1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函數(shù)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，
動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，
由得，，解得，
曲線上點(diǎn)到直線的距離最小，最小距離，
則，根據(jù)題意，要使，則，此時(shí)恰好為垂足，
由，解得．故選．
2．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函數(shù)可以看作點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，
可將問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線距離平方的最小值為，
又，令，得，即上的點(diǎn)到直線的距離最小，
所以，解得，
故選：A.
3．（2023春·山西朔州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)其中存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由題意知表示平面上的兩動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，
而兩動(dòng)點(diǎn)分別在曲線和上，
設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋?br>所以切線斜率，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與切點(diǎn)間的距離最近，
即，解之得，
故選：A.
4．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】表示點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方,的軌跡是函數(shù)的圖象，的軌跡是直線.則，作的圖象平行于直線的切線，切點(diǎn)為，則，所以，切點(diǎn)為，所以若存在使得成立，則，此時(shí)恰好為垂足，所以，解得，故選A.
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的最值問題.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)的切線的斜率問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合的思想方法，用到了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.本題解答的關(guān)鍵是對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看成動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上平行于直線的切點(diǎn)，得到曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值，結(jié)合題意可得只有切點(diǎn)到直線的距離的平方等于，然后利用斜率公式求出實(shí)數(shù)的值.
5．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的正實(shí)數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意在R上恒成立，其中，
整理得對恒成立，
所以對恒成立，
，
令，，
時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以，
所以的最小值是16，
所以．
故選：D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以恒成立，
即對任意的實(shí)數(shù)，在上恒成立，
所以，，，
故只需的最小值．
令， ，
由于時(shí)，；時(shí)，，即時(shí)，取得最小，
故選：A
7．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)?？家荒＃┤魧θ我獾膶?shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵在R上是增函數(shù)，
∴在R上恒成立，
∴，，
令y=t?lnt，，則，
∴(0,1)上，y′0，
∴t=1時(shí)，ymin=1，
∴的最小值為 ，
∴.
故選：A.
8．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考一模）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式 ，即為，
表示點(diǎn)距離的平方不超過，即最大值為．
由在直線上，
設(shè)與直線平行且與相切的直線的切點(diǎn)為，
可得切線的斜率為，解得，切點(diǎn)為，
由切點(diǎn)到直線的距離為直線上的點(diǎn)與曲線的距離的最小值，
可得，解得，則的取值集合為；
故選：C．
9．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）設(shè)滿足方程的點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線和曲線，若曲線與曲線在區(qū)間上存在兩個(gè)交點(diǎn)（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最大值為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，設(shè)曲線的方程為，曲線的方程為，所以在上有兩個(gè)不等的根．即在上有兩個(gè)不等的根．令，則，令，得，列表得
，，，，所以實(shí)數(shù)的最大值為．
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】 ，
令 ，則，
其幾何意義為點(diǎn)A 與點(diǎn) 之間距離的平方，
設(shè) ，則點(diǎn)A和B分別在 和 的圖像上，如下圖，
顯然 和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對稱，
則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y=x對稱，
不妨設(shè) ，則 ，
，設(shè) ， ，
當(dāng) ， ，在x=1處取得最小值 ，
即 ，∴當(dāng) 取最小值時(shí)，即是 取得最小值，
的最小值為 ；
故選：D.
11．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則對任意的正實(shí)數(shù)，的最小值為（ ）
A．B．8C．D．18
【答案】B
【解析】由題意可知，該問題可轉(zhuǎn)化為求圓上任意一點(diǎn)
到曲線上任意一點(diǎn)的距離的最小值的平方，
不妨設(shè)圓為圓，
其圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A外任意一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最小值為該點(diǎn)到圓心的距離減去半徑，
所以只需求曲線上到圓心距離最小的點(diǎn)為，
則點(diǎn)滿足曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，
令，則，
則，
即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，
又因?yàn)?，?br>所以直線的斜率為，
所以，
即，
解得，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)椋?br>所以，
所以圓上任意一點(diǎn)到曲線上任意一點(diǎn)的距離的最小值的平方為
，
所以的最小值為8.
故選：B
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段的長度的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，圓心為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式得，設(shè)，，令解得，由于，可知當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，故當(dāng)時(shí)取得極大值也是最大值為，故，故時(shí)，且，所以，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，且，即，單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值也是最小值為，故的最小值為，此時(shí).故選A.
13．（2023·高二單元測試）設(shè)點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則線段長度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，化簡可得：
即點(diǎn)在直線上，
圓的圓心到直線的距離為，
則線段長度的最小值為
故選：C
14．（2023·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù),,,滿足且(其中,,是自然對數(shù)底數(shù)),則最小值為
A．B．5C．D．10
【答案】B
【解析】由得,故
即,
設(shè),
則?分別是與上的點(diǎn)
所以
則的最小值即為的最小值
設(shè)1是與平行的直線,與相切于點(diǎn)
則由得,,
所以,由到的距離
所以的最小值為,的最小值為5.
故選:B.
15．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學(xué)校考期中）直線分別與函數(shù)，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，且在上遞增；
，且在上遞增.
所以，且都有唯一解，
，
，
構(gòu)造函數(shù)，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
所以的最小值為.
所以的最小值為.
故選：A
16．（2023春·北京通州·高二統(tǒng)考期末）直線與函數(shù)的圖象分別交于A?B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小時(shí)，為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
則，易知，，單減；
，，單增；
則；
則直線與函數(shù)的交點(diǎn)間距離，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，AB最小.
故選：B.
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與函數(shù)的圖象分別交于兩點(diǎn)，則的最小為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，
所以的最小為.
故選：D
18．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)，函數(shù)，直線分別與兩函數(shù)交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】設(shè)，，則，，消去得．
所以，其中.
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，所以的最小值為．
故選：A．
19．（2023·福建莆田·莆田一中?？家荒＃┮阎本€分別與直線及曲線交于A,B兩點(diǎn)，則A,B兩點(diǎn)間距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，由，得，
，
，，則，，則，
在上遞減，在上遞增，
，即兩點(diǎn)間距離的最小值為，
故選：D.
【點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大?。?
20．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線y＝2x+1上，點(diǎn)Q在曲線y＝x+lnx上，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】由題可知, 當(dāng)在點(diǎn)處的切線與平行,且過作的垂線垂足為時(shí)的距離最小.此時(shí)的導(dǎo)函數(shù).
設(shè),則,,即.
此時(shí)的距離最小值為到直線即的距離.
故選：B
21．（2023春·吉林·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的導(dǎo)數(shù)為，
設(shè)，可得過的切線的斜率為，
當(dāng)垂直于切線時(shí)，取得最小值，
可得，且，
可得，解得或（舍去），
即有，解得，
∴，
故選：D．
22．（2023·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，記，
，易知是增函數(shù)，且的值域是，
∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，
由題意，而，，
∴，解得，．
∴．
故選：C．
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，
由題意可知，直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則，
得，
由兩點(diǎn)間的距離公式得，
由于的最小值為，即，，解得，因此，.
故選：C.
24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示：與直線相交于，關(guān)于的對稱點(diǎn)在上.
則
設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
故恒成立，即恒成立.
的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，
當(dāng)兩條切線與平行時(shí)，都有，到直線的距離為.
故，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.
故選：.
25．（2023春·江蘇無錫·高二宜興市張渚高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，
所以可先求點(diǎn)到直線的最近距離，
設(shè)曲線上斜率為1的切線為，
因?yàn)?，由，可得?br>所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
所以，所以的最小值為.
故選：D.
26．（2023·湖南長沙·高三長郡中學(xué)階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
∴的最小值是點(diǎn)到直線的最短距離的2倍，
設(shè)曲線上斜率為1的切線為，
∵，由得，
即切點(diǎn)為（，2），
∴ ，
∴切線到直線的距離，
∴兩點(diǎn)間的最短距離為2=．
故選:B．
27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè),其中，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫出圖象，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.
詳由題意，，
由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，
由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，
由圖象可知三點(diǎn)共線時(shí)，且為曲線的垂線，此時(shí)取得最小值，
即為切點(diǎn)，設(shè)，
由，可得，
設(shè)，則遞增，且，可得切點(diǎn)，
即有，則的最小值為，故選C.
28．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】表示點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖象，的軌跡是直線．則．作的圖象平行于直線的切線，切點(diǎn)為，則，所以，切點(diǎn)為，所以，若存在使得成立，則，此時(shí)恰好為垂足，所以，解得．故本題答案選．
二、填空題
29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為__．
【答案】
【解析】實(shí)數(shù)，，，滿足，
，．分別設(shè)，．
則的最小值可看做曲線和直線上的動(dòng)點(diǎn)與的最小距離，
設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，．
則，，解得，．
．點(diǎn)到直線的距離．
即的最小值為．
故答案為：．
30．（2023·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）已知有序數(shù)對，滿足，有序數(shù)對滿足，定義，則D的最小值為__________．
【答案】
【解析】對于有序數(shù)對，整理得，令，則
對于有序數(shù)對，整理得，令，則，
根據(jù)切線的性質(zhì)，當(dāng)取最小值時(shí)，必有，令，得到，代入，得，
故點(diǎn)到直線的距離設(shè)為，即的最小值為，
則所求的的最小值為
故答案為：
31．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值______.
【答案】
【解析】由題意可得可以表示兩點(diǎn)與之間距離的平方
故，
可以看成是函數(shù)，
即函數(shù)在的切線與函數(shù)平行時(shí)求出最小值
則，解得
此時(shí)
故的最小值為
32．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足關(guān)系式，，則的最小值為______．
【答案】
【解析】由，可得，，可以看做曲線上一點(diǎn)和直線上一點(diǎn)之間的距離，可設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于，則，，∴，解得，，∴，∴的最小值為．
故答案為：
33．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為_______．
【答案】8
【解析】由可得，
所以點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在上，
則的最小值即為曲線上點(diǎn)到直線距離最小值的平方，
設(shè)上平行于的切線方程的切點(diǎn)為，
則，則，解得（舍）或，則切點(diǎn)為，
則切點(diǎn)到直線的距離為，
故的最小值為8.
故答案為：8.
34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)（為自然對數(shù)的底），則線段的長度的最小值為______．
【答案】
【解析】圓心，先求的最小值，設(shè)，所以以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)垂直切線時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)，函數(shù)圖象上任意點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于點(diǎn)到切線的距離即，所以的最小值是，故答案為.
35．（2023·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）已知為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長度的最小值為___．
【答案】
【解析】由圓的對稱性可知，只需滿足圓心（0，）到圖象上一點(diǎn)的距離最小值
設(shè)圖象上的一點(diǎn)為
則
即有切線斜率為
可得
,
設(shè)
,
遞增
又
可得處點(diǎn)（e,1）到的距離最小，為
則線段長度的最小值為
36．（2023春·高二單元測試）已知P為指數(shù)函數(shù)圖象上一點(diǎn)，Q為直線上一點(diǎn)，則線段PQ長度的最小值是_______
【答案】
【解析】設(shè)圖象上斜率為1的切線的切點(diǎn)是，由，，，，即．到直線的距離是．
故答案為：．
37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線y＝b與函數(shù)f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分別交于A，B兩點(diǎn)，若AB的最小值為2，則a+b＝_______.
【答案】2.
【解析】設(shè)A（x1，b），B（x2，b），可設(shè)x1＜x2，
則2x1+3＝ax2+lnx2＝b，
∴x1（ax2+lnx2﹣3），
∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，
令y＝（1a）xlnx，
則y′＝1?（x＞0），
由|AB|的最小值為2，
可得2﹣a＞0，
函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x時(shí)，函數(shù)y取得極小值，且為最小值2，
即有（1a）?ln2，即得ln0
解得a＝1，
由x2＝1，
則b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，
可得a+b＝2．
故答案為：2．
38．（2023春·河北·高二開灤第二中學(xué)?？计谥校┮阎本€與函數(shù)和的圖象分別交于兩點(diǎn)，若的最小值為3，則______．
【答案】1
【解析】設(shè)．令
因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以=0的根為．函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，填1.
39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.
【答案】
【解析】令、分別向上平移一個(gè)單位可得、，而與關(guān)于對稱，
∴當(dāng)兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時(shí)，P、Q關(guān)于對稱，|PQ|有最小，對應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對稱即可，
∴令，則，
∴有，則，即，
∴到的距離，
∴.
故答案為：.
40．（2023·高二單元測試）已知函數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，
所以函數(shù)f(x)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方.
動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)的圖象上,N在直線的圖象上,問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離.
由得：，令，得：，所以，
所以函數(shù)的圖象上到直線的距離最小，為，則.
根據(jù)題意，要使存在使得成立，則，此時(shí)N恰好為垂足.
由解得：.
故答案為：.
41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當(dāng)a，b變化時(shí)，的最小值為_______.
【答案】.
【解析】，
函數(shù)表示點(diǎn)和的距離加上的縱坐標(biāo)，
畫出和的圖像，如圖所示：
故，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.
設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故，函數(shù)單調(diào)遞減.
，故.
綜上所述：的最小值是.
故答案為：.

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