一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．
1. 下列事件中，屬于不可能事件的是（ ）．
A. 經過紅綠燈路口，遇到綠燈B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 班里的兩名同學，他們的生日是同一天D. 從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球
2. 在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（ ）

A B. C. D.
4. 如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（ ）

A. B. C. D.
6. 已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
7. 關于一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系式是．有下列結論：
①小球從拋出到落地需要；
②小球運動中的高度可以是；
③小球運動時的高度小于運動時的高度．
其中，正確結論的個數(shù)是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
10. 如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 拋物線與y軸的交點坐標是_________．
12. 在直角坐標系中，點繞原點逆時針方向旋轉，得到的點的坐標是__________．
13. 一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．經多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為______________．
14. 如圖，是的直徑，弦于點，若，，則半徑的長為__________．
15. 如圖，矩形中，，．點是邊上一動點，點為線段上一動點．，則最小值為________．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16. 解方程
（1）
（2）
17. 學校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想參加，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復上述過程．
（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．
18. 如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．
（1）若，求線段AD的長．
（2）若面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
19. 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點和點B．

（1）求m，a的值，并直接寫出點B的坐標；
（2）根據(jù)圖象可得，不等式的解集為 ．
20. 建設美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．
（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？
21. 如圖，是以為直徑的半圓上的兩點，，連結．
（1）求證：．
（2）若，，求陰影部分的面積．
22. 16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．
（1）求出a，b的值；
（2）火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭第一級運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
23. 問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．
（1）先將問題特殊化．如圖（2），當時，求出的值；
（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．
2024-2025學年度第一學期期末考試
九年級數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．
1. 下列事件中，屬于不可能事件的是（ ）．
A 經過紅綠燈路口，遇到綠燈B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 班里的兩名同學，他們的生日是同一天D. 從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球
【答案】D
【解析】
【分析】結合題意，根據(jù)不可能事件的定義分析，即可得到答案．
【詳解】經過紅綠燈路口，遇到綠燈是隨機事件
∴選項A錯誤；
射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件
∴選項B錯誤；
班里的兩名同學，他們的生日是同一天，是隨機事件
∴選項C錯誤；
從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球，是不可能事件
∴選項D正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了隨機事件的知識；解題的關鍵是熟練掌握不可能事件的性質，從而完成求解．
2. 在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了關于原點的對稱點的坐標．根據(jù)關于原點的對稱點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵關于原點的對稱點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，
∴點關于原點的對稱點的坐標是．
故選：D．
3. 如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對著，
，
，
．
故選：C．
4. 如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，由旋轉的性質可得，
由三角形內角和定理可得出，最后根據(jù)角的和差關系即可得出答案．
【詳解】解：由旋轉的性質可得出，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
5. 如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據(jù)題意橫縱的坐標乘以，即可求解．
【詳解】解：依題意，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是
故選：D．
6. 已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)反比例函數(shù)的性質得到函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結合三點的橫坐標即可求解，掌握反比例函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故選：C．
7. 關于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數(shù)根的條件是解題的關鍵．
根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件是，據(jù)此列不等式求解即可．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴，解得．
故選B．
8. 在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分兩種情況討論：當時，可排除B；當時，排除C、D．
【詳解】解：當時，反比例函數(shù)過一三象限，一次函數(shù)與y軸正半軸有交點，過一二三象限，故A正確，排除B；
當時，反比例函數(shù)過二四象限，一次函數(shù)與y軸負半軸有交點，過二三四象限，排除C、D；
故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)綜合問題，掌握數(shù)形結合的思想是關鍵．
9. 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系式是．有下列結論：
①小球從拋出到落地需要；
②小球運動中的高度可以是；
③小球運動時的高度小于運動時的高度．
其中，正確結論的個數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質，令解方程即可判斷①；配方成頂點式即可判斷②；把和代入計算即可判斷③．
【詳解】解：令，則，解得：，，
∴小球從拋出到落地需要，故①正確；
∵，
∴最大高度為，
∴小球運動中的高度可以是，故②正確；
當時，；當時，；
∴小球運動時的高度大于運動時的高度，故③錯誤；
故選C．
10. 如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據(jù)相似三角形的性質可求出EF，進而求出函數(shù)關系式，由此即可求出答案．
【詳解】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，

根據(jù)相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
則△DEF的面積y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y關于x的函數(shù)圖象是一個開口向下、頂點坐標為(，)的拋物線．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質，求出S與x的函數(shù)關系式是解題的關鍵．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 拋物線與y軸的交點坐標是_________．
【答案】
【解析】
【分析】與軸的交點的特點為，令，求出的值，即可求出拋物線與軸的交點坐標．
【詳解】令拋物線中，
即，
解得，
故與軸的交點坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了拋物線與y軸的交點坐標，解題的關鍵是令，求出的值．
12. 在直角坐標系中，點繞原點逆時針方向旋轉，得到的點的坐標是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把點繞原點旋轉的問題轉化為直角三角形旋轉的問題，畫出圖形可解決問題．
【詳解】解：過A點作軸，過B點作軸，

∵點A的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴,
∴點B的坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，解題的關鍵是正確作出圖形解決問題．
13. 一個不透明盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．經多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為______________．
【答案】
【解析】
【分析】設袋子中紅球有個，根據(jù)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，可列出關于的方程，求出的值，從而得出結果．
【詳解】解：設袋子中紅球有個，
根據(jù)題意，得,
∴盒子中紅球的個數(shù)約為，
故答案為：
【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，熟練掌握求概率公式是解此題的關鍵．
14. 如圖，是的直徑，弦于點，若，，則半徑的長為__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，關鍵是根據(jù)以上知識點列出關于圓半徑的方程．
連接，設的半徑長為，得到，，由垂徑定理推出，由勾股定理得到，即可求出．
【詳解】解：連接，設的半徑長為，
，
弦于點，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：5．
15. 如圖，矩形中，，．點是邊上一動點，點為線段上一動點．，則的最小值為________．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，兩點之間，線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，應用直角三角形性質解決問題．
取的中點O，連接，，證明，推出，點M在以O為圓心，4為半徑的上，利用勾股定理求出，可得結論．
【詳解】解：如圖，取的中點O，連接，．
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點O是的中點
∴，
∴，
∴點M在以O為圓心，4為半徑的上，
∵
∴
∴的最小值為2．
故答案為：2．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握根據(jù)方程特點選擇適當?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關鍵．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
小問1詳解】
解：，
，
或，
∴，；
【小問2詳解】
解：，
，
，
或，
∴，．
17. 學校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想參加，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復上述過程．
（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．
【答案】（1）
（2）樹狀圖見解析，該游戲對雙方公平
【解析】
【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：
（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；
（2）畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結果數(shù)，再分別找到兩次數(shù)字之和大于4和小于4的結果，再依據(jù)概率計算公式計算出兩人獲勝的概率即可得到結論．
【小問1詳解】
解：∵一共有3張牌，其中寫有數(shù)字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相同，
∴小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖如下所示：
由樹狀圖可知，一共有6種（和為4的不符合題意）等可能性的結果數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結果數(shù)有3種，兩次摸到的數(shù)字之和小于4有3種，
∴小明獲勝的概率為，小紅獲勝的概率為，
∴小明和小紅獲勝的概率相同，
∴該游戲對雙方公平．
18. 如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．
（1）若，求線段AD的長．
（2）若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
【答案】（1）2 （2）6
【解析】
【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；
（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．
【小問1詳解】
∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關鍵．
19. 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點和點B．

（1）求m，a的值，并直接寫出點B的坐標；
（2）根據(jù)圖象可得，不等式的解集為 ．
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，根據(jù)交點確定不等式的解集，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的基本性質是解題關鍵．
（1）將點A代入一次函數(shù)即可得出，再將點A代入反比例函數(shù)即可確定函數(shù)解析式，進而即可得出交點；
（2）結合圖象，找出一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象下方的取值范圍即可．
【小問1詳解】
解：∵點在一次函數(shù)的圖象上，
∴將代入中，得，
∴．
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴將代入中，得，
解得．
聯(lián)立，
解得：或
∴點的坐標為．
【小問2詳解】
由圖象得：當一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)圖象下方，即時，或，
故答案為：或．
20. 建設美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．
（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？
【答案】（1）20% （2）18個
【解析】
【分析】（1）先設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的資金年增長率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解這個方程得，，，
經檢驗，符合本題要求．
答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．
【小問2詳解】
設該市在2022年可以改造個老舊小區(qū)，
由題意得：，
解得．
∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個小區(qū)．
答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，不等式的應用，解決此題的關鍵是找到相應的等量關系和相應的不等關系，列出正確的方程和不等式．
21. 如圖，是以為直徑的半圓上的兩點，，連結．
（1）求證：．
（2）若，，求陰影部分的面積．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根據(jù) ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，進而得到結論；
（2）連結OC，OD，證明所求的陰影部分面積與扇形的面積相等，繼而得到結論．
【小問1詳解】
證明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖，連結OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S陰影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S陰影=．
【點睛】本題主要考查扇形的面積，同弧所對的圓周角相等，平行線的判定，掌握定理以及公式是解題的關鍵．
22. 16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．
（1）求出a，b值；
（2）火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭第一級運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質，一次函數(shù)的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）將代入即可求解；
（2）將變?yōu)椋纯纱_定頂點坐標，即最高點，由比火箭運行的最高點低，得出，進而對應的x的值，然后進行比較再計算即可．
【小問1詳解】
解：∵火箭第二級的引發(fā)點的高度為
∴拋物線和直線均經過點
∴，
解得，．
【小問2詳解】
由①知，，
∴
∴最大值
當時，
則
解得，
又∵火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．
∴不合題意舍去；
∴當火箭第二級高度時，在第二次則
解得
∴這兩個位置之間的距離．
23. 問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．
（1）先將問題特殊化．如圖（2），當時，求出的值；
（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質結合已知條件，求得，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，可得，即可求解；
（2）取的中點，連接．證明，可得，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形的性質可得，進而可得．
【小問1詳解】
解：中，，，
是等邊三角形，
∵是的中點，
，,
∵，
，
，
，
，
，
，
．
【小問2詳解】
證明：取的中點，連接．
是的中點，
，，
∴；
，
∴，
∴，
，
．
，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，含30度直角三角形性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，等邊對等角，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．

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