一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響，下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A. 劉徽的割圓術(shù)B. 中國七巧板
C 楊輝三角D. 趙爽弦圖
2. 將一元二次方程化成一般形式（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球繞著太陽轉(zhuǎn)B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 天空出現(xiàn)三個太陽D. 經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
4. 如圖，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到，點A的對應(yīng)點恰好落在AB邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
5. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（ ）
A. －2B. 2C. －4D. 4
6. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于E點，且BC＝6，∠BAC＝30°，則CD的值是 （ ）
A. 4B. C. D. 9.6
7. 若點，，在二次函數(shù)的圖象上，下列數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
8. 我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如圖，在等腰中，，于點，將一直角三角尺的直角頂點放在點處，當三角尺繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，兩條直角邊分別與交于點（點、分別在線段、上，端點除外），連接，則線段與的大小關(guān)系式為（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結(jié)論中：①；②若點，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實數(shù)，則；④若且，則；⑤方程的兩實數(shù)根為，，且，則，．其中正確的結(jié)論個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）
11. 方程是關(guān)于的一元二次方程，則___________．
12. 拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是______．
13. 為了估計暗箱里黑球的數(shù)量（箱內(nèi)只有黑球），將6個白球放進去，這些球與黑球除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回；攪勻后再從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回……多次重復后發(fā)現(xiàn)摸出黑球的頻率穩(wěn)定在附近，那么可以估計暗箱里黑球的個數(shù)為______個．
14. 如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，連接，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點的坐標為__________．
15. 如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于兩點，拱橋最高點到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點，且，若點到直線的距離為米，則的長為______米．
16. 如圖，正方形的頂點在原點，邊，分別在軸和軸上，點坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為圓心，為半徑作圓，設(shè)點橫坐標為，當⊙與正方形的邊相切時，的值為______．
三、解答題
17. 按要求解下列方程：
（1）（任選一種方法）
（2）（配方法）
18. 如圖，和關(guān)于某一點中心對稱，其中點，，，．
（1）對稱中心的坐標為______；
（2）將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．
①在直角坐標系中畫出；
②求點A經(jīng)過的路徑的長．
19. 已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．
（1）請你說明，無論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若，解這個方程．
20. 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．
（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．
21. 如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點．
（1）寫出、、的坐標；
（2）當時，求函數(shù)值的取值范圍；
（3）若點是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，連接、、，求面積的最大值．
22. 為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調(diào)查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學生有______名，補全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是______；
（3）學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學同時被選中的概率是多少？
23. 如圖，平分，與相切于點A，延長交于點C，過點O作，垂足為B．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為2，，求的長．
（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
24. 在2024國際射聯(lián)射擊世界杯總決賽上，中國射擊運動員謝瑜以環(huán)的優(yōu)異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉(xiāng)貴州省某地盛產(chǎn)核桃，某農(nóng)戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規(guī)模，到2024年，核桃種植面積達到了公頃．
（1）求該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率；
（2）某銷售核桃的干果店經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當核桃售價為20元/時，每天能售出，售價每降低1元、每天可多售出，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應(yīng)降低多少元？
25. 【模型感知】
手拉手模型是初中數(shù)學里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．
（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，當點在的延長線上時，請直接寫出線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；
【類比探究】
（3）如圖3，已知和都是等邊三角形．
①當點在線段上時，過點作于點．求證：
②當點在線段的延長線上時，請直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______．
26. 如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）在y軸上是否存在一點M，使得的周長最?。舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．
2024年秋九年級期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題
考試時間：120分鐘 分值：150分
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響，下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A. 劉徽的割圓術(shù)B. 中國七巧板
C. 楊輝三角D. 趙爽弦圖
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據(jù)此進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、該圖形不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；
B、該圖形不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；
C、該圖形不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；
D、該圖形是中心對稱圖形，故該選項是正確的；
故選：D
2. 將一元二次方程化成一般形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的一般式，移項，將方程化為的形式即可．
【詳解】解：，
∴；
故選D．
3. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球繞著太陽轉(zhuǎn)B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 天空出現(xiàn)三個太陽D. 經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，可得答案．
【詳解】解∶ A、地球繞著太陽轉(zhuǎn)是必然事件，故A正確；
B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故B錯誤；
C、天空出現(xiàn)三個太陽是不可能事件，故C錯誤；
D、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故D錯誤；
故選∶ A．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
4. 如圖，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到，點A的對應(yīng)點恰好落在AB邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，進而得到，根據(jù)三角形內(nèi)和定理求出即可．
【詳解】解：∵將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到，
∴，，
∴，
∵．
故選：C．
5. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（ ）
A. －2B. 2C. －4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．
【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根
∴
∴，
故選：A.
【點睛】本題考查一元二次方程根判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于E點，且BC＝6，∠BAC＝30°，則CD的值是 （ ）
A. 4B. C. D. 9.6
【答案】B
【解析】
【分析】AB是圓O的直徑，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案．
【詳解】解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD，
∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，，
又∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=12，，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，直角所對的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理．
7. 若點，，在二次函數(shù)的圖象上，下列數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)對稱軸及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系．
先將二次函數(shù)化為頂點式，求出對稱軸，再分別計算各點到對稱軸的距離，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大?。?br>【詳解】將二次函數(shù)化為頂點式：
所以該二次函數(shù)的對稱軸為直線，
點到對稱軸的距離為，
點到對稱軸的距離為，
點到對稱軸的距離為，
因為二次項系數(shù)，當時，，二次函數(shù)圖象開口向下，在對稱軸左側(cè)隨的增大而增大，在對稱軸右側(cè)隨的增大而減小，且點到對稱軸的距離越遠，函數(shù)值越小，
比較距離大小，所以，
故答案為：C．
8. 我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)寬為x步，則長為步，根據(jù)題意列方程即可．
【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長為步，
由題意得：，
故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．
9. 如圖，在等腰中，，于點，將一直角三角尺的直角頂點放在點處，當三角尺繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，兩條直角邊分別與交于點（點、分別在線段、上，端點除外），連接，則線段與的大小關(guān)系式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，進而由余角性質(zhì)得，最后證明即可求解，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵等腰中，，于點，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：．
10. 已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結(jié)論中：①；②若點，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實數(shù)，則；④若且，則；⑤方程的兩實數(shù)根為，，且，則，．其中正確的結(jié)論個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】由該拋物線經(jīng)過點即可判斷結(jié)論①；由各點到拋物線對稱軸的距離大小即可判斷結(jié)論②；由當時函數(shù)值取最大值，即可判斷結(jié)論③；由對稱軸為直線，即可判斷結(jié)論④；由拋物線的對稱軸可得該拋物線與軸的交點坐標，即可判斷結(jié)論⑤．
【詳解】解：如下圖，
∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為
∴當時，可有，故結(jié)論①正確；
∵，
∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，
∴函數(shù)圖象上的點距離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，
∵對稱軸為，
∵，，，
又∵，
∴，故結(jié)論②錯誤；
∵該函數(shù)圖像的對稱軸，
∴，
∵，即，
∴，
∵該二次函數(shù)的圖象開口向下，
∴當時，該函數(shù)取最大值，
∴為任意實數(shù)，可有，
即，故結(jié)論③正確；
∵若且，
即有，
∵函數(shù)圖象的對稱軸為，
∴，即，故結(jié)論④錯誤；
∵方程的兩實數(shù)根為，，
∴拋物線與直線的交點的橫坐標為，，
由拋物線的對稱性可知該拋物線與軸的另一交點為，
即該拋物線與軸的交點為，，
∵該拋物線開口向下，，
∴，，故結(jié)論⑤正確．
綜上所述，結(jié)論正確的有①③⑤，共計3個．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍等知識，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）
11. 方程是關(guān)于的一元二次方程，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知，，且，據(jù)此可以求得的值．
【詳解】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
12. 拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了拋物線的平移規(guī)律，熟練掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平移規(guī)律計算即可．
【詳解】拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是．
故答案為：．
13. 為了估計暗箱里黑球的數(shù)量（箱內(nèi)只有黑球），將6個白球放進去，這些球與黑球除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回；攪勻后再從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回……多次重復后發(fā)現(xiàn)摸出黑球的頻率穩(wěn)定在附近，那么可以估計暗箱里黑球的個數(shù)為______個．
【答案】9
【解析】
【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、頻率等知識，結(jié)合頻率的概念建立關(guān)于的分式方程是解題關(guān)鍵．設(shè)暗箱里黑球的個數(shù)為個，根據(jù)“頻率穩(wěn)定在附近”可得，求解并檢驗，即可獲得答案．
【詳解】解：設(shè)暗箱里黑球的個數(shù)為個，
根據(jù)題意，可得，
解得，
經(jīng)檢驗，是該分式方程的解，
所以暗箱里黑球的個數(shù)為9個．
故答案為：9．
14. 如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，連接，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點的坐標為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得和的長度，進而可求得點的坐標．
【詳解】解：作軸于點，
由旋轉(zhuǎn)可得，軸，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴點坐標為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)找到題目中線段之間的關(guān)系．
15. 如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于兩點，拱橋最高點到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點，且，若點到直線的距離為米，則的長為______米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)該拋物線的表達式為，代入點的坐標求出解析式，再把點的縱坐標代入解析式，進而求得點的橫坐標，即可求解，解題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角坐標系．
【詳解】解：如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，
由題意可得，點的坐標為，點的縱坐標為，
設(shè)拋物線形的解析式為，
把代入得，，
解得，
∴，
把代入得，，
解得，
∴米，
故答案為：．
16. 如圖，正方形的頂點在原點，邊，分別在軸和軸上，點坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為圓心，為半徑作圓，設(shè)點橫坐標為，當⊙與正方形的邊相切時，的值為______．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，則，再分分與相切和與相切兩種情況考慮：利用切線的性質(zhì)得到和圓的性質(zhì)分別表示出的長，再在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】解：四邊形是正方形，點坐標為，
，
∵點是的中點，
∴．
分與相切和與相切兩種情況考慮：
①當與相切時，如圖1所示．
點橫坐標為，
．
在中，，，，
，即，
解得：；
②當與相切時，設(shè)切點為，連接，如圖2所示．
，，，
四邊形為矩形，
，
．
在中，，，，
，即，
解得：，（不合題意，舍去）．
綜上所述：的值為或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，坐標與圖形等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17. 按要求解下列方程：
（1）（任選一種方法）
（2）（配方法）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根據(jù)一除，二移，三配，四變形，五開方的步驟，進行求解即可.
【小問1詳解】
解：將原方程化為一般形式，得
即：
∴
∴
∴；
【小問2詳解】
解：，
，
∴.
18. 如圖，和關(guān)于某一點中心對稱，其中點，，，．
（1）對稱中心的坐標為______；
（2）將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．
①在直角坐標系中畫出；
②求點A經(jīng)過的路徑的長．
【答案】（1）
（2）①見解析；②
【解析】
【分析】本題考查了圖形的變換：中心對稱與旋轉(zhuǎn)變換，畫旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長；
（1）根據(jù)A、D兩點的坐標即可確定對稱中心；
（2）①確定A、B、C三個頂點旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點，依次連接即可；
②求出的長，由弧長公式即可求解．
【小問1詳解】
解： 由中點坐標公式得：，
即對稱中心的坐標為；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：①如圖，即為所求．
②連接OA，根據(jù)勾股定理可得，
∴點A經(jīng)過的路徑的長為．
19. 已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．
（1）請你說明，無論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若，解這個方程．
【答案】（1）見解析 （2），
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程、根的判別式，熟記根的判別式是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)根的判別式求出，再根據(jù)根的判別式求解即可；
（2）把代入方程，解一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：由于是一元二次方程，
，
無論取何實數(shù)，總有，
方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【小問2詳解】
解：當，代入方程，得：，
，
，
，．
故答案為：，．
20. 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．
（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．
【答案】（1）作圖見解析；（2）直線BC與⊙O的位置關(guān)系為：相切；理由見解析；（3）⊙O的半徑為3．
【解析】
【分析】（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心；
（2）根據(jù)切線的判定即可判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)AB=8，BD=4，即可求⊙O半徑．
【詳解】（1）如圖，⊙O即為所求；
（2）直線BC與⊙O的位置關(guān)系為：相切，理由如下：
連接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，OD是半徑，
∴直線BC與⊙O相切；
（3）設(shè)⊙O的半徑為x，
在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
答：⊙O的半徑為3．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖、角平分線性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是準確畫圖．
21. 如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點．
（1）寫出、、的坐標；
（2）當時，求函數(shù)值的取值范圍；
（3）若點是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，連接、、，求的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值為
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵：
（1）分別令，進行求解即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性進行求解即可；
（3）連接，分割法表示出的面積，利用二次函數(shù)求最值即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴當時，，當時，解得：，
∴；
【小問2詳解】
∵，
∴對稱軸為直線，
∴當時，函數(shù)有最小值為，
∵，
∴當時，，
當時，，
∴當時，；
【小問3詳解】
連接，
∵，
∴，
設(shè)點，
∴
，
，
∵點P是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，
∴，
∴當時，S有最大值，最大值為．
22. 為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調(diào)查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學生有______名，補全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；
（3）學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學同時被選中的概率是多少？
【答案】（1）100，見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）用選擇籃球的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)：求出選擇“足球”的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）用選擇羽毛球的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)再乘以360度即可；
（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學同時被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得本次被調(diào)查的學生人數(shù)（人），
喜愛足球的人數(shù)為：（人），
條形圖如圖所示，
；
【小問2詳解】
解：“羽毛球”人數(shù)所占比例為：，
所以，扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)，
【小問3詳解】
解：設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學分別用字母A，B，C，D表示，根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

∵一共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，它們都是等可能的，符合條件的有兩種，
∴P（甲、乙兩人被選中）．
23. 如圖，平分，與相切于點A，延長交于點C，過點O作，垂足為B．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為2，，求的長．
（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
【答案】（1）詳見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由與相切于點A，可得出，由角平分線線的性質(zhì)定理即可得出，即可得出是的切線．
（2）利用勾股定理得出，線段的和差得出，設(shè)，則，利用勾股定理解，即可求出x．
（3）根據(jù)求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵與相切于點A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是切線；
【小問2詳解】
解：∵的半徑為2，
∴，
∵，，
∴，，
∵，都是的切線，
∴設(shè)，則，
∴在中
，即，
解得，
∴．
【小問3詳解】
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴
【點睛】本題主要考查了證明某直線是圓的切線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理以及求不規(guī)則圖形的面積等知識．
24. 在2024國際射聯(lián)射擊世界杯總決賽上，中國射擊運動員謝瑜以環(huán)的優(yōu)異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉(xiāng)貴州省某地盛產(chǎn)核桃，某農(nóng)戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規(guī)模，到2024年，核桃種植面積達到了公頃．
（1）求該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率；
（2）某銷售核桃的干果店經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當核桃售價為20元/時，每天能售出，售價每降低1元、每天可多售出，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應(yīng)降低多少元？
【答案】（1）
（2）3元
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用：
（1）設(shè)該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率為x．根據(jù)兩年時間種植面積由80公頃變?yōu)楣暳谐龇匠糖蠼饧纯桑?br>（2）設(shè)售價應(yīng)降低y元，則每千克的利潤為元，銷售量為，再由總利潤為1750列出方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率為x．
由題意，得，
解得（舍去）．
答：該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率為．
【小問2詳解】
解：設(shè)售價應(yīng)降低y元．
由題意，得，
整理得
解得．
∵要盡快減少庫存，
∴．
答：售價應(yīng)降低3元．
25. 【模型感知】
手拉手模型是初中數(shù)學里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．
（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，當點在的延長線上時，請直接寫出線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；
【類比探究】
（3）如圖3，已知和都是等邊三角形．
①當點在線段上時，過點作于點．求證：
②當點在線段的延長線上時，請直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）①見解析；②．
【解析】
【分析】（1）由和都是等邊三角形得，，，進而推出，證明即可得證；
（2）由和都是等邊三角形得，，，從而推出，進而證明得，即可得證；
（3）如圖，當點在線段上或當點在線段的延長線上時，證明，可得，結(jié)合證明從而得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：和都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：①和是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
②如圖，當點在線段的延長線上時，
和是等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
，，
，
，
．
，
，
．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．
26. 如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）在y軸上是否存在一點M，使得的周長最?。舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．
【答案】（1）拋物線的表達式為，頂點D的坐標為；
（2）點M的坐標為；
（3）的取值范圍為．
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）作點B關(guān)于原點的對稱點，連接交軸于點M，此時的周長最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；
（3）以為邊在下方作等邊三角形，得到點在以為圓心，1為半徑的上，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：由于拋物線經(jīng)過點和點，
∴，
∴，
∴拋物線的表達式為，
∴頂點D的坐標為；
【小問2詳解】
解：∵點，對稱軸為直線，
∴點，
∵，，
∴長為定值，
作點B關(guān)于原點的對稱點，則，連接交軸于點M，
則，
∴，此時的周長最小，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴點M的坐標為；
【小問3詳解】
解：以為邊在的下方作等邊三角形，作軸于點，連接，，
∵等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴點在以為圓心，1為半徑的上，
，
當點在線段上時，有最小值為；
當點在射線上時，有最大值為；
∴的取值范圍為．
【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．

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