新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習《導(dǎo)數(shù)》壓軸題突破練第23講 拐點偏移問題（2份，原卷版+解析版）

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例1．（Ⅰ）證明：，，；
（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足，證明：當時，恒有．
【解析】解：（1）令 ，當，時， ，
故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而，
由于為偶函數(shù)，所以當，時， ，
故，，．
（2）結(jié)合（1）可知 ，
所以，易證，故為原不等式成立的必要條件，
下面證明充分性，當時， ，
令 ，易知為偶函數(shù)．設(shè)，，則 ，
令 ，則 ，
故在，上單調(diào)遞減，即，
故在，上單調(diào)遞減，，
故當時，原不等式在，上恒成立，
綜上，的取值范圍為，．
（3）當時， ，在（2）中令， ，則有 ，下面證明即可，即證，
解法一：，即 ，
，，
易知 在處取得最小值1，則，
又，所以．
綜上，當時，恒有 ．
解法二：不妨令，
在上，，則在上單調(diào)遞增，
又（1），所以要使，則需，要證，即證，即證，
又，
所以即證，
設(shè)，，，則，
故在，上單調(diào)遞增，（1）（1），
令，可得，所以，即，所以．
綜上，當時，恒有 ．
例2．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；
（3）若正實數(shù)，滿足，證明：．
【解析】解：（1），（1），（1），
切線方程是：，即；
（2）令，
，
時，，，在遞增，
（1），
關(guān)于的不等式不能恒成立，
時，，
令，得，
時，，，時，，
故函數(shù)在遞增，在，遞減，
故函數(shù)的最大值是，
令（a），則（a）在遞減，
（1），（2），
時，（a），故整數(shù)的最小值是2；
（3）證明：由，
得，
從而，
令，則由，
得，可知在區(qū)間遞減，在遞增，
故（1），
，
又，
故成立．
例3．已知函數(shù)，且為定義域上的增函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，且，求證：．
【解析】（Ⅰ）解：，
由為增函數(shù)可得，恒成立，即，得，
設(shè)，則，
由，得，由，得．
在上減，在上增，在1處取得極小值即最小值，
（1），則，即，
當時，易知，當時，則，這與矛盾，從而不能使得恒成立，
；
由可得，，即，
由之前討論可知，，當時，恒成立，
當時，由，得，
綜上；
（Ⅱ）證明：，
，
，
，
即，
則
，
令，，
則，在上增，在上減，（1），
，
整理得，
解得或（舍，
．
例4．已知函數(shù)，其定義域為．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且，證明：．
【解析】解：（1）易知，
①若，由，解得：，
故函數(shù)在遞增，
②若，令，解得：，或，
令，解得：，
故在遞增，在，遞減，在遞增，
③若，則，
故函數(shù)在遞增，
④若，令，解得：或，
令，解得：，
故在遞增，在遞減，在，遞增，
綜上，若，在遞增，
若，在，遞增，
若，在遞增，
若，在，，遞增；
（2）函數(shù)在遞增，
，即，
注意到（1），故（1），
即證，即證，
令，，
只需證明（1），
故，
下面證明，即證，
由熟知的不等式可知，
當時，即，
故，
易知當時，，
故，
故，
故，即遞增，即（1），
從而．
例5．已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，若實數(shù)，滿足，求證．
【解析】解：（1）已知函數(shù)．所以，
由在上單調(diào)遞增，
故當時，恒成立，
即恒成立，
設(shè)，，
因為，所以，，
所以，即，
故在上單調(diào)遞增，
所以，故；
（2）當時，，
，
故在上單調(diào)遞增，
又因為且，
故，
要證，只需證，
因為在上單調(diào)遞增，
故只需證，
即只需證，
即只需證，
令，，
，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
故在上單調(diào)遞減，
故，
故原不等式成立．得證．
例6．已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，若實數(shù)，滿足，求證：．
【解析】解：（1）
由在上單調(diào)遞增，
故當時，恒成立
即
設(shè)，
，
，，
，即在上單調(diào)遞增，
故，
．
（2）證明：當時，，
在上單調(diào)遞增，
又且，
故
要證，只需證
即證，只需證
即證
令，
令，
，
在上單調(diào)遞增
，故在上單調(diào)遞減，
（1）．
故原不等式成立．
例7．設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）若對恒成立，求的取值范圍；
（Ⅱ）若，當時，求證：．
【解析】（Ⅰ）解：，
當時，，令得：，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
，由，得：，
當時，，則對恒成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以不符合．
故：的取值范圍為．
（Ⅱ）證明：，
，得：，
若或，則結(jié)論顯然成立．
當時，證：證：，
令：，，，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
則，證：證：，而，
所以等價于證：，即證：，，
令：，，
得：在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
，因為，所以，所以，
故：得證．
例8．設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）時，若，，求證：．
【解析】解：（Ⅰ），
令，
，
當時，，函數(shù)單調(diào)性遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)性遞增，
，
當時，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，
易知當時，，當時，，
由零點存在性定理知，存在，，不妨設(shè)，使得，
當，，，，當，，，
函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)，，
，
，
，當時取等號，
在，上單調(diào)遞增，則，
在，上單調(diào)遞增，
，
不妨設(shè)，
要證，只需證，
由（Ⅰ）知時，在上單調(diào)遞增，則有，
由，有，
只需證，
即證，
由在，上單調(diào)遞增，且時，
有，
故，問題得以證明．
例9．已知函數(shù)為常數(shù)）在處的切線方程為．
（1）求的值，并討論的單調(diào)性；
（2）若，求證：．
【解析】解：（1），
由題意可得，（1），解可得，
此時，
令，則，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故（1）恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
（2）設(shè)，則，
易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，取得最大值（1），
故，即，
令，
則
設(shè)，則，
故單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且（1），
故當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以（1），即，當時等號成立，
所以，又，
所以即，
由在上單調(diào)遞增，
所以，即．
例10．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明當時，關(guān)于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正實數(shù)，滿足，證明：．
【解析】解：（Ⅰ），
由，得，
又，所以．
所以的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間是．
（Ⅱ）令，
所以．
因為，
所以．
令，得．
所以當，；
當時，．
因此函數(shù)在是增函數(shù)，在，是減函數(shù)．
故函數(shù)的最大值為．
令，因為，
又因為（a）在是減函數(shù)．
所以當時，（a），
即對于任意正數(shù)總有．
所以關(guān)于的不等式恒成立．
（Ⅲ）由，
即，
從而．
令，則由得，．
可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以（1），
所以，
又，
因此成立．
【同步練習】
1．已知函數(shù)，.
(1)討論f（x）的單調(diào)性；
(2)若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個正實數(shù)，滿足，證明：.
【解析】（1）因為，定義域為，.
①當時，令，解得
即當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減；
②當時，在單調(diào)遞增；
③當時令，解得，
即當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增；
綜上：當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當時，在單調(diào)遞增；
當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）若時，都有，
即，恒成立.
令，則，，
令，所以，
當時，
，單調(diào)遞增，，
所以，在單調(diào)遞減，
所以=，所以
（3）原式可整理為，
令，原式為，
由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
則為兩根，其中，不妨令，
要證，
即證，，
只需證，
令，，，
令，則，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減.
又，
故
，所以恒成立，
即成立，
所以，原式得證.
2．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】(1)函數(shù)的定義域為，又，
當時，，當時，，
故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
(2)因為，故，
即，故，
設(shè)，則，
不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價于：已知，證明： .
證明如下：
若，恒成立；
若， 即 時，
要證：，即證，而，即證，
即證：，其中
設(shè)，，
則，
因為，故，故，
所以，故在為增函數(shù)，所以，
故，即成立，
所以成立，
綜上，成立.
3．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，且，若，求證：.
【解析】(1)，令，則，
∴在單調(diào)遞增，
注意到
∴當時，，此時，單調(diào)遞減，當時，，此時，單調(diào)遞增
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2)等價于，等式兩邊同除以得：
，即
由（1）知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
∴，一正一負，不妨設(shè)
構(gòu)造新函數(shù)，則
∴
令，則
當時，顯然恒成立，所以
又對恒成立，
所以在時，，即單調(diào)遞減
∵
∴，即
∵
∴
其中，，且在單調(diào)遞減
∴，即
4．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
5．已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若，且，證明: .
【解析】（1）
當時，， ， 所以單調(diào)遞增；， ， 所以單調(diào)遞減；
當時，， 所以單調(diào)遞減；， 所以單調(diào)遞增；
（2）證明：
， ∴ ，
即當時，
由（1）可知，此時是的極大值點，因此不妨令
要證，即證：
①當時，成立；
②當時
先證
此時
要證，即證：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增
∴，∴①式得證.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
6．已知函數(shù).
(1)求的極大值；
(2)設(shè)、是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】(1)因為的定義域為，，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為.
(2)證明：因為，則，即，
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為、是兩個不相等的正數(shù)，且滿足，不妨設(shè)，
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，則.
當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
又因為函數(shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
故，所以，，
且，函數(shù)在上為減函數(shù)，故，則.
7．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性和最值；
(2)若關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：.
【解析】（1），其中
若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，
故無最值.
若，當時，；
當時，；
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故，無最小值.
（2）方程即為，
故，
因為為上的增函數(shù)，所以
所以關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根即為：
有兩個不同的實數(shù)根.
所以，所以，
不妨設(shè)，，故，
要證：即證，
即證，即證，
即證，
設(shè)，則，
故，所以在上為增函數(shù)，
故，所以在上為增函數(shù)，
所以，故成立.
8．已知．
(1)當、時，求在上的最大值；
(2)若對任意，均有兩個極值點、．
①求實數(shù)的取值范圍；
②當e時，證明：e．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】（1）當、時，e,其定義域為，
e，令g(x)=e，，則e
則在上單調(diào)遞增，
∴e，即，
即在上單調(diào)遞減，
∴當時，取最大值為e；
（2）∵e的定義域為，e，
①對任意，e有兩個不同零點，
令e，∴e，令，解得，
當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
∴當時，取極小值也是最小值為，
又當時，當時，
∴只需，即，
構(gòu)造新函數(shù)，其定義域為，，
令，解得，
當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當時，取極大值也是最大值為，∴；
②當e時，eex-b，由①得，
令，∴
∴，∴，
∴、，
∵由①得在上單調(diào)遞增，、，
∴，∴，
∵由①得在上單調(diào)遞減，
∴，
令，
∴，令，
則，∴，
∵，∴，即．
9．已知函數(shù)，，當時，恒成立．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．
【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域為，
而，
當時，，，
為單調(diào)遞增函數(shù)，
當時，成立；
當時，存在大于1的實數(shù)，使得，
當時，成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，；
不可能成立，
所以，即的取值范圍為.
（2）證明：不妨設(shè)，
正實數(shù)、滿足，
有（1）可知，，
又為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，
又，
所以只要證明：，
設(shè)，則，
可得，
當時，成立，
在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，
又，
當時，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
10．有同學(xué)在研究指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像時，發(fā)現(xiàn)它們在第一象限有兩個交點和．通過進一步研究，該同學(xué)提出了如下兩個猜想：請你證明或反駁該同學(xué)的猜想．
(1)函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個公共點；
(2)設(shè)，，且，若，則．其中為自然對數(shù)的底，
【解析】（1）設(shè)(x>0)，求導(dǎo)得：，
則當時，，當時， ，
即在上遞增，在上遞減，
因此，當時，，當且僅當x=e時取“=”，
于是得方程有唯一的零點，即方程有唯一的零點，
所以，函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個公共點，猜想（1）正確.
（2），由（1）知方程在內(nèi)有兩個根，分別在區(qū)間和內(nèi)，如圖，
因，，且，由得，
則，是方程的兩個根，不妨設(shè)，，
設(shè)(x>1)，，
當時，，，則當時，，在上遞增，
由此得，當時，，從而得，
而，因此，，
顯然，又，且在遞減，則，即，
所以，猜想（2）正確.
11．已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值.
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】（1）的定義域為，.
當時，；當時，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
故在處取得極大值，且極大值為，無極小值.
（2）證明：易知，，
即，.
不妨設(shè)，，.
（1）可知，，
當時，，
當時，，
設(shè)，，
則，
因為，，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
所以，
又因為，，所以，
即，故.