1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷
上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時間為 120 分鐘，滿分 150 分
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的.
1. 直線 的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線一般式方程求出斜率，即可計算得出傾斜角.
【詳解】易知直線 的斜率 ，
設傾斜角為 ，易知 ,
所以 ，可得 .
故選：D.
2. 橢圓 的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 、 的值，即可得出該橢圓的離心率的值.
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【詳解】在橢圓 中， ， ，所以 ，所以 ， ，
所以，該橢圓的離心率為 .
故選：B.
3. 已知正方體 的棱長為 2， ， ， 分別為向量 ， ， 的單位向量.下列用
， ， 表示的向量中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量 加法法則與減法法則逐一驗證即可.
【詳解】對于選項 A：因為 ， ， ， ，A 錯誤；
對于選項 B： ，故 B 錯誤；
對于選項 C： ，故 C 正確；
對于選項 D： ，故 D 錯誤.
故選：C.
4. 在等差數(shù)列 中， 為其前 項和.若 ， ，則 （ ）
A. 210 B. 420 C. 198 D. 105
【答案】A
【解析】
【分析】列方程組求出等差數(shù)列的首項和公差，再利用等差數(shù)列的前 項和公式可求得結果.
【詳解】設等差數(shù)列 的公差為 ，
因為 ， ，所以
解得 ，所以 .
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故選：A.
5. 若雙曲線 ： 的一條漸近線被圓 所截得的弦長為 ，則 的
離心率為（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離公式及圓的弦長公式列式求出離心率.
【詳解】令雙曲線 的半焦距為 c，雙曲線 的漸近線方程為 ，
依題意，圓 的圓心 到直線 的距離為 ，
則 ，所以離心率 .
故選：B
6. 在數(shù)列 中， 為其前 項和.若 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù) 與 的關系式，求得 ，進而得到數(shù)列 是等比數(shù)列，再用公式計算即可.
【詳解】因為 ，所以當 時， .兩式相減，得 ， .
因為 ，且當 時， ，所以 ，所以 ，
所以數(shù)列 是首項為 1，公比為 3 的等比數(shù)列，所以 .
故選：C.
7. 給定一個點 和一個向量 ，那么過點 ，且以向量 為法向量的平面 可以表示為集合
，即在空間直角坐標系 中，若 ， ，設 ，則平面
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的方程為 .根據(jù)以上信息，解決下面問題：已知平面 的方程為
，直線 是兩平面 與 的交線，則直線 與平面 所成角的
正弦值為（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意求解平面法向量，利用待定系數(shù)法求解 的方向向量為 ，即可利用向量的夾角
公式求解.
【詳解】由題意可知，平面 的一個法向量為 ，
平面 的一個法向量為 ，
平面 的一個法向量為 .
又直線 是平面 與平面 的交線，設直線 的方向向量為 ，
則 取 ，則 .
設 與平面 所成的角為 ，則 .
故選:D.
8. 若 是函數(shù) 的極小值點，則 的極大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先對函數(shù) 求導，因為 是極小值點，所以
，
求出 a 的值，再由 a 的取值和單調(diào)性即可求出 取得極大值，即可求的結果.
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【詳解】因為 ，所以 .
又 是函數(shù) 的極小值點，所以 ，解得 或 .
當 時， 恒成立，函數(shù) 單調(diào)遞增，不符合題意，舍去.
當 時， ，
所以當 時， ， 單調(diào)遞增；
當 時， ， 單調(diào)遞減；
當 時， ， 單調(diào)遞增；
是 的極小值點，所以 ， .
由以上分析知，當 時， 取得極大值，且 .
故選：B.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 已知等差數(shù)列 的首項 ，公差 ，在 中每相鄰兩項之間都插入 個數(shù)，使它們和原數(shù)
列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列 ，以下說法正確的有（ ）
A.
B. 當 時，
C. 當 時， 是數(shù)列 中的項
D. 若 是數(shù)列 的項，則 的值不可能為 7
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可判斷選項 A 與選項 B；直接讓 ，解得 ，即可判斷選
項 C；利用等差數(shù)列概念即可判斷 D.
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【詳解】對于 A，由題意得 ，A 正確；
對于 B，當 時，數(shù)列 的首項為 2，公差為 ，故 ，B 正確；
對于 C，由 B 選項可知 ，令 ，解得 ，所以 是數(shù)列 的第 8 項，C 正確；
對于 D，插入 個數(shù)，則 ， ， ， ，…，所以等差數(shù)列 中的項在等
差數(shù)列 中對應的項的序號是以 1 為首項， 為公差的等差數(shù)列，即 ，若 是數(shù)列
的項，令 ，當 時， ，D 錯誤.
故選：ABC.
10. 已知拋物線 ： 與雙曲線 ： 有相同的焦點，點 在拋物線 上，
則下列結論正確的有（ ）
A. 雙曲線 的離心率為 3
B. 雙曲線 的漸近線方程為
C.
D. 點 到拋物線 的焦點的距離為 8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出其焦點坐標，即可判斷 A，B；依題即可求出 的值，判斷 C 項，利用拋物線
的定義即可判斷 D 項.
【詳解】對于 A，在雙曲線 ： 中， ， ，故 ，則 ，則雙曲線 的離
心率為 3，故 A 正確；
對于 B，由 可得雙曲線 的漸近線方程為 ，即 ，故 B 正確；
對于 C，由上分析，可得拋物線 中， ，即得 ，故 C 錯誤；
對于 D，由拋物線的定義，可得點 到拋物線 的焦點的距離等于點 到拋物線 的準線
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的距離，即 ，故 D 正確.
故選：ABD.
11. 如圖，在棱長為 2 的正方體 中， ， ， ，則下列說
法正確的有（ ）
A.
B. 三棱錐 的體積最大值為 1
C. 若 ，則點 到直線 的距離為
D. 三棱錐 外接球球心軌跡的長度近似為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意直接建立空間直角坐標系，利用空間向量證明選項 A 是否正確；求出三棱錐 體
積的表達式，利用二次函數(shù)即可得到選項 B 中最大值；利用點到線的距離公式即可求得點 到直線 的
距離為 ，故 C 正確；先等量轉化找出外接球球心，再利用軌跡方程即可求得近似值，得出選項 D 正確
.
【詳解】
以 為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示.設 ，
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則 ， ， ， ， .
對于選項 A：因為 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，A 正確.
對于選項 B：三棱錐 的體積 ，
所以當 時，三棱錐 的體積取得最大值 ，B 錯誤.
對于選項 C：若 ，則 ， ， ，所以 ， ，
所以點 到直線 的距離 ，C 正確.
對于選項 D：設 ， 的中點分別為 ， ，過點 作平面 的垂線 ，過點 作與棱 垂直
的平面 ，直線 與平面 交于點 ，
則點 為外接球的球心，顯然點 的軌跡長度與點 的軌跡長度相等.因為 ，
，
所以 .
在平面 內(nèi)，點 的軌跡方程為 ，且 ， ，
故點 的軌跡長度近似為 ，即三棱錐 外接球球心軌跡的長度近似為 ，D 正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知數(shù)列 滿足： （m 為正整數(shù)）， ，若 ，則 m 的所有可能
取值之和為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由 結合遞推關系式，分情況討論，分別求出 的值即可．
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【詳解】當 時，則 ，可知 或 ，
若 ，則 ；
若 ，則 ；
綜上所述， 或 ，即 m 的所有可能取值之和 ．
故答案為：
13. 直線 ： 與橢圓 ： 交于 ， 兩點，橢圓 上頂點為點 ，則 的面積
為______.
【答案】
【解析】
【分析】將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式求出 ，并求出點到直線的距離
求高，利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】設點 ， .由 消去 ，整理得 ，
，所以 ， ，
所以 .
橢圓 的上頂點 ，點 到直線 的距離 ，
所以 的面積 .
故答案為： .
14. 若曲線 的一條切線方程為 ，則 ______.
【答案】
【解析】
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【分析】求導，根據(jù)斜率可得 ，即可代入 求解.
【詳解】設 ，則 .
設切點為 ，由題意，得 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故答案為： .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓 的圓心在直線 上，且點 ， 在圓 上.
（1）求圓 的標準方程；
（2）若傾斜角為 的直線 與圓 相交于 兩點，且 ，求直線 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用圓的弦的中垂線經(jīng)過圓心，結合題設求出圓心和半徑，即得圓的方程；
（2）由弦長 求出圓心到弦 距離，設直線 的方程為 ，由點到直線的距離公式列
方程，解之即得.
【小問 1 詳解】
因為點 ， ，所以直線 的斜率為 ，
所以線段 的垂直平分線的斜率為 1.因線段 的中點為 ，
則線段 的垂直平分線的方程為 .
由 解得 故圓心 ，半徑 ，
故圓 的標準方程為 .
【小問 2 詳解】
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（可以一起）如圖，因為直線 的傾斜角為 ，所以直線 的斜率為 .
因為弦長 ，所以圓心 到直線 的距離 .
設直線 的方程為 ，則點 到直線 的距離 .
由 ，解得 或 ，
所以直線 的方程為 或 .
16. 如圖，在長方體 中， ， 是 的中點， 是 的中點.
（1）求證：平面 平面 ；
（2）求平面 與平面 夾角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求出平面 和平面 的法向量，根據(jù)法向量
垂直證明面面垂直即可；
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（2）求出平面 的法向量，結合（1）中求得的平面 法向量，根據(jù)面面角的向量求解方法可求得
答案.
【小問 1 詳解】
如圖，以 為坐標原點，以 所在直線為 軸，建立空間直角坐標系 ，
則 ， ， ， ，
， ， .
設平面 的一個法向量為 ，
則 ，即 ，
令 ，則 ，所以 .
設平面 的一個法向量為 ，
則 ，即 ，
令 ，則 ，所以 .
因為 ，所以 ，
所以平面 平面 .
【小問 2 詳解】
由（1）知， ， ，
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平面 的一個法向量為 .
設平面 的一個法向量為 ，則
，即 ，
令 ，則 ， ，所以 .
設平面 與平面 的夾角為 ，
則 ，
所以 ，
所以平面 與平面 夾角的正弦值為 .
17. 已知函數(shù) ．
（1）當 時，求 的單調(diào)性；
（2）若函數(shù) 在 處取得極小值，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在 時，對函數(shù)求導后分解因式，根據(jù)導函數(shù)的正負即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對函數(shù)求導后，對 ， ， ， 的情況進行討論，由題意即得參數(shù) 的取值范
圍.
【小問 1 詳解】
當 時， ，
則 ，
令 ，解得 或 ．
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令 ，解得 ，所以 在 上單調(diào)遞減；
令 ，解得 或 ，即 在 ， 上單調(diào)遞增．
綜上，函數(shù) 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．
【小問 2 詳解】
由 求導得 ，
① 當 時， 恒成立，
令 ，解得 ，即 在 上單調(diào)遞減；
令 ，解得 ，即 在 上單調(diào)遞增，
故 時，函數(shù) 在 處取得極小值，符合題意；
②當 時，令 ，解得 ， ，且 ，
當 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減；
當 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) 在 處取得極小值，符合題意．
③ 當 時，令 ，解得 ，此時 恒成立且 不恒為 0，
單調(diào)遞增，故函數(shù) 無極值，不符合題意．
④ 當 時，令 ，解得 ， ，且 ，
當 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
當 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，
所以函數(shù) 在 處取得極大值，不符合題意．
綜上，實數(shù) 的取值范圍是 ．
18. 已知圓 ，定點 ，D 是圓 A 上的一動點，線段 DB 的垂直平分線交半徑
DA 于點 E．
（1）求點 E 的軌跡方程；
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（2）若直線 m 與點 E 的軌跡交于 M，N 兩點，與圓 相交于 P，Q 兩點，且
，求 面積的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知 ，結合橢圓的定義求軌跡方程；
（2）由題意分析可知圓心 到直線 m 的距離 ，設直線 m 的方程為 ， ，
聯(lián)立方程結合韋達定理求 ，進而可求 的面積，并利用基本不等式求最大值.
【小問 1 詳解】
圓 的圓心為 ，半徑為 4．
因為 D 是圓 上的一個動點，線段 DB 的垂直平分線交半徑 DA 于點 E，
則 ，可得 ，
因此 E 點的軌跡是以 為焦點的橢圓，
其中 ，
所以點 E 的軌跡方程為 ．
【小問 2 詳解】
圓 的圓心為 ，半徑為 2，
由題意可知：圓心 到直線 m 的距離 ，
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結合點 E 的軌跡方程可知：直線 m 的斜率可以不存在，但不為 0，
設直線 m 的方程為 ， ，
可得 ，整理得 ，即 ，
聯(lián)立方程 ，消去 x 得 ，
則 ，
可得 ，
則 ，
所以△OMN 面積為 ，
且 ，可得 ，
當且僅當 ，即 時，等號成立，
所以△OMN 面積的最大值為 1.
【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法
（1）數(shù)形結合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．
（2）構建函數(shù)法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求
最值（注意：有時需先換元后再求最值）．
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19. 已知等比數(shù)列 的各項都是正數(shù)， 是 的前 項和， ， .
（1）求數(shù)列 的通項公式及其前 項和 ；
（2）若 ，求 值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）代入等比數(shù)列的基本量，即可求解；
（2）分情況討論，求出 ，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和，結合錯位相減計算即可.
【小問 1 詳解】
設等比數(shù)列 的公比為 ，則 .
由 ， ，得 ，即 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，
【小問 2 詳解】
由（1）知， ，所以 .
因為 ，
所以當 時， ，
當 時， ， ；
當 時， ， ；
當 時， ， ，當 時， ，所以 .
當 時，由 ， ，
得當 時， ， ， ，…， ， 構成以 為首項， 為公差，項數(shù)
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為 的等差數(shù)列.
因為 ，所以當 時， ， .
當 時， ， .
當 時， ， ，…， 構成了
組等差數(shù)列，
且這 組等差數(shù)列的首項分別為 ，公差分別為 ，項數(shù)分別為 ， ，…， .
設每組等差數(shù)列的所有項的和為 ，
則 .
所以 ，
設 ，則 ，
兩式相減，得 ，
所以 ，
所以 .
當 時，均滿足上式，所以 .
【點睛】關鍵點點睛：
（1）分析可知 構成了 組等差數(shù)列，且這 組
等差數(shù)列的首項分別為 ，公差分別為 ，項數(shù)分別為 ， ，…， .，根據(jù)等差數(shù)列
公式計算；
（2）當數(shù)列是“等差等比”形式時，其前 n 項和用“錯位相減法”求和.
第 18頁/共 18頁
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