專題17 力學(xué)計(jì)算--2024年高考物理二模試題分類匯編（北京專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2024·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖所示，質(zhì)量的籃球從離地高度處由靜止釋放，與地面發(fā)生第一次碰撞后反彈，達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)離地高度，籃球與地面發(fā)生作用的時(shí)間?；@球反彈至最高點(diǎn)后，運(yùn)動(dòng)員通過豎直向下拍擊籃球?qū)ζ渥龉Γ够@球與地面發(fā)生第二次碰撞，碰后恰能反彈至離地高度處。若籃球兩次與地面碰撞損失的機(jī)械能相同，重力加速度，不計(jì)空氣阻力。求：
（1）籃球第一次與地面碰撞的過程中，損失的機(jī)械能；
（2）籃球第一次與地面碰撞的過程中，受到地面的平均作用力的大小F；
（3）運(yùn)動(dòng)員拍擊籃球的過程，對(duì)籃球做的功W。
2．（2024·北京朝陽·統(tǒng)考二模）如圖所示，水平圓臺(tái)可以繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓臺(tái)中心兩側(cè)放上甲、乙兩物體，兩物體的質(zhì)量均為m，均可視為質(zhì)點(diǎn)，甲、乙兩物體到圓臺(tái)中心距離分別為2R、R，其連線過圓臺(tái)中心。兩物體與圓臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。
（1）若圓臺(tái)以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)。求兩物體的加速度之比；
（2）若圓臺(tái)的角速度逐漸增大，請(qǐng)分析說明甲、乙兩物體誰先滑動(dòng)；
（3）若將甲、乙兩物體用不可伸長的輕繩連接，輕繩最初拉直而不張緊，緩慢增加圓臺(tái)的轉(zhuǎn)速，求兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。
3．（2024·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖所示，水平桌面上放置一光滑導(dǎo)軌，導(dǎo)軌距地面高度為H，末端伸出桌面.質(zhì)量為m的物塊A從某一高度由靜止釋放，與導(dǎo)軌末端靜止放置的質(zhì)量也為m的物塊B發(fā)生碰撞。碰后兩物塊粘在一起運(yùn)動(dòng)，落在地面上。落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)的水平距離為x。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。求：
（1）兩物塊碰撞后速度的大??；
（2）物塊A滑至導(dǎo)軌最低點(diǎn)時(shí)速度的大小v；
（3）碰撞過程中損失的機(jī)械能。
4．（2024·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖所示，十米跳臺(tái)跳水是奧運(yùn)跳水比賽項(xiàng)目之一，我國運(yùn)動(dòng)員在這一項(xiàng)目中占據(jù)絕對(duì)優(yōu)勢，已知十米跳臺(tái)下面的池水深度約為，運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量約，重力加速度g取，忽略空氣阻力的影響。假設(shè)運(yùn)動(dòng)員由靜止開始下落，沿直線運(yùn)動(dòng)到池底。
（1）求運(yùn)動(dòng)員剛接觸水面時(shí)的速度大?。?br>（2）假設(shè)運(yùn)動(dòng)員入水后到達(dá)池底時(shí)的速度恰好為0，求運(yùn)動(dòng)員從剛接觸水面到接觸池底過程中受到的平均阻力的大??；
（3）運(yùn)動(dòng)員完全入水后，由于人體的密度和水的密度幾乎相等，所以其重力與浮力大小幾乎相等，運(yùn)動(dòng)過程中受到水的阻力與速度的關(guān)系滿足：。假設(shè)運(yùn)動(dòng)員完全入水的瞬間速率為，估算比例系數(shù)k。
5．（2024·北京海淀·統(tǒng)考模擬）如圖所示，在粗糙水平地面上靜止放置著物塊B和C，相距，在物塊B的左側(cè)固定有少量炸藥，在物塊B的左邊有一彈簧槍，彈簧的彈性勢能，彈簧槍將小球A水平發(fā)射出去后，小球A與B發(fā)生碰撞并導(dǎo)致炸藥爆炸使小球A又恰好返回到彈簧槍中將彈簧壓縮到初位置，物塊B再與物塊C發(fā)生正碰，碰后瞬間物塊C的速度。已知物塊A和物塊B的質(zhì)量均為，若C的質(zhì)量為B質(zhì)量的k倍，物塊與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)。（設(shè)碰撞時(shí)間很短，g取）
（1）計(jì)算A與B碰撞后瞬間B的速度；
（2）計(jì)算B與C碰撞前瞬間的速度；
（3）根據(jù)B與C的碰撞過程分析k的取值范圍，并討論B與C碰撞后B的可能運(yùn)動(dòng)方向。
6．（2024·北京順義·統(tǒng)考模擬）下面是一個(gè)物理演示實(shí)驗(yàn)，它顯示圖中自由下落的物體A和B經(jīng)反彈后，B能上升到比初始位置高得多的地方。A是某種材料做成的實(shí)心球，質(zhì)量為m1，在頂部的凹坑中插著質(zhì)量為m2的棒B，已知m1=3m2，B只是松松地插在凹坑中，其下端與坑底之間有小空隙。將此裝置從A下端離地板的高度H處由靜止釋放。實(shí)驗(yàn)中，A觸地后在極短時(shí)間內(nèi)反彈，且其速度大小不變；接著棒B脫離球A，A、B分別開始上升。不計(jì)空氣阻力。
（1）已知球A上升的高度為h，求棒B上升的高度，重力加速度g=10m/s2。結(jié)果用H、h表示。
（2）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，B的材料不同，A、B上升的高度不同，彈性越好，棒B上升的高度越高。試通過計(jì)算說明棒B上升的高度存在一個(gè)范圍，即存在一個(gè)最大值和最小值，并求出這一最大值和最小值各是多少？結(jié)果只能用H表示，因?yàn)閔在本問中是變化的。
7．（2024·北京順義·統(tǒng)考模擬）跑酷不僅可以強(qiáng)健體質(zhì)，也可使得自身反應(yīng)能力更加迅速。現(xiàn)有一運(yùn)動(dòng)員在圖示位置起跳，運(yùn)動(dòng)過程姿勢不變且不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)墻面時(shí)鞋底與墻面接觸并恰好不發(fā)生滑動(dòng)，通過鞋底與墻面間相互作用可以獲得向上的升力。已知運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)速度為，與水平方向夾角為θ，到達(dá)墻壁時(shí)速度方向恰好與墻面垂直，運(yùn)動(dòng)員鞋底與墻面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（），最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，全過程忽略空氣阻力影響。
（1）求運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的水平分速度與豎直分速度；
（2）運(yùn)動(dòng)員與墻發(fā)生相互作用的時(shí)間為t，蹬墻后速度豎直向上，不再與墻發(fā)生相互作用，求蹬墻后運(yùn)動(dòng)員上升的最大高度H；
（3）若運(yùn)動(dòng)員蹬墻后水平方向速度大小不變，方向相反，為了能夠到達(dá)起跳位置的正上方，且距離地面高度不低于蹬墻結(jié)束時(shí)的高度，求運(yùn)動(dòng)員與墻發(fā)生相互作用的最長時(shí)間。
8．（2024·北京平谷·統(tǒng)考模擬）如圖所示為半徑的四分之一豎直光滑圓弧軌道，軌道末端B 點(diǎn)的切線水平，且距水平地面的高度質(zhì)量的小球從圓弧軌道頂端A 點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)軌道底端 B點(diǎn)后沿水平方向飛出。忽略空氣阻力，g取
（1）求小球從 B 點(diǎn)飛出時(shí)速度的大??；
（2）求小球運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道底端 B 點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大??；
（3）若小球與地面碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)（物體與固定平面碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)e指：物體沿垂直接觸面方向上的碰后速度與碰前速度之比）。求小球第一次落地后從地面上彈起的高度。
9．（2024·北京人大附中·?？级＃┵|(zhì)量的物體A自距地面高度自由落下，與此同時(shí)質(zhì)量的物體B由地面豎直上拋，經(jīng)過與A碰撞，碰后兩物體粘在一起,碰撞時(shí)間極短,忽略空氣阻力。兩物體均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度，求A、B：
（1）碰撞位置與地面的距離x；
（2）碰撞后瞬時(shí)的速度大小v；
（3）碰撞中損失的機(jī)械能。
10．（2024·北京人大附中·校考模擬）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。圖甲是北斗導(dǎo)航系統(tǒng)衛(wèi)星分布示意圖，乙所示為其中一顆北斗衛(wèi)星的軌道示意圖。已知該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，地球半徑為R，地球表面附近的重力加速度為g，引力常量為G。
（1）求地球的質(zhì)量M；
（2）求該衛(wèi)星的軌道距離地面的高度h；
（3）請(qǐng)推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式，并分析比較該衛(wèi)星的運(yùn)行速度v與第一宇宙速度v1的大小關(guān)系。
11．（2024·北京人大附中·校考模擬）山地滑雪是人們喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)?；┢掠葾B和BC組成，AB是傾角為45°的斜坡，BC是半徑為R = 5m的圓弧面，圓弧面和斜坡相切于B，與水平面相切于C，如圖所示，AC豎直高度h1 = 10m，豎直臺(tái)階CD高度為h2 = 5m，臺(tái)階底端與水平面DE相連。運(yùn)動(dòng)員連同滑雪裝備總質(zhì)量為80kg，從A點(diǎn)由靜止滑下，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度大小為14m/s。通過C點(diǎn)后落到水平面上，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2。求：
（1）運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)受到的支持力大小N。
（2）運(yùn)動(dòng)員在DE上的落點(diǎn)距D點(diǎn)的距離x。
（3）從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)員做的功W。
12．（2024·北京人大附中·校考模擬）機(jī)械能包括動(dòng)能、重力勢能和彈性勢能，如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，力傳感器一端固定在固定鐵架臺(tái)的橫梁上，另一端與輕彈簧相連，輕彈簧下端懸掛重物，把重物向下拉開適當(dāng)距離由靜止釋放，使其在豎直方向上下運(yùn)動(dòng)，彈簧不超過彈性限度，不計(jì)空氣阻力。實(shí)驗(yàn)測得的彈力大小隨時(shí)間變化規(guī)律如圖所示，最大拉力為Fm，最小拉力為0，周期為2T。已知重力加速度g。
(1)求重物的質(zhì)量m；
(2)以運(yùn)動(dòng)過程的最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，定性作出重力勢能隨時(shí)間變化的圖線；
(3)定性作出重物的動(dòng)能隨時(shí)間變化的圖線；
13．（2024·北京人大附中·?？寄M）設(shè)地球是質(zhì)量分布均勻的半徑為R的球體。已知地球質(zhì)量M、引力常量G。
（1）推導(dǎo)地球第一宇宙速度v的表達(dá)式。
（2）不考慮地球自轉(zhuǎn)，求地球表面重力加速度g。
（3）設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，求地球同步衛(wèi)星距離地面的高度h。
14．（2024·北京人大附中·校考模擬）一種簡易靜電加速裝置如圖甲所示：在一個(gè)側(cè)壁為圓錐中段，底盤水平放置的塑料碗內(nèi)壁貼上十字的鍍銅錫條，外壁貼上十字的鋁條，并將鋁條反扣貼在內(nèi)壁，形成如圖所示的銅、鋁相間的電極。將由錫紙包裹的輕質(zhì)小球靜置于A點(diǎn)，鍍銅錫條與高壓恒壓源正極相連、鋁條與負(fù)極相連后，小球開始沿逆時(shí)針方向被加速。如圖乙所示，塑料碗側(cè)壁截面與水平面夾角為θ，圓形底盤半徑為R，小球質(zhì)量為m，恒壓源電壓始終為U。小球與錫條接觸分離后，所帶電荷量為，與鋁條接觸分離后，所帶電荷量為。忽略各處阻力，不考慮小球與塑料碗、空氣之間的電荷交換，僅考慮相鄰電極間電場對(duì)小球的加速作用，重力加速度為g。
（1）求小球第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）若小球加速幾圈后，恰好開始沿碗壁向上運(yùn)動(dòng)，求小球加速的圈數(shù)；
（3）小球加速（）圈后撤掉電場，此時(shí)輕微晃動(dòng)塑料碗，使小球可以在距碗底一定高度的水平面上以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（整個(gè)過程小球沒有離開塑料碗）。求晃動(dòng)塑料碗時(shí)，碗對(duì)小球做的功W。
15．（2024·北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)·?？寄M）跳樓機(jī)可以使人體驗(yàn)失重和超重（如圖所示）。現(xiàn)讓升降機(jī)將座艙送到距地面的高處，然后讓座艙自由下落，落到距地面的位置時(shí)開始制動(dòng)，使座艙均勻減速，座艙落到地面時(shí)剛好停下。在該體驗(yàn)中，小明將質(zhì)量的書包平放在大腿上（不計(jì)空氣阻力，g?。?。求：
（1）當(dāng)座艙落到距地面的位置時(shí)，小明對(duì)書包的作用力大?。?br>（2）跳樓機(jī)制動(dòng)后（勻減速階段）加速度a的大??；
（3）當(dāng)座艙落到距地面的位置時(shí)，小明對(duì)書包的作用力大小。

16．（2024·北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)·?？寄M）阿特伍德機(jī)是由英國物理學(xué)家喬治·阿特伍德在1784年發(fā)表的《關(guān)于物體的直線運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)》一文中提出的，用于測量加速度及驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)定律的機(jī)械。如圖所示，一定滑輪兩端分別與質(zhì)量為3m的物體A和質(zhì)量為m的物體B相連。不計(jì)輪軸間的摩擦力和空氣阻力，假設(shè)繩子與輪軸間不會(huì)打滑。
（1）若不計(jì)滑輪質(zhì)量，兩物體均由靜止釋放，試求物體A下落高度h后，兩物體的速度大小；
（2）類比是一種常見的解決物理問題的方式。若滑輪的質(zhì)量不可忽略，由于其自身慣性的存在，其角速度增加的過程也會(huì)受到阻礙。因此我們可以用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I作為其轉(zhuǎn)動(dòng)過程中慣性大小的量度，用角加速度描述其轉(zhuǎn)動(dòng)加快過程中角速度的變化率；
a．在把物體視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，我們可以利用牛頓第二定律描述合力與加速度的關(guān)系。類比這種關(guān)系，在剛體（形變可忽略的物體）的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，我們同樣可以用類似的關(guān)系描述剛體的合力矩M（力矩是矢量，大小等于物體某點(diǎn)所受的力與其力臂的乘積，以使物體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的力矩方向?yàn)檎较颍┡c角加速度（角速度的變化率）的關(guān)系。請(qǐng)根據(jù)角加速度的定義，類比線速度與角速度的關(guān)系，直接寫出角加速度與半徑為r的圓盤邊緣的線加速度a的關(guān)系，并類比質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律，直接寫出剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中合力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的關(guān)系；
b．在把系統(tǒng)內(nèi)各物體都視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，我們可以利用機(jī)械能守恒描述物體重力勢能與動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)化。若考慮到剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，我們在使用機(jī)械能守恒的過程中，動(dòng)能除了我們熟知的質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能以外，還需要加上有質(zhì)量的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。試類比質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能，寫出剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；
c．若滑輪的質(zhì)量為m，半徑為R，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式。請(qǐng)根據(jù)以上關(guān)系，求解考慮滑輪質(zhì)量的前提下，與物體A相連的輕繩拉力大小，與物體B相連的輕繩拉力大小，以及物體A下落高度h后的速度大小。
17．（2024·北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)·?？寄M）如圖所示，把一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小鋼球用細(xì)線懸掛起來，就構(gòu)成一個(gè)擺。懸點(diǎn)O距地面的高度h=1.45m，擺長L=1m。將擺球拉至擺線與豎直方向成37°角的位置，由靜止釋放，忽略空氣阻力，取重力加速度g=10m/s2,cs37°=0.8。
（1）求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線對(duì)小球拉力的大小F；
（2）若小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線斷了，小球沿水平方向拋出，求它做平拋運(yùn)動(dòng)水平位移的大小x；
（3）求小球落地時(shí)重力的瞬時(shí)功率P。
18．（2024·北京人大附中·?？寄M）如圖所示，一枚炮彈發(fā)射的初速度為，發(fā)射角為。它飛行到最高點(diǎn)時(shí)炸裂成質(zhì)量均為m的A、B兩部分，A部分炸裂后豎直下落，B部分繼續(xù)向前飛行。重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，不計(jì)炸裂過程中炮彈質(zhì)量的變化。求：
（1）炸裂后瞬間B部分速度的大小和方向；
（2）炸裂前后，A、B系統(tǒng)機(jī)械能的變化量
（3）A、B兩部分落地點(diǎn)之間的水平距離。
19．（2024·北京人大附中·?？寄M）如圖所示，長度的輕繩上端固定在O點(diǎn)，下端系一質(zhì)量的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。取重力加速度。
（1）在水平拉力的作用下，輕繩與豎直方向的夾角，小球保持靜止。求此時(shí)小球所受水平拉力的大小F；
（2）由圖示位置無初速釋放小球，不計(jì)空氣阻力。當(dāng)小球通過最低點(diǎn)時(shí)，求：
a．小球動(dòng)量的大小p；
b．輕繩對(duì)小球拉力的大小。
20．（2024·北京西城·統(tǒng)考二模）傳統(tǒng)車輛剎車時(shí)使用機(jī)械制動(dòng)方式，利用剎車裝置使車輛受到制動(dòng)力（即阻力）而減速，將減小的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化成內(nèi)能。有些新能源電動(dòng)車剎車時(shí)會(huì)使用一種“再生制動(dòng)”方式，該方式在制動(dòng)時(shí)能將汽車減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能加以儲(chǔ)存利用，這些減少的動(dòng)能也被稱為可回收的動(dòng)能。
一輛質(zhì)量為m的電動(dòng)汽車在平直路面上行駛，某一時(shí)刻同時(shí)開啟機(jī)械制動(dòng)和再生制動(dòng)，汽車的速度從減為的過程，位移大小為；此后，只開啟機(jī)械制動(dòng)，直至汽車停止，汽車又向前行駛的位移大小為。假設(shè)機(jī)械制動(dòng)使汽車受到的制動(dòng)力恒定，空氣阻力不計(jì)。
（1）求只開啟機(jī)械制動(dòng)的過程，汽車受到的制動(dòng)力大??；
（2）求同時(shí)開啟機(jī)械制動(dòng)和再生制動(dòng)的過程，汽車可回收的動(dòng)能。
（3）從物體的運(yùn)動(dòng)情況確定其受力特征是力學(xué)研究的一個(gè)重要思路。為檢測再生制動(dòng)的性能，在汽車速度為時(shí)，研究人員只開啟再生制動(dòng)方式，測繪了汽車速度隨位移變化的關(guān)系圖線如圖所示，圖線是一條直線，其斜率的絕對(duì)值為k。根據(jù)加速度的定義，結(jié)合圖像，推導(dǎo)汽車加速度a隨v變化的規(guī)律及受到的制動(dòng)力F隨變化的規(guī)律。
21．（2024·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖所示，不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線上端固定，下端系著一個(gè)不帶電小球，小球靜止時(shí)位于足夠大光滑絕緣水平面上的O點(diǎn)，現(xiàn)在O點(diǎn)靜置一個(gè)帶正電絕緣小物塊，小球與小物塊均視為質(zhì)點(diǎn)。以O(shè)為原點(diǎn)，水平向右為x軸建立坐標(biāo)軸。已知小球質(zhì)量為m1，小物塊質(zhì)量為m2、電荷量為q，細(xì)線長為l。假設(shè)系統(tǒng)處于真空環(huán)境中，不考慮各種阻力以及電荷量的損失，小球與物塊之間的碰撞為彈性碰撞，接觸過程中沒有電荷量的轉(zhuǎn)移。
（1）若將小球拉至與豎直方向成某一角度的位置由靜止釋放，小球到達(dá)O點(diǎn)的速度為v0，并以初速度v0與小物塊發(fā)生碰撞，求碰后小球的速度v1與碰后物塊的速度v2。
（2）若在第（1）問所述的碰撞后發(fā)現(xiàn)小球擺回至最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角明顯減小，為使小球越擺越高，可以在小球每次達(dá)到左方最高點(diǎn)時(shí)用一個(gè)很小的外力快速推一下小球。請(qǐng)利用此例從功和能的角度分析并解釋在共振現(xiàn)象中，為什么當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率與固有頻率相等時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)的能量最大。
（3）若在O點(diǎn)右側(cè)空間（x＞0）存在著平行于Ox軸的電場（場強(qiáng)的大小和方向可調(diào)），釋放小球時(shí)細(xì)線與豎直方向夾角為θ（θ＜5°），為了使碰撞后小物塊能夠返回O點(diǎn)，且二者以第一次相碰時(shí)的初速度大小再次相碰，并能多次重復(fù)此過程，請(qǐng)舉出兩種能夠?qū)崿F(xiàn)上述要求的理想情況，并分析并說明需要滿足的條件。
22．（2024·北京平谷·統(tǒng)考模擬）物體在星球附近繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，叫作第一宇宙速度（又叫作環(huán)繞速度）；在星球表面附近發(fā)射物體的速度等于或大于，物體就會(huì)克服該星球的引力，永遠(yuǎn)離開該星球，這個(gè)速度叫作第二宇宙速度（又叫作逃逸速度）。已知引力常量為G。在以下問題的討論中，空氣阻力及星球自轉(zhuǎn)的影響均忽略不計(jì)。
（1）若將地球視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球的質(zhì)量為 M，半徑為 R。
a．請(qǐng)證明地球的第一宇宙速度的大小；
b．某同學(xué)設(shè)想從地面以第一宇宙速度的大小豎直上拋一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，關(guān)于該物體上升的最大高度，他的解答過程如下：
設(shè)物體的質(zhì)量為m，上升的最大高度為h，重力加速度為g，由機(jī)械能守恒定律有：
，又，，所以聯(lián)立得：
該同學(xué)的上述解答是否正確? 若不正確，請(qǐng)指出上述錯(cuò)誤的原因，并分析說明物體上升的最大高度 h應(yīng)該比大還是小?
（2）由于引力的作用，星球引力范圍內(nèi)的物體具有引力勢能。設(shè)有一質(zhì)量分布均勻的星球，質(zhì)量為 M，半徑為 R，當(dāng)取物體距離星球無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零時(shí)，則物體(質(zhì)量為m)在距離該星球球心為r(r≥R)處時(shí)的引力勢能為
天體的質(zhì)量越大，半徑越小，逃逸速度也就越大，其表面的物體就越不容易脫離它的束縛。如果有這樣的天體，它的質(zhì)量非常大，半徑又非常小，以至于以的速度傳播的光也不能從它的表面逃逸出去，這種天體就稱為黑洞。1799年，法國科學(xué)家拉普拉斯指出，對(duì)于一個(gè)質(zhì)量為 M 的球狀物體，當(dāng)其半徑R 小于時(shí)，即是一個(gè)黑洞。請(qǐng)你根據(jù)所給信息并結(jié)合所學(xué)知識(shí)，證明上述結(jié)論。
23．（2024·北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)·?？寄M）某設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)給一生態(tài)公園設(shè)計(jì)人造瀑布景觀。如景觀側(cè)面示意圖所示，人造瀑布景觀由供水裝置和瀑布景觀兩部分組成。一水泵將水池中的水抽到高處，作為瀑布上游水源；龍頭噴出的水流入高處的水平槽道內(nèi)，然后從槽道的另一端水平流出，恰好落入步道邊的水池中，形成瀑布景觀。在實(shí)際瀑布景觀中，水池的水面距離地面為H（不會(huì)隨著水被抽走而改變水位），龍頭離地面高為h，龍頭噴水管的半徑為r，龍頭噴出的水從管口處以不變的速度源源不斷地沿水平方向噴出。若不接水平槽道，龍頭噴出的水直接落地（如圖中虛線所示），其落地的位置到龍頭管口的水平距離為d=2h。已知水的密度為ρ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。完成以下問題：
（1）求單位時(shí)間內(nèi)從龍頭管口流出的水的質(zhì)量m0；
（2）不計(jì)額外功的損失，求水泵輸出的功率P。
（3）在施工前，先制作一個(gè)為實(shí)際尺寸的瀑布景觀模型展示效果，求模型中槽道里的水流速度應(yīng)為實(shí)際水流速度的多少倍？

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