互不影響．
(1)求甲考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的分布列，并計(jì)算均值；
(2)試從甲、乙兩位考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值、方差及至少正確完成 SKIPIF 1 < 0 題的概率方面比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．
35．為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；
(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在 SKIPIF 1 < 0 的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 件，再?gòu)倪@ SKIPIF 1 < 0 件中隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 件，求至少有一件的指標(biāo)值在 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出 SKIPIF 1 < 0 件，記這 SKIPIF 1 < 0 件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
36．學(xué)校舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒(méi)有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的.已知小明每次投籃投中的概率都是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求小明在投籃過(guò)程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列
37．為了引導(dǎo)人民強(qiáng)健體魄，某市組織了一系列活動(dòng)，其中乒乓球比賽的冠軍由A，B兩隊(duì)爭(zhēng)奪，已知A，B兩隊(duì)之間的比賽采用5局3勝制，且本次比賽共設(shè)有3000元獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金分配規(guī)則如下：①若比賽進(jìn)行3局即可決定勝負(fù)，則贏方獲得全部獎(jiǎng)金，輸方?jīng)]有獎(jiǎng)金；②若比賽進(jìn)行4局即可決定勝負(fù)，則贏方獲得90%的獎(jiǎng)金，輸方獲得10%的獎(jiǎng)金；③若比賽打滿5局才決定勝負(fù)，則贏方獲得80%的獎(jiǎng)金，輸方獲得20%的獎(jiǎng)金．已知每局比賽A隊(duì)，B隊(duì)贏的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若比賽進(jìn)行4局即可決定勝負(fù)，則A隊(duì)贏得比賽的概率為多少？
(2)求A隊(duì)獲得獎(jiǎng)金金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
38．某電商車間生產(chǎn)了一批電子元件，為了檢測(cè)元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了電子元件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件 SKIPIF 1 < 0 的合格率都為 SKIPIF 1 < 0 ，元件 SKIPIF 1 < 0 的合格率都為 SKIPIF 1 < 0 .

(1)質(zhì)檢員在某次檢測(cè)中，發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了，他認(rèn)為這三個(gè)電子元件都是合格的，求該質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的概率；
(2)經(jīng)反復(fù)測(cè)驗(yàn)，質(zhì)檢員把一些電子元件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列.
39．樹人中學(xué)某班同學(xué)看到有關(guān)產(chǎn)品抽檢的資料后，自己設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬抽檢方案的摸球?qū)嶒?yàn)．在一個(gè)不透明的箱子中放入10個(gè)小球代表從一批產(chǎn)品中抽取出的樣本（小球除顏色外均相同），其中有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)紅球（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），代表合格品，其余為黑球，代表不合格品，從箱中逐一摸出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小球，方案一為不放回摸取，方案二為放回后再摸下一個(gè)，規(guī)定：若摸出的 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小球中有黑色球，則該批產(chǎn)品未通過(guò)抽檢．
(1)若采用方案一， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求該批產(chǎn)品未通過(guò)抽檢的概率；
(2)（?。┤?SKIPIF 1 < 0 ，試比較方案一和方案二，哪個(gè)方案使得該批產(chǎn)品通過(guò)抽檢的概率大？并判斷通過(guò)抽檢的概率能否大于 SKIPIF 1 < 0 ？并說(shuō)明理由．
（ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)采用（ⅰ）中概率最大的方案，設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中抽得的紅球?yàn)?SKIPIF 1 < 0 個(gè)，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
40．某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題便可通過(guò).已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，且每題正確完成與否互不影響，求：
(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.
題型四 正態(tài)分布
策略方法 關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
(1)熟記P(μ－σ

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