1．（4分）如果在一張比例尺為1：200的地圖上，量得A、B兩點(diǎn)的距離是5cm，那么A、B兩點(diǎn)的實(shí)際距離是（ ）
A．1mB．10mC．100mD．1000m
2．（4分）下列四個函數(shù)中，圖象經(jīng)過原點(diǎn)的是（ ）
A．y=12x+32B．y=?2xC．y＝x2+2xD．y＝（x+1）2
3．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．ACCE=BDDFB．ACDF=BDCEC．ACAE=CDEFD．ACCE=ABCD
4．（4分）如果兩個相似三角形的周長分別是5cm、16cm，那么這兩個三角形對應(yīng)角平分線的比是（ ）
A．25：256B．5：16
C．5：4D．以上都不對
5．（4分）在網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，那么∠BAC的正切值是（ ）
A．55B．255C．2D．12
6．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：
①拋物線開口向下；②拋物線的對稱軸為直線x＝1；③m的值為0；④圖象不經(jīng)過第三象限；⑤拋物線在y軸右側(cè)的部分是上升的．上述結(jié)論中正確的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】
7．（4分）已知a：b＝2：3，那么aa+b的值是 ．
8．（4分）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝ ．
9．（4分）計(jì)算：3(a→?2b→)?4b→= ．
10．（4分）如果小華在小麗北偏東65°的位置上，那么小麗在小華 的位置上．
11．（4分）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么這個斜坡的坡度i＝ ．
12．（4分）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2﹣1的圖象上有兩個點(diǎn)（2，y1）、（3，y2），那么y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
13．（4分）如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在邊BC上，聯(lián)結(jié)AE并延長，與DC的延長線相交于點(diǎn)F，如果CF＝1，那么CE＝ ．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，如果CG＝4，那么AB＝ ．
15．（4分）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果BC＝9，S△ADES四邊形BCED=18，那么DE＝ ．
16．（4分）如圖，一位運(yùn)動員推鉛球，鉛球運(yùn)行時離地面高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為y=?112x2+23x+53，點(diǎn)A是鉛球的出手位置，那么鉛球運(yùn)行水平距離 米時落到地面．
17．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，過點(diǎn)A作AB的垂線，與邊CD相交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE．如果tanC＝tan∠AEB＝2，且AD=5，那么CE的長是 ．
18．（4分）將平行四邊形ABCD的邊BC沿直線l翻折后，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′落在直線AD上．如果AB＝2BC，AC′C′D=AB′B′D，那么此平行四邊形四個內(nèi)角中，銳角的余弦值為 ．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：2cs60°2sin45°?ct45°?3tan60°．
20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，csB=45．點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線，與邊BC相交于點(diǎn)E．
（1）求線段CE的長；
（2）求sin∠BDE的值．
21．（10分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上的一點(diǎn)，CE＝2DE，AC與BE相交于點(diǎn)F，設(shè)AB→=a→，AD→=b→．
（1）用向量a→、b→分別表示下列向量；
CE= ；AE→= ；AF→= ；
（2）在圖中求作AF→分別在a→、b→方向上的分向量．
（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）
22．（10分）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地．某校實(shí)踐小組利用所學(xué)知識測量雙子山主峰的高度，他們設(shè)計(jì)了兩個測量方案，并利用課外時間完成了實(shí)地測量．下面是兩個方案的示意圖及測量數(shù)據(jù)．
任務(wù)一：請選擇其中一種方案，求出雙子山主峰AB的高度（結(jié)果保留1位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)見下表：
任務(wù)二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米．請你用一句話簡單說明你求出的高度與48米不一致的原因： ．
23．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：△BDE∽△CBE；
（2）如果AB＝BC，聯(lián)結(jié)AE并延長，與邊BC相交于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時，求證：BD2＝AD?AB．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M1：y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線M1的解析式；
（2）把拋物線M1向下平移m個單位（m＞0）得到拋物線M2，記拋物線M2的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)E，直線DE與x軸交于點(diǎn)P．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，求m的值；
②記點(diǎn)B平移后的對應(yīng)點(diǎn)為B′，如果BD∥B′P，求此時點(diǎn)D的坐標(biāo)．
25．（14分）在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，P是線段OC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P分別作AD、CD的平行線，交CD于點(diǎn)E，交BC、BD于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)EG．
（1）如圖1，如果PC＝2OP，求證：EG∥AC；
（2）如圖2，如果∠ABC＝90°，ABBC=23，且△DGE與△PCF相似，請補(bǔ)全圖形，并求OPPC的值；
（3）如圖3，如果BA＝BG＝BC，且射線EG過點(diǎn)A．請補(bǔ)全圖形，并求∠ABC的度數(shù)．
2025年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1．（4分）如果在一張比例尺為1：200的地圖上，量得A、B兩點(diǎn)的距離是5cm，那么A、B兩點(diǎn)的實(shí)際距離是（ ）
A．1mB．10mC．100mD．1000m
【分析】根據(jù)比例尺的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：在一張比例尺為1：200的地圖上，量得A、B兩點(diǎn)的距離是5cm，那么A、B兩點(diǎn)的實(shí)際距離為5÷1200=1000（cm）＝10m，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查兩點(diǎn)間的距離，比例尺，理解比例尺的定義是正確解答的關(guān)鍵．
2．（4分）下列四個函數(shù)中，圖象經(jīng)過原點(diǎn)的是（ ）
A．y=12x+32B．y=?2xC．y＝x2+2xD．y＝（x+1）2
【分析】令x＝0，函數(shù)值也等于0，則圖象經(jīng)過原點(diǎn)．
【解答】解：A、令x＝0，則y=32，故不符合題意；
B、x＝0無意義，故不符合題意；
C、x＝0，則y＝0，故符合題意；
D、x＝0，則y＝1，故不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)，掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．ACCE=BDDFB．ACDF=BDCEC．ACAE=CDEFD．ACCE=ABCD
【分析】由AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得ACCE=BDDF，而ACAE與CDEF不一定相等，ACCE與ABCD不一定相等，可判斷A正確，C不正確，D不正確；由ACCE=BDDF得ACBD=CEDF，假設(shè)ACDF=BDCE成立，則ACBD=DFCE，可推得CEDF=DFCE，則CE＝DF，與已知條件不符，可判斷B不正確，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ACCE=BDDF，而ACAE與CDEF不一定相等，ACCE與ABCD不一定相等，
故A正確，C不正確，D不正確；
由ACCE=BDDF得ACBD=CEDF，
假設(shè)ACDF=BDCE成立，則ACBD=DFCE，
∴CEDF=DFCE，
∴CE＝DF，與已知條件不符，
∴ACDF=BDCE不成立，
故B不正確，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行線分線段成比例定理，正確理解“對應(yīng)線段”的概念并且準(zhǔn)確找出圖中的對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）如果兩個相似三角形的周長分別是5cm、16cm，那么這兩個三角形對應(yīng)角平分線的比是（ ）
A．25：256B．5：16
C．5：4D．以上都不對
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)三角形的對應(yīng)角平分線的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長分別是5cm、16cm，
∴兩個相似三角形的相似比為5：16，
∴這兩個三角形對應(yīng)角平分線的比是5：16．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比，相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比是關(guān)鍵．
5．（4分）在網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，那么∠BAC的正切值是（ ）
A．55B．255C．2D．12
【分析】根據(jù)所給網(wǎng)格，連接BC得出BC與AC垂直，再結(jié)合正切的定義即可解決問題．
【解答】解：連接BC，如圖所示，
則BC⊥AC．
令小正方形網(wǎng)格的邊長為a，
則由勾股定理得，
BC=a2+(2a)2=5a；
AC=(2a)2+(4a)2=25a．
在Rt△ABC中，
tan∠BAC=BCAC=5a25a=12．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形，通過連接BC構(gòu)造出直角三角形及熟知正切的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：
①拋物線開口向下；②拋物線的對稱軸為直線x＝1；③m的值為0；④圖象不經(jīng)過第三象限；⑤拋物線在y軸右側(cè)的部分是上升的．上述結(jié)論中正確的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．
【解答】解：由表格可知，
拋物線的對稱軸是直線x=?1+32=1，故②正確；
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣1），有最小值，故拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上，故①錯誤；
當(dāng)y＝0時，x＝0或x＝2，故m的值為0，故③正確；
∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)在第四象限，拋物線與x軸的交點(diǎn)為（0，0）和（2，0），
∴拋物線不經(jīng)過第三象限，故④正確；
∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上，
∴當(dāng)x＞1時，拋物線呈上升趨勢，故⑤錯誤．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】
7．（4分）已知a：b＝2：3，那么aa+b的值是 25 ．
【分析】由已知可知b=32a，代入計(jì)算即可求值．
【解答】解：∵a：b＝2：3，
∴b=32a，
∴aa+b=aa+32a=a52a=25，
故答案為：25．
【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)題意正確得出a、b的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
8．（4分）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝ 25?2 ．
【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長線段；則AP=5?12AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長．
【解答】解：由于P為線段AB＝4的黃金分割點(diǎn)，
且AP是較長線段；
則AP=5?12AB=5?12×4＝25?2．
故答案為25?2．
【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割的概念．應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的3?52，較長的線段＝原線段的5?12．
9．（4分）計(jì)算：3(a→?2b→)?4b→= 3a→?10b→ ．
【分析】根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝3a→?6b→?4b→
＝3a→?10b→．
故答案為：3a→?10b→．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加法法則．
10．（4分）如果小華在小麗北偏東65°的位置上，那么小麗在小華 南偏西65° 的位置上．
【分析】根據(jù)方向角的定義即可得到答案．
【解答】解：如果小華在小麗北偏東65°的位置上，那么小麗在小華南偏西65°的位置上．
故答案為：南偏西65°．
【點(diǎn)評】本題考查了方向角．熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．
11．（4分）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么這個斜坡的坡度i＝ 1：3 ．
【分析】由勾股定理可得此人行走的水平距離，進(jìn)而根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比解答．
【解答】解：由勾股定理得此人行走的水平距離為22?12=3，
∴那么這個斜坡的坡度i＝1：3．
故答案為：1：3．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡度的定義是解答本題的關(guān)鍵．
12．（4分）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2﹣1的圖象上有兩個點(diǎn)（2，y1）、（3，y2），那么y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】求得二次函數(shù)的開口方向和對稱軸，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2﹣1的開口向下，對稱軸為直線x＝1，
∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，
∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2﹣1的圖象上有兩個點(diǎn)（2，y1）、（3，y2），且1＜2＜3，
∴y1＞y2．
故答案為：＞．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在邊BC上，聯(lián)結(jié)AE并延長，與DC的延長線相交于點(diǎn)F，如果CF＝1，那么CE＝ 54 ．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得CD∥AB，則FC∥AB，所以△FCE∽△ABE，而AB＝3，BC＝5，CF＝1，則CEBE=CFAB=13，所以CE=14BC=54，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝3，BC＝5，
∴CD∥AB，
∵點(diǎn)E在邊BC上，聯(lián)結(jié)AE并延長，與DC的延長線相交于點(diǎn)F，
∴FC∥AB，
∴△FCE∽△ABE，
∵AB＝3，BC＝5，CF＝1，
∴CEBE=CFAB=13，
∴CE=11+3BC=14BC=14×5=54，
故答案為：54．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△FCE∽△ABE是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，如果CG＝4，那么AB＝ 12 ．
【分析】連接AG并延長交BC于點(diǎn)F，連接CG并延長交AB于點(diǎn)E，在CE的延長線上取一點(diǎn)H，使EH＝EG，連接AH，BH，BG，證明四邊形AGBH是平行四邊形得BH∥AG，進(jìn)而得GF是△CHB的中位線，則CG＝GH＝2GE，據(jù)此得GE＝2，則CE＝6，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得出AB的長．
【解答】解：連接AG并延長交BC于點(diǎn)F，連接CG并延長交AB于點(diǎn)E，在CE的延長線上取一點(diǎn)H，使EH＝EG，連接AH，BH，BG，如圖所示：
∵G是△ABC的重心，
∴CE，BF是△ABC的中線，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∵EH＝EG，
∴四邊形AGBH是平行四邊形，
∴BH∥AG，
∵BF＝CF，
∴GF是△CHB的中位線，
∴CG＝GH＝2GE，
∵CG＝4，
∴GE=12CG＝2，
∴CE＝CG+GE＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴CE是Rt△ACB斜邊AB上的中線，
∴AB＝2CE＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的重心，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
15．（4分）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果BC＝9，S△ADES四邊形BCED=18，那么DE＝ 3 ．
【分析】由S△ADES四邊形BCED=18，得S△ADES△ABC=19，由DE∥BC，證明△ADE∽△ABC，則S△ADES△ABC=(DEBC)2=19，求得DEBC=13，則DE=13BC＝3，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵S△ADES四邊形BCED=18，
∴S△ADES△ABC=11+8=19，
∵DE∥BC，BC＝9，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2，
∴(DEBC)2=19，
∴DEBC=13或DEBC=?13（不符合題意，舍去），
∴DE=13BC＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADE∽△ABC并且求得(DEBC)2=19是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，一位運(yùn)動員推鉛球，鉛球運(yùn)行時離地面高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為y=?112x2+23x+53，點(diǎn)A是鉛球的出手位置，那么鉛球運(yùn)行水平距離 10 米時落到地面．
【分析】令y＝0，得關(guān)于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【解答】解：當(dāng)y＝0時，?112x2+23x+53=0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
即鉛球運(yùn)行水平距離10米時落到地面．
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，過點(diǎn)A作AB的垂線，與邊CD相交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE．如果tanC＝tan∠AEB＝2，且AD=5，那么CE的長是 5 ．
【分析】過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)AD∥BC得∠ADH＝∠C，則tan∠ADH＝2，解Rt△ADH得DH＝1，AH＝2，在Rt△ABE中，根據(jù)tan∠AEB=ABAE=2，設(shè)AE＝a，則AB＝2a，BE=5a，根據(jù)tanC＝tan∠AEB＝2得∠C＝∠AEB，根據(jù)EF∥BC得∠DEF＝∠C＝∠AEB，∠2＝∠3，據(jù)此可得∠1＝∠2＝∠3，由此可判定△AEH和△EBG相似，利用相似三角形的性質(zhì)得EG=25，然后解Rt△ECG即可得出CE的長．
【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)H，如圖所示：
∴∠H＝∠EGB＝∠EGC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠C，
∵tanC＝tan∠AEB＝2，
∴tan∠ADH＝2，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=AHDH=2，
∴AH＝2DH，
∵AD=5，
由勾股定理得：AD=AD2+DH2=5DH=5，
∴DH＝1，
∴AH＝2，
∵AE⊥AB，
∴在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=2，
設(shè)AE＝a，則AB＝2a，
由勾股定理得：BE=AE2+AB2=5a，
∵tanC＝tan∠AEB＝2，
∴∠C＝∠AEB，
∵EF∥BC，
∴∠DEF＝∠C＝∠AEB，∠2＝∠3，
∴∠1+∠AEF＝∠AEF+∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3，
又∵∠H＝∠EGB＝90°，
∴△AEH∽△EBG，
∴AHEG=AEBE，
∴2EG=a5a，
∴EG=25，
在Rt△ECG中，tanC=EGCG=2，
∴CG=EG2=255=5，
由勾股定理得：CE=EG2+CG2=(25)2+(5)2=5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．
18．（4分）將平行四邊形ABCD的邊BC沿直線l翻折后，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′落在直線AD上．如果AB＝2BC，AC′C′D=AB′B′D，那么此平行四邊形四個內(nèi)角中，銳角的余弦值為 24 ．
【分析】證明BB'⊥AD，CC'⊥AD，設(shè)AB＝x，BC＝m，證明△ABB'≌△DCC'，可得C′D＝AB'＝x，B'D＝|m﹣x|，AC′C′D=AB′B′D，可列式為m+xx=x|m?x|，求出x=22m，進(jìn)而可求出∠A的余弦值．
【解答】解：如圖，
B'、C'要想落在AD上，l應(yīng)為與BC平行的線，且l到AD、BC的距離相等，
BB'⊥l，CC'⊥l，
∴BB'⊥AD，CC'⊥AD，
∵AB＝CD，BB'＝CC'，∠AB'B＝∠OC'C，
∴△ABB≌△DCC（SAS），
設(shè)AB'＝x，BC＝m，則 AB＝2m，B'C'＝m，AC'＝AB'+B'C'＝m+x，C'D＝AB'＝x，
∴B'D＝|m﹣x|，AC′C′D=AB′B′D，
∴m+xx=x|m?x|，
整理得，x2=12m2，
解得x=22m，
∴csA=AB′AB=22m2m=24，
故答案為：24．
【點(diǎn)評】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：2cs60°2sin45°?ct45°?3tan60°．
【分析】利用特殊銳角三角函數(shù)值計(jì)算即可．
【解答】解：原式=2×122×22?1?3×3
=12?1?3
=2+1﹣3
=2?2．
【點(diǎn)評】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，csB=45．點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線，與邊BC相交于點(diǎn)E．
（1）求線段CE的長；
（2）求sin∠BDE的值．
【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根據(jù)斜邊上的中線求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；
（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出關(guān)于BF的關(guān)系式，從而求出∠BDE的正弦值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，csB=45，
∴BCAB=45，
∴AB＝10，
∴BC＝8，
∴AC=AB2?BC2=102?82=6，
又∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝CD=12AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cs∠DCB=CDCE，cs∠B=BCAB，
∴5CE=810，
∴CE=254；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE=254，
則BE＝8?254=74，DE=CE2?CD2=154，
設(shè)BF＝x，則DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝（154）2﹣（5﹣x）2，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝（74）2﹣x2，
∴22516?（5﹣x）2=4916?x2，
解得x=75，
∴EF2＝（74）2﹣（75）2=49×916×25，
EF=2120，
∴sin∠BDE=EFDE=725．
【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形和斜邊上的中線，關(guān)鍵是直角三角形中，正弦、余弦的應(yīng)用．
21．（10分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上的一點(diǎn)，CE＝2DE，AC與BE相交于點(diǎn)F，設(shè)AB→=a→，AD→=b→．
（1）用向量a→、b→分別表示下列向量；
CE= 23a→ ；AE→= b→?13a→ ；AF→= 25b→?25b→ ；
（2）在圖中求作AF→分別在a→、b→方向上的分向量．
（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出CE→=23a→，DE→=?13a→，根據(jù)三角形法則得出，AE→=AD→+DE→=b→?13a→根據(jù)相似三角形得出AF=35AC，AF→=25b→?25a→則即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形法則構(gòu)造平行四邊形AGFH，即可求解．
【解答】解：（1）由題意可得：AB＝CD，AB∥CD，
∴DC→=AB→=a→，
∵CE＝2DE，
∴CE→=23a→，DE→=?13a→，
∵AD→=b→，
∴AE→=AD→+DE→=b→?13a→，
∵AB∥CE，
∴△ABF∽△CEF，
∴CFAF=CEAB=23，
∴AF=35AC，
∵AC→=AD→+DC→=b→?a→，
∴AF→=25b→?25a→，
故答案為：23a→，b→?13a→，25b→?25a→；
（2）根據(jù)平行四邊形法則構(gòu)造平行四邊形AGFH如圖：
如圖，AG→，AH→即為AF→分別在a→、b→方向上的分向量，
【點(diǎn)評】本題考查了向量的線性計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地．某校實(shí)踐小組利用所學(xué)知識測量雙子山主峰的高度，他們設(shè)計(jì)了兩個測量方案，并利用課外時間完成了實(shí)地測量．下面是兩個方案的示意圖及測量數(shù)據(jù)．
任務(wù)一：請選擇其中一種方案，求出雙子山主峰AB的高度（結(jié)果保留1位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)見下表：
任務(wù)二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米．請你用一句話簡單說明你求出的高度與48米不一致的原因： 測量有誤差（答案不唯一） ．
【分析】（1）選擇方案一，設(shè)BC長x米，根據(jù)α的正切值表示出AB的長，進(jìn)而根據(jù)β的正切值為相等關(guān)系列出方程求解即可；選擇方案二，設(shè)BC為x米，根據(jù)β的正切值表示出AE的長，進(jìn)而根據(jù)α的正切值為相等關(guān)系列出方程求解即可；
（2）可從測量的角度出發(fā)回答問題．
【解答】解：（1）選擇方案一：
由題意得：AB⊥BD，
∴∠B＝90°，
設(shè)BC長x米，則BD長（x+10）米，
∵∠α＝12°，
∴AB＝x?tanα≈0.213x米，
∵∠β＝11.5°，
∴（x+10）?tan11.5°＝0.213x，
即0.204（x+10）＝0.213x，
解得：x≈226.67，
∴AB≈48.3米；
選擇方案二：
由題意得：∠AED＝∠ABC＝90°．
設(shè)BC為x米，則DE為x米．
∵β＝11.7°，
∴AE＝x?tanβ≈0.207x米，
∵α＝12°，
∴AB＝x?tanα≈0.213x米，
由題意得：BE＝CD＝1.3米，
∴0.207x+1.3＝0.213x，
解得：x≈216.67，
∴AB≈46.2米．
（2）測量有誤差（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．應(yīng)用所給角的正切值表示出相應(yīng)線段的長度或得到能解決問題的相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
23．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：△BDE∽△CBE；
（2）如果AB＝BC，聯(lián)結(jié)AE并延長，與邊BC相交于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時，求證：BD2＝AD?AB．
【分析】（1）根據(jù)題意，得到∠CEB＝∠BED＝90°，∠ECB＝∠DBE，從而得以兩三角形相似；
（2）由題意得到△AED∽△ABE，得到對應(yīng)邊成比例，結(jié)合條件得到AE＝BD，從而證得結(jié)果．
【解答】證明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝∠BED＝90°，
∴∠ECD+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE+∠CBE＝90°，
∴∠ECB＝∠DBE，
∴△BDE∽△CBE；
（2）如圖2：聯(lián)結(jié)AE并延長，與邊BC相交于點(diǎn)F，
BE⊥CD，F(xiàn)點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，
∴CF＝EF，
∴∠ECF＝∠CEF，
由（1）知∠ECB＝∠DBE，
∵∠CEF＝∠AED，
∴∠AED＝∠ABE，
∵∠EAD＝∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴AEAB=EDBE=ADAE，
又由（1）知△BDE∽△CBE，
∴EDBE=BDBC，
∴AEAB=EDBE=BDBC，
設(shè)FB＝FC＝FE＝a，
∴AB＝2a，AF=5a，AE＝（5?1）a，
∵AEAB=EDBE=ADAE，
∴AE2＝AD?AB，
∴AD＝（3?5）a，
∴BD＝2a﹣（3?5）a＝（5?1）a，
∴AE＝BD，
∴BD2＝AD?AB．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M1：y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線M1的解析式；
（2）把拋物線M1向下平移m個單位（m＞0）得到拋物線M2，記拋物線M2的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)E，直線DE與x軸交于點(diǎn)P．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，求m的值；
②記點(diǎn)B平移后的對應(yīng)點(diǎn)為B′，如果BD∥B′P，求此時點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①利用拋物線的平移思想，待定系數(shù)法，點(diǎn)重合的意義，解答即可；
②利用分類思想，根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可．
【解答】解：（1）將A（﹣3，0），C（0，5）分別代入解析式，
得：9a+6a+c=0c=5，
解得：a=?13，c＝5，
∴拋物線M1的解析式為：y=?13x2+23x+5；
（2）①由題意，得y=?13(x?1)2+163，拋物線M1向下平移m個單位（m＞0）得到拋物線M2，
故拋物線M2的解析式可設(shè)為：y=?13(x?1)2+163?m，
∴D(1，163?m)，E（0，5﹣m），
設(shè)直線DE的解析式為：y＝kx+5﹣m，
∴163?m=k+5?m，
解得k=13，
∴直線DE的解析式為y=13x+5?m，
∴P（3m﹣15，0），
又∵點(diǎn)P與點(diǎn)A（﹣3，0）重合，
∴3m﹣15＝﹣3，
∴m＝4；
②記拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，那么H（1，0），且DH∥BB′∥y軸，
∵?3+52=1，
∴B（5，0），
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時，
∴BH＝5﹣1＝4，DH=163?m，BP＝5﹣（3m﹣15）＝20﹣3m，BB′＝m，
∵DH∥BB′∥y軸，
∴∠DBH＝∠B′PB，
∵∠DHB＝∠B'BP＝90°，
∴△B′PB∽△DBH，
∴DHHB=BB′PB，
∴163?m4=m20?3m，
解得m=20±453；
同理可證，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時，仍有DHHB=BB′PB成立，
有：m?1634=m3m?20，
解得：m=20±453，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，?4±453)．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的平移，三角形相似的判定和性質(zhì)，解方程，分類思想，熟練掌握待定系數(shù)法，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（14分）在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，P是線段OC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P分別作AD、CD的平行線，交CD于點(diǎn)E，交BC、BD于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)EG．
（1）如圖1，如果PC＝2OP，求證：EG∥AC；
（2）如圖2，如果∠ABC＝90°，ABBC=23，且△DGE與△PCF相似，請補(bǔ)全圖形，并求OPPC的值；
（3）如圖3，如果BA＝BG＝BC，且射線EG過點(diǎn)A．請補(bǔ)全圖形，并求∠ABC的度數(shù)．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證出CPCA=CP2CO=13，得出OGOD=CECD，則可得出結(jié)論；
（2）證明△DGE∽△PFC∽△ABC，設(shè)CE＝4k，那么PE＝6k，PG＝9k，得出EG=313k，DE＝13k．求出OPOC=PGCD=917，則可得出答案；
（3）由題意畫出圖形，證明平行四邊形ABCD為菱形．設(shè)FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b，求出ab=5+12，得出DGGB=ba=5?12，證明△DGA∽△DAB．設(shè)∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，那么∠BAG＝∠BGA＝2α．求出α＝36°，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵PC＝2PO，PG∥CD，
∴OGOD=OPOC=13，
在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，
∴CPCA=CP2CO=13，
又∵PE∥AD，
∴CPCA=CECD=13，
∴OGOD=CECD，
∴EG∥OC；
（2）解：如圖2，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四邊形ABCD為矩形．
∴OC＝OD，
∴∠GDE＝∠PCE＝∠CPF，
又∵∠CFP＝∠ABC＝90°，且∠DEG＜90°，
∴只能∠DGE＝90°，∠DEG＝∠PGE＝∠PCF．
∴此時有：△DGE∽△PFC∽△ABC，
設(shè)CE＝4k，那么PE＝6k，PG＝9k，
∴EG=PE2+PG2=313k，DE＝13k．
∴OPOC=PGCD=917，
∴OPPC=98；
（3）解：補(bǔ)全圖形如下，
∵BA＝BC，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
設(shè)FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b，
∴GP＝a﹣b．
∵GP∥CE，
∴PGCE=APAC=BFBC，
∴a?bb=aa+b，
∴a2﹣ab﹣b2＝0，
∴(ab)2?ab?1=0，
∴ab=5+12（負(fù)根已舍）．
∴DGGB=ba=5?12，
∴DGGB=BGBD=5?12，
∴DGDA=DADB，
又∵∠ADG＝∠BDA，
∴△DGA∽△DAB．
∴設(shè)∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，那么∠BAG＝∠BGA＝2α．
∴5α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠ABC＝72°．
【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
測量項(xiàng)目
CD
α
β
方案一
10m
12°
11.5°
方案二
1.3m
12°
11.7°
三角比角度
sin
cs
tan
ct
12°
0.208
0.978
0.213
4.705
11.5°
0.199
0.980
0.204
4.915
11.7°
0.203
0.979
0.207
4.829
題號
1
2
3
4
5
6
答案
B
C
A
B
D
C
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
測量項(xiàng)目
CD
α
β
方案一
10m
12°
11.5°
方案二
1.3m
12°
11.7°
三角比角度
sin
cs
tan
ct
12°
0.208
0.978
0.213
4.705
11.5°
0.199
0.980
0.204
4.915
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0.203
0.979
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