?2019年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學二模試卷
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】
1．（4分）下列各數(shù)不是4的因數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）如果分式有意義，則x與y必須滿足（　　）
A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y(tǒng) D．x≠y
3．（4分）直線y＝2x﹣7不經(jīng)過（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）某運動隊在一次隊內(nèi)選拔比賽中，甲、乙、丙、丁四位運動員的平均成績相等，方差分別為0.85、1.23、5.01、3.46，那么這四位運動員中，發(fā)揮較穩(wěn)定的是（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（4分）在線段、等邊三角形、等腰梯形、平行四邊形中，一定是軸對稱圖形的個數(shù)有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（4分）已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，AO＝CO，如果添加下列一個條件后，就能判定這個四邊形是菱形的是（　?。?br /> A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）的相反數(shù)是　 　．
8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝　 ?。?br /> 9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（﹣2）＝　 　．
10．（4分）如果關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是　 ?。?br /> 11．（4分）已知一個正多邊形的中心角為30度，邊長為x厘米（x＞0），周長為y厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為　 ?。?br /> 12．（4分）從1、2、3這三個數(shù)中任選兩個組成兩位數(shù)，在組成的所有兩位數(shù)中任意抽取一個數(shù)，這個數(shù)恰好是偶數(shù)的概率是　 　．
13．（4分）在四邊形ABCD中，向量、滿足，那么線段AB與CD的位置關(guān)系是　 ?。?br /> 14．（4分）某校有560名學生，為了解這些學生每天做作業(yè)所用的時間，調(diào)查人員在這所學校的全體學生中隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，并把結(jié)果制成如圖的統(tǒng)計圖，根據(jù)這個統(tǒng)計圖可以估計這個學校全體學生每天做作業(yè)時間不少于2小時的人數(shù)約為　 　名．

15．（4分）已知一個角的度數(shù)為50度，那么這個角的補角等于　 ?。?br /> 16．（4分）已知梯形的上底長為5厘米，下底長為9厘米，那么這個梯形的中位線長等于　 　厘米．
17．（4分）如圖，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，將這個三角形繞點B旋轉(zhuǎn)，使點A落在射線AC上的點A1處，點C落在點C1處，那么AC1＝　 　．

18．（4分）定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝　 ?。?br /> 三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|．
20．（10分）解不等式組：，并寫出這個不等式組的自然數(shù)解．
21．（10分）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y＝經(jīng)過第一象限內(nèi)的點A，延長OA到點B，使得BA＝2AO，過點B作BH⊥x軸，垂足為點H，交雙曲線于點C，點B的橫坐標為6．
求：（1）點A的坐標；
（2）將直線AB平移，使其經(jīng)過點C，求平移后直線的表達式．

22．（10分）如圖1，一輛吊車工作時的吊臂AB最長為20米，吊臂與水平線的夾角∠ABC最大為70°，旋轉(zhuǎn)中心點B離地面的距離BD為2米．
（1）如圖2，求這輛吊車工作時點A離地面的最大距離AH（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；
（2）一天，王師傅接到緊急通知，要求將這輛吊車立即開到40千米遠的某工地，因此王師傅以每小時比平時快20千米的速度勻速行駛，結(jié)果提前20分鐘到達，求這次王師傅所開的吊車速度．

23．（12分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足為點M，連接CM并延長，交線段AB于點N．
求證：（1）∠ABD＝∠BCM；
（2）BC?BN＝CN?DM．

24．（12分）已知拋物線y＝+bx+c經(jīng)過點M（3，﹣4），與x軸相交于點A（﹣3，0）和點B，與y軸相交于點C．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）如果P是這條拋物線對稱軸上一點，PC＝BC，求點P的坐標；
（3）在第（2）小題的條件下，當點P在x軸上方時，求∠PCB的正弦值．

25．（14分）已知AB是圓O的一條弦，P是圓O上一點，過點O作MN⊥AP，垂足為點M，并交射線AB于點N，圓O的半徑為5，AB＝8．
（1）當P是優(yōu)弧的中點時（如圖），求弦AP的長；
（2）當點N與點B重合時，試判斷：以圓O為圓心，為半徑的圓與直線AP的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當∠BNO＝∠BON，且圓N與圓O相切時，求圓N半徑的長．


2019年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】
1．（4分）下列各數(shù)不是4的因數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法，判斷出所給的各數(shù)不是4的因數(shù)是哪些即可．
【解答】解：∵4的因數(shù)有：1、2、4，
∴各數(shù)不是4的因數(shù)是3．
故選：C．
【點評】此題主要考查了求一個數(shù)因數(shù)的方法，要熟練掌握，應有順序的寫，做到不重不漏．
2．（4分）如果分式有意義，則x與y必須滿足（　?。?br /> A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y(tǒng) D．x≠y
【分析】根據(jù)分式有意義的條件是x﹣y≠0，可得x﹣y≠0，進而可得答案．
【解答】解：由題意得：x﹣y≠0，
即：x≠y，
故選：D．
【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式分母不為零．
3．（4分）直線y＝2x﹣7不經(jīng)過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)可以解答本題．
【解答】解：∵直線y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝﹣1，
∴該直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限，
故選：B．
【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
4．（4分）某運動隊在一次隊內(nèi)選拔比賽中，甲、乙、丙、丁四位運動員的平均成績相等，方差分別為0.85、1.23、5.01、3.46，那么這四位運動員中，發(fā)揮較穩(wěn)定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根據(jù)方差的意義求解可得．
【解答】解：由題意知甲的方差最小，成績最穩(wěn)定，
故選：A．
【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
5．（4分）在線段、等邊三角形、等腰梯形、平行四邊形中，一定是軸對稱圖形的個數(shù)有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解．
【解答】解：①線段是軸對稱圖形，
②等邊三角形是軸對稱圖形，
③等腰梯形是軸對稱圖形，
④平行四邊形不是軸對稱圖形，
綜上所述，一定是軸對稱圖形的是①②③共3個．
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
6．（4分）已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，AO＝CO，如果添加下列一個條件后，就能判定這個四邊形是菱形的是（　　）
A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB＝∠CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BC，于是得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△ADO與△CBO中，，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AD＝CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB＝BC
∴四邊形ABCD是菱形；故B正確；
故選：B．

【點評】本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）的相反數(shù)是　﹣　．
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)可得答案．
【解答】解：的相反數(shù)是﹣，
故答案為：﹣．
【點評】此題主要考查了相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)定義．
8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝?。╝﹣b+2）（a﹣b﹣2）?。?br /> 【分析】首先將前三項分組進而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4
＝（a﹣b）2﹣4
＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．
故答案為：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．
【點評】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確分組得出是解題關(guān)鍵．
9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（﹣2）＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)已知直接將x＝﹣2代入求出答案．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（﹣2）＝＝2．
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了函數(shù)值，正確將已知數(shù)據(jù)代入是解題關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．
10．（4分）如果關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是　m≤1?。?br /> 【分析】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則根的判別式△＝b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．
【解答】解：∵方程有兩個實數(shù)根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×m＝4﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故答案為：m≤1．
【點評】考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
11．（4分）已知一個正多邊形的中心角為30度，邊長為x厘米（x＞0），周長為y厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為　y＝12x?。?br /> 【分析】由正多邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓心角定理求出正多邊形的邊數(shù)，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵正多邊形的中心角為30度，
∴＝12，
∴正多邊形為正十二邊形，
設(shè)邊長為x厘米（x＞0），周長為y厘米，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y＝12x；
故答案為：y＝12x．
【點評】本題考查了正多邊形和圓、圓心角定理、函數(shù)關(guān)系式等知識，熟練掌握由正多邊形的中心角求正多邊形的邊數(shù)是關(guān)鍵．
12．（4分）從1、2、3這三個數(shù)中任選兩個組成兩位數(shù)，在組成的所有兩位數(shù)中任意抽取一個數(shù)，這個數(shù)恰好是偶數(shù)的概率是　?。?br /> 【分析】列舉出所有情況，看末位是2的情況占所有情況的多少即可．
【解答】解：
共有6種情況，是偶數(shù)的有2種情況，所以組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為，
故答案為：．
【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝，注意本題是不放回實驗．
13．（4分）在四邊形ABCD中，向量、滿足，那么線段AB與CD的位置關(guān)系是　平行?。?br /> 【分析】根據(jù)共線向量的定義即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴與是共線向量，
由于與沒有公共點，
∴AB∥CD，
故答案為：平行．
【點評】本題考查共線向量，解題的關(guān)鍵是熟練運用共線向量的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
14．（4分）某校有560名學生，為了解這些學生每天做作業(yè)所用的時間，調(diào)查人員在這所學校的全體學生中隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，并把結(jié)果制成如圖的統(tǒng)計圖，根據(jù)這個統(tǒng)計圖可以估計這個學校全體學生每天做作業(yè)時間不少于2小時的人數(shù)約為　160　名．

【分析】利用總?cè)藬?shù)560乘以每天做作業(yè)時間不少于2小時的同學所占的比例即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計圖知：
估計這個學校全體學生每天做作業(yè)時間不少于2小時的人數(shù)約為560×＝160人，
故答案為：160．
【點評】本題考查的是用樣本估計總體的知識．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．
15．（4分）已知一個角的度數(shù)為50度，那么這個角的補角等于　130°　．
【分析】根據(jù)如果兩個角的和等于180°，那么這兩個角叫互為補角計算即可．
【解答】解：180°﹣50°＝130°．
故這個角的補角等于130°．
故答案為：130°．
【點評】本題考查的是余角和補角的定義，如果兩個角的和是一個直角，那么稱這兩個角互為余角．如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫互為補角．其中一個角叫做另一個角的補角．
16．（4分）已知梯形的上底長為5厘米，下底長為9厘米，那么這個梯形的中位線長等于　7　厘米．
【分析】根據(jù)梯形中位線定理計算，得到答案．
【解答】解：梯形的中位線長＝×（5+9）＝7（厘米）
故答案為：7．
【點評】本題考查的是梯形中位線的計算，梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
17．（4分）如圖，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，將這個三角形繞點B旋轉(zhuǎn)，使點A落在射線AC上的點A1處，點C落在點C1處，那么AC1＝　?。?br />
【分析】連接AC1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先證△ABA1為等腰直角三角形，再證△AA1C1為直角三角形，利用勾股定理可求AC1的長度．
【解答】解：如圖，連接AC1，
由旋轉(zhuǎn)知，△ABC≌△A1BC1，
∴AB＝A1B＝3，AC＝A1C1＝2，∠CAB＝∠C1A1B＝45°，
∴∠CAB＝∠CA1B＝45°，
∴△ABA1為等腰直角三角形，∠AA1C1＝∠CA1B+∠C1A1B＝90°，
在等腰直角三角形ABA1中，
AA1＝AB＝3，
在Rt△AA1C1中，
AC1＝＝＝，
故答案為：．

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形．
18．（4分）定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝　?。?br /> 【分析】分三種情形分別求解即可解決問題．
【解答】解：由題意⊙O的半徑r2＝4×9＝36，
∵r＞0，
∴r＝6，
當點A在NO的延長線上時，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，
∴＝＝，
當點A″是ON與⊙O的交點時，A″M＝2，A″N＝3，
∴＝，
當點A′是⊙O上異與A，A″兩點時，易證△OA′M∽△ONA′，
∴＝＝＝，
綜上所述，＝．
故答案為：．

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|．
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、分母有理化、絕對值、二次根式化簡4個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．
【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+2﹣＝﹣1．
【點評】本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪、分母有理化、絕對值、二次根式化簡等考點的運算．
20．（10分）解不等式組：，并寫出這個不等式組的自然數(shù)解．
【分析】先分別解答不等式組中的兩個不等式的解集，然后求其交集即為不等式組的解集，再根據(jù)不等式組的解集來取自然數(shù)解．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜4．
故不等式組的解集是：﹣1≤x＜4．
故這個不等式組的自然數(shù)解是：0，1，2，3．
【點評】本題考查了解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解．求不等式的公共解，要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
21．（10分）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y＝經(jīng)過第一象限內(nèi)的點A，延長OA到點B，使得BA＝2AO，過點B作BH⊥x軸，垂足為點H，交雙曲線于點C，點B的橫坐標為6．
求：（1）點A的坐標；
（2）將直線AB平移，使其經(jīng)過點C，求平移后直線的表達式．

【分析】（1）作AD⊥x軸，垂足為D，易得AD∥BH，根據(jù)平行線分線段成比例可得點A的橫坐標，再根據(jù)雙曲線y＝經(jīng)過第一象限內(nèi)的點A，可得點A的縱坐標；
（2）根據(jù)點C的坐標求出直線AB的表達式，再運用待定系數(shù)法即可求出平移后直線的表達式．
【解答】解：（1）作AD⊥x軸，垂足為D，

∵BH⊥x軸，AD⊥x軸，∴∠BHO＝∠ADO＝90°，∴AD∥BH，
∵BA＝2AO，∴，
∵點B的橫坐標為6，∴OH＝6，∴OD＝2，
∵雙曲線y＝經(jīng)過第一象限內(nèi)的點A，可得點A的縱坐標為3，
∴點A的坐標為（2，3）；

（2）∵雙曲線y＝上點C的橫坐標為6，∴點C的坐標為（6，1），
由題意得，直線AB的表達式為y＝，
∴設(shè)平移后直線的表達式為y＝，
∵平移后直線y＝經(jīng)過點C（6，1），∴1＝，
解得b＝﹣8，
∴平移后直線的表達式y(tǒng)＝．
【點評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解本題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
22．（10分）如圖1，一輛吊車工作時的吊臂AB最長為20米，吊臂與水平線的夾角∠ABC最大為70°，旋轉(zhuǎn)中心點B離地面的距離BD為2米．
（1）如圖2，求這輛吊車工作時點A離地面的最大距離AH（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；
（2）一天，王師傅接到緊急通知，要求將這輛吊車立即開到40千米遠的某工地，因此王師傅以每小時比平時快20千米的速度勻速行駛，結(jié)果提前20分鐘到達，求這次王師傅所開的吊車速度．

【分析】（1）解Rt△ABC求出AC的長度，便可求得AH；
（2）設(shè)這次王師傅所開的吊車的速度為每小時x千米，根據(jù)快速行駛時間比平時行駛時間少20秒，列出分式方程便可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB?sin70°＝20×0.94＝18.8，
∴AH＝20.8．
答：這輛吊車工作時點A離地面的最大距離AH為20.8米；

（2）設(shè)這次王師傅所開的吊車的速度為每小時x千米，由題意，得
，
解得，x1＝60，x2＝﹣40，
經(jīng)檢驗：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合題意，舍去，
答：這次王師傅所開的吊車的速度為每小時60千米．
【點評】本題是解直角三角形與分式方程應用的綜合題，主要考查了解直角三角形，列分式方程解應用題，（1）題的關(guān)鍵是解直角三角形求出AC，（2）小題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系列出分式方程．
23．（12分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足為點M，連接CM并延長，交線段AB于點N．
求證：（1）∠ABD＝∠BCM；
（2）BC?BN＝CN?DM．

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠ADB，BM＝DM，再利用平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠MBC，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CM＝BM＝DM，則∠MBC＝∠BCM，從而得到∠ABD＝∠BCM；
（2）先證明△NBM∽△NCB，則BN：CN＝BM：BC，然后利用BM＝DM和比例性質(zhì)可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠MBC，
∴∠ABD＝∠MBC，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴CM＝BM＝DM，
∴∠MBC＝∠BCM，
∴∠ABD＝∠BCM；
（2）∵∠BNM＝∠CNB，∠NBM＝∠NCB，
∴△NBM∽△NCB，
∴BN：CN＝BM：BC，
而BM＝DM，
∴BN：CN＝DM：BC，
∴BC?BN＝CN?DM．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．靈活運用相似三角形的性質(zhì)進行幾何計算．
24．（12分）已知拋物線y＝+bx+c經(jīng)過點M（3，﹣4），與x軸相交于點A（﹣3，0）和點B，與y軸相交于點C．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）如果P是這條拋物線對稱軸上一點，PC＝BC，求點P的坐標；
（3）在第（2）小題的條件下，當點P在x軸上方時，求∠PCB的正弦值．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)A、B的坐標求得對稱軸為x＝1，設(shè)點P的坐標為（1，y）．由PC＝BC根據(jù)勾股定理列出12+（y+5）2＝52+52．解得即可；
（3）作PH⊥BC，垂足為點H，根據(jù)勾股定理求得BC，然后求得直線BC的解析式，進而求得D的坐標，然后根據(jù)S△PBC＝S△PCD+S△PBD，列出．求得PH，解正弦函數(shù)即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y═x2+bx+c經(jīng)過點M（3，﹣4），A（﹣3.0），
，
解得：，
∴這條拋物線的表達式為y＝x2﹣x﹣5；
（2）∵A（﹣3，0），B（5，0），
∴這條拋物線的對稱軸為直線x＝1．
設(shè)點P的坐標為（1，y）．
∵PC＝BC，點B的坐標為（5，0），點C的坐標為（0，5）．
∴PC2＝BC2．
12+（y+5）2＝52+52．
解得y＝2或y＝﹣12．
∴點P的坐標為（1，2）或（1，﹣12）；
（3）作PH⊥BC，垂足為點H．
∵點B（5.0），點C（0，﹣5），點P（1，2），
∴PC＝BC＝5．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣5，
代入B（5，0）解得k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣5，
把x＝1代入得，y＝﹣4，
∴直線BC與對稱軸相交于點D（1，﹣4），
∴PD＝6，
∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD，
∴．
解得PH＝3．
∴sin∠PCB＝＝．

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，三角形面積等，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，靈活運用三角形面積公式，屬于中考?？碱}型．
25．（14分）已知AB是圓O的一條弦，P是圓O上一點，過點O作MN⊥AP，垂足為點M，并交射線AB于點N，圓O的半徑為5，AB＝8．
（1）當P是優(yōu)弧的中點時（如圖），求弦AP的長；
（2）當點N與點B重合時，試判斷：以圓O為圓心，為半徑的圓與直線AP的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當∠BNO＝∠BON，且圓N與圓O相切時，求圓N半徑的長．

【分析】（1）連接PO并延長交弦AB于點H，由垂徑定理得出PH⊥AB，AH＝BH，由勾股定理得出OH＝＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝8，由勾股定理求出AP即可；
（2）作OG⊥AB于G，先證明△OBG∽△ABM，得出＝，求出BM＝，得出OM＝，由＜，即可的距離；
（3）分情況討論：①當圓N與圓O相外切時，作OD⊥AB于D，由勾股定理求出OD＝＝3，證出BN＝OB＝5，得出DN的長，再由勾股定理求出ON，然后由相切兩圓的性質(zhì)即可得出圓N的半徑；
當圓N與圓O相內(nèi)切時，由相切兩圓的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
②當點N在線段AB上時，此時點P在弦AB的下方，點N在圓O內(nèi)部，作OE⊥AB于E，則AE＝BE＝4，證出BN＝OB＝5，EN＝BN＝BE＝1，由勾股定理求出OE＝＝3，在Rt△OEN中，再由勾股定理得：ON＝＝，即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）連接PO并延長交弦AB于點H，如圖1所示：
∵P是優(yōu)弧的中點，PH經(jīng)過圓心O，
∴PH⊥AB，AH＝BH，
在△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝AB＝4，AO＝5，
∴OH＝＝＝3，
在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8，
∴AP＝＝＝4；
（2）當點N與點B重合時，以點O為圓心，為半徑的圓與直線AP相交；理由如下：
作OG⊥AB于G，如圖2所示：
∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，
∴△OBG∽△ABM，
∴＝，即＝，
解得：BM＝，
∴OM＝﹣5＝，
∵＜，
∴當點N與點B重合時，以點O為圓心，為半徑的圓與直線AP相交；
（3）①當點N在線段AB延長線上時，
當圓N與圓O相外切時，作OD⊥AB于D，如圖3所示：
∵OA＝OB＝5，
∴AD＝DB＝AB＝4，
∴OD＝＝＝3，
∵∠BNO＝∠BON，
∴BN＝OB＝5，
∴DN＝DB+BN＝9，
在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，
∵圓N與圓O相切，
∴圓N半徑＝ON﹣5＝3﹣5；
當圓N與圓O相內(nèi)切時，圓N半徑＝ON+5＝3+5；
②當點N在線段AB上時，此時點P在弦AB的下方，點N在圓O內(nèi)部，如圖4所示：
作OE⊥AB于E，則AE＝BE＝4，OE＝＝3，
∵∠BNO＝∠BON，
∴BN＝OB＝5，
∴EN＝BN＝BE＝1，
在Rt△OEN中，由勾股定理得：ON＝＝＝，
∴圓N半徑為5﹣或5+；
綜上所述，當∠BNO＝∠BON，且圓N與圓O相切時，圓N半徑的長為3﹣5或3+5或5﹣或5+．




【點評】本題是圓的綜合題目，考查了垂徑定理、直線與圓的位置關(guān)系、相切兩圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系、相切兩圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2020/6/19 16:05:12；用戶：西安萬向思維數(shù)學；郵箱：xianwanxiang005@xyh.com；學號：24602080

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