四川省瀘州市古藺縣2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答卷前考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．試卷滿分120分，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回．
第I卷（選擇題）
一、單選題（每題3分，共36分）
1. 下列各圖是一些交通標(biāo)志的圖案，其中是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
2. 拋物線的頂點坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
3. 下列說法正確的是（）
A. “買中獎率為獎券10張，中獎”是必然事件
B. 福山氣象局預(yù)報說“明天的降水概率為”，意味著福山明天一定下雨
C. “汽車?yán)塾嬓旭?，從未出現(xiàn)故障”不可能事件
D. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為0.5
4. 已知⊙O與直線l無公共點，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）
A. 6B. 5C. 4D. 3
5. 小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計如圖所示，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中錯誤的是（）
A. 眾數(shù)是6噸B. 平均數(shù)是5噸C. 中位數(shù)5.5噸D. 方差是1.2
6. 已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）
A. 且B. 且C. D.
7. 如圖，在Rt中，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至使得點恰好落在上，則旋轉(zhuǎn)角度為（）
A. B. C. D.
8. 我國對教育經(jīng)費的投入一直在增長，在某地的政府工作報告中，2022年的教育投入是2500萬元，2024年將投入3600萬元，設(shè)該地投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）
A. B.
C. D.
9. 、、三點都在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為（）．
A. B. C. D.
10. 如圖，的半徑弦于點，連接并延長交于點，連接．若，，則的長為（）
A. 5B. 4C. 3D. 2.5
11. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為，連接交于點E，則圖中陰影部分的面積是（）
A. B. C. D.
12. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）
A. B. C. D.
第II卷（非選擇題）
二、填空題（每題3分，共12分）
13. 已知點與點關(guān)于原點對稱，則的值是_____．
14. 設(shè)a、b是方程兩個實數(shù)根，則的值為______
15. 如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點恰好落在邊上，且，則度數(shù)為___________．
16. 如圖，是等邊三角形，矩形的頂點在邊上，且，，連接、、，若將矩形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)最小時，則__________．
三、解答題（共72分）
17. 計算：．
18. 化簡：．
19. 已知：如圖，AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF．求證：AB∥DC．
20. “雙減”政策實施后，某校為豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了A書法，B繪畫，C舞蹈，D跆拳道四類興趣班．為了解學(xué)生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學(xué)生進行了問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息回答下列問題．

（1）本次抽取調(diào)查學(xué)生共有___________人，估計該校3000名學(xué)生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為___________人．
（2）請將以上兩個統(tǒng)計圖補充完整．
（3）甲、乙兩名學(xué)生要選擇參加興趣班，若他們每人從A，B，C，D四類興趣班中隨機選取一類，請用畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率．
21. 某汽車清洗店，清洗一輛汽車定價20元時每天能清洗45輛，定價25元時每天能清洗30輛，假設(shè)清洗汽車輛數(shù)（輛）與定價（元）（取整數(shù)）一次函數(shù)關(guān)系（清洗每輛汽車成本忽略不計）．
（1）求與之間的函數(shù)表達式；
（2）若清洗一輛汽車定價不低于15元且不超過50元，且該汽車清洗店每天需支付電費、水費和員工工資共計200元，問：定價為多少時，該汽車清洗店每天獲利最大？
22. 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根和．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求的值．
23. 如圖，某人以公里/小時的速度在南北方向的公路上行走，在處時，他觀測到在點的東北方向有一古塔．他沿正北行走分鐘后到達處，觀測到古塔在點的北偏東方向，求點與古塔的距離（結(jié)果精確到公里，參考數(shù)據(jù)：，，，）．
24. 如圖，，，均為的直徑，點是弧的中點，點在上，且四邊形是平行四邊形，．
（1）求證：；
（2）若點在的延長線上，且，證明：是的切線；
（3）求的半徑．
25. 如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點，與交于點，頂點坐標(biāo)為，對稱軸與軸交于點，與直線交于點．

（1）求拋物線的解析式．
（2）若線段上存在一點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，求的最大值．

（3）設(shè)是拋物線上一點，點是軸上一點，是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

瀘州市古藺縣2024-2025學(xué)年九年級上期期末教學(xué)質(zhì)量測試
數(shù) 學(xué)
注意事項：
1．答卷前考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．試卷滿分120分，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回．
第I卷（選擇題）
一、單選題（每題3分，共36分）
1. 下列各圖是一些交通標(biāo)志的圖案，其中是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和交通標(biāo)志的圖案特點即可解答．
【詳解】解：A、含漢字不是中心對稱圖形，故選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、含字母不是中心對稱圖形，故選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，故本選項正確．
故選：D．
【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
2. 拋物線的頂點坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)頂點式，頂點坐標(biāo)是，可直接得到答案．
此題主要考查了求拋物線頂點坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：頂點式，頂點坐標(biāo)是．
【詳解】解：頂點式，頂點坐標(biāo)是，
拋物線的頂點坐標(biāo)是．
故選：A．
3. 下列說法正確的是（）
A. “買中獎率為的獎券10張，中獎”是必然事件
B. 福山氣象局預(yù)報說“明天的降水概率為”，意味著福山明天一定下雨
C. “汽車?yán)塾嬓旭?，從未出現(xiàn)故障”是不可能事件
D. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為0.5
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了隨機事件，概率的意義和概率公式，正確理解概率的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機事件的概念、概率的意義和概率公式分別對每一項進行分析，即可得出答案．
【詳解】解：A、“買中獎率為的獎券10張，中獎”是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意；
B、福山氣象局預(yù)報說“明天的降水概率為”，是隨機事件，不一定下雨，原說法錯誤，不符合題意．
C、“汽車?yán)塾嬓旭偅瑥奈闯霈F(xiàn)故障”是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意；
D、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為0.5，原說法正確，符合題意．
故選：D．
4. 已知⊙O與直線l無公共點，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知條件可得直線l與圓相離，根據(jù)直線與圓相離的性質(zhì)可以作出判斷．
【詳解】解：∵⊙O與直線l無公共點，
∴⊙O與直線l相離．
∴圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，
∵⊙O直徑為10cm，
∴⊙O半徑為5cm，
∴圓心O到直線l的距離大于5cm．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用直線與圓相離，圓心O到直線l的距離大于圓的半徑解答是解題的關(guān)鍵．
5. 小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計如圖所示，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中錯誤的是（）
A. 眾數(shù)是6噸B. 平均數(shù)是5噸C. 中位數(shù)5.5噸D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)以及方差，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義和計算公式．
根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義進行計算，即可得出答案．
【詳解】解：A、噸出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
眾數(shù)是6噸，故選項正確，不符合題意；
B、平均數(shù)是噸，選項正確，不符合題意；
C、把這些數(shù)從小到大排列為3，4，5，6，6，6，
則中位數(shù)是噸，故選項正確，不符合題意；
D、這組數(shù)據(jù)的方差為，選項錯誤，符合題意；
故選：D．
6. 已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查方程有實數(shù)根求參數(shù)范圍，涉及一元二次方程定義、一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系等知識，根據(jù)一元二次方程定義，得，再由一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系列不等式求解即可得到答案，熟記一元二次方程定義、一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
，解得，
當(dāng)時，則，解得；
綜上所述，的取值范圍是且，
故選：A．
7. 如圖，在Rt中，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至使得點恰好落在上，則旋轉(zhuǎn)角度為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；如圖，證明；求出，得到，即可解決問題．
【詳解】解：由題意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
故選：B．
8. 我國對教育經(jīng)費的投入一直在增長，在某地的政府工作報告中，2022年的教育投入是2500萬元，2024年將投入3600萬元，設(shè)該地投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程是實際應(yīng)用——增長率問題，解題的關(guān)鍵是掌握：增長率問題中可以設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，增長的次數(shù)為n，則增長后的結(jié)果為；而增長率為負(fù)數(shù)時，則降低后的結(jié)果為．
【詳解】解：設(shè)該地投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，
根據(jù)題意列方程，
故選：B．
9. 、、三點都在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對稱軸的求法，根據(jù)對稱軸和開口方向分析函數(shù)的增減性，當(dāng)開口向下時，離對稱軸越遠，函數(shù)值越??；反之，越大．分別求出三個點到對稱軸的距離，以及開口方向，即可解答．
【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，
∴該函數(shù)的對稱軸為y軸，
∴點到對稱軸的距離為4，
點到對稱軸的距離為1，
點到對稱軸的距離為2，
∵，
∴該函數(shù)開口向下，
∵，
∴，
故選：C．
10. 如圖，的半徑弦于點，連接并延長交于點，連接．若，，則的長為（）
A. 5B. 4C. 3D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)圓O的半徑為r，則OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，先利用垂徑定理得到AC=2，即可利用勾股定理求出半徑，從而求出AE的長，再利用勾股定理即可求出BE．
【詳解】解：設(shè)圓O的半徑為r，則OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，
由垂徑定理得，
在Rt△OAC中，，
∴，
∴，
∴AE=5，
∵AE是圓O的直徑，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等等，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為，連接交于點E，則圖中陰影部分的面積是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)四邊形是的內(nèi)接四邊形，可得，根據(jù)∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，最后根據(jù)OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°，根據(jù)得到∠AOB=30°，從而得到∠COB為直角，然后利用即可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵∠ABC=2∠D
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴
．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了求與圓相關(guān)的不規(guī)則圖形的面積、扇形的面積、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，利用作差法得出是解題的關(guān)鍵．
12. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為，由當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
∴關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為，
∵當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
第II卷（非選擇題）
二、填空題（每題3分，共12分）
13. 已知點與點關(guān)于原點對稱，則的值是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，利用了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．根據(jù)關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)，可得a、b的值，再代入所求式子計算即可．
【詳解】解：與點關(guān)于原點對稱，
故答案為：1．
14. 設(shè)a、b是方程的兩個實數(shù)根，則的值為______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再代入求值即可．
【詳解】解：a、b是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、代數(shù)值求值，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得出，是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點恰好落在邊上，且，則的度數(shù)為___________．
【答案】##24度
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理求得即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 如圖，是等邊三角形，矩形的頂點在邊上，且，，連接、、，若將矩形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)最小時，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】過點作于點，連接，根據(jù)等邊三角形，得出，根據(jù)已知進而求得，勾股定理求得，則，根據(jù)兩點之間線段最短，可得，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取得最小值為，進而中，勾股定理求得，在中求得，進而可得，在中勾股定理求得，即可求解．
【詳解】解：過點作于點，連接，
是等邊三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取得最小值為，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得
，
在中，根據(jù)勾股定理，得
，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得
．
當(dāng)最小時，則．
故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及最小值問題；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共72分）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)混合運算，根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)、絕對值、有理數(shù)的乘方先化簡各數(shù)，再計算加減即可，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．
18. 化簡：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是分式的混合運算；
先算括號里面的減法，同時把除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后約分即可．
【詳解】解：原式
．
19. 已知：如圖，AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF．求證：AB∥DC．
【答案】證明過程見解析
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)AE=CF得出AF=CE，結(jié)合已知條件得出△ABF和△CDE全等，從而得出∠A=∠C，得出平行線.
試題解析：∵AE=CF ∴AF=CE 又∵AB=CD ∠AFB=∠CED=90° ∴△ABF≌△CDE
∴∠A=∠C ∴AB∥DC.
考點：三角形全等的判定
20. “雙減”政策實施后，某校為豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了A書法，B繪畫，C舞蹈，D跆拳道四類興趣班．為了解學(xué)生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學(xué)生進行了問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息回答下列問題．

（1）本次抽取調(diào)查學(xué)生共有___________人，估計該校3000名學(xué)生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為___________人．
（2）請將以上兩個統(tǒng)計圖補充完整．
（3）甲、乙兩名學(xué)生要選擇參加興趣班，若他們每人從A，B，C，D四類興趣班中隨機選取一類，請用畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率．
【答案】（1）60，300
（2）見解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)喜歡繪畫的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息即可得本次抽取調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用3000乘以喜歡跆拳道的學(xué)生所占百分比即可得；
（2）先求出喜歡書法的學(xué)生人數(shù)，據(jù)此補全條形統(tǒng)計圖，再求出喜歡舞蹈和跆拳道的學(xué)生所占百分比，據(jù)此補全扇形統(tǒng)計圖即可得；
（3）先畫出樹狀圖，從而可得甲、乙兩名學(xué)生選擇參加興趣班的所有等可能的結(jié)果，再找出兩人恰好選擇同一類的結(jié)果，然后利用概率公式計算即可得．
【小問1詳解】
解：本次抽取調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為（人），
估計該校3000名學(xué)生喜愛“跆拳道”興趣班的人數(shù)約為（人），
故答案為：60，300．
【小問2詳解】
解：喜歡書法的學(xué)生人數(shù)人（人），
喜歡舞蹈的學(xué)生所占百分比為，
喜歡跆拳道的學(xué)生所占百分比為．
則補全兩個統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
解：由題意，畫樹狀圖如下：

由圖可知，甲、乙兩名學(xué)生選擇參加興趣班的所有等可能的結(jié)果共有16種，其中，兩人恰好選擇同一類的結(jié)果有4種，
則兩人恰好選擇同一類的概率為，
答：兩人恰好選擇同一類概率為．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)、畫條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖、利用列舉法求概率，熟練掌握統(tǒng)計調(diào)查的相關(guān)知識和列舉法是解題關(guān)鍵．
21. 某汽車清洗店，清洗一輛汽車定價20元時每天能清洗45輛，定價25元時每天能清洗30輛，假設(shè)清洗汽車輛數(shù)（輛）與定價（元）（取整數(shù)）是一次函數(shù)關(guān)系（清洗每輛汽車成本忽略不計）．
（1）求與之間的函數(shù)表達式；
（2）若清洗一輛汽車定價不低于15元且不超過50元，且該汽車清洗店每天需支付電費、水費和員工工資共計200元，問：定價為多少時，該汽車清洗店每天獲利最大？
【答案】（1）
（2）17元或18元
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟知待定系數(shù)法的一般步驟是解決（1）的關(guān)鍵，根據(jù)題意列出利潤與定價的函數(shù)關(guān)系式是解決（2）的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)表達式；
（2）列出利潤W關(guān)于定價x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量x的范圍即可求出最大利潤．
【小問1詳解】
解：依題意，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為
則：，
解得：
即與的函數(shù)關(guān)系式為：；
【小問2詳解】
解：設(shè)利潤為元，
則由題意知：
∵
∴拋物線開口向下
∵，且是整數(shù)
∴或18
即當(dāng)定價為17元或18元，汽車清洗店每天獲利最大．
22. 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根和．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進行求解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，進而得到，解方程即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根和，
∴，
解得；
【小問2詳解】
解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根和，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，某人以公里/小時的速度在南北方向的公路上行走，在處時，他觀測到在點的東北方向有一古塔．他沿正北行走分鐘后到達處，觀測到古塔在點的北偏東方向，求點與古塔的距離（結(jié)果精確到公里，參考數(shù)據(jù)：，，，）．
【答案】此時他與古塔的距離約為公里
【解析】
【分析】根據(jù)方位角先計算出的度數(shù)，如圖所示（見詳解），過作于，可證是等腰直角三角形，可算出的長，在中，根據(jù)特殊角的直角三角形三邊的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：由題意得，，，（公里），
，
如圖所示，過作于，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
（公里），
在中，，
∴（公里），
∴此時他與古塔的距離約為公里．
【點睛】本題主要考查方位角與特殊角的直角三角形的綜合，理解方位角中角度的關(guān)系，特殊角的直角三角形中各邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，，，均為的直徑，點是弧的中點，點在上，且四邊形是平行四邊形，．
（1）求證：；
（2）若點在的延長線上，且，證明：是的切線；
（3）求的半徑．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）證明，又由，，即可證明；
（2）連接交于點．由得到，由圓周角定理得到，已知，得到，則．由點是弧的中點得到半徑，則半徑，即可證明是的切線；
（3）設(shè)的半徑為．證明，．．求出，則．由得到．根據(jù)勾股定理得到，則，解方程即可求出的半徑．
【小問1詳解】
證明：∵點是弧的中點，
∴
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
【小問2詳解】
證明：連接交于點．
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴．
∵點是弧的中點，
∴半徑，
∴半徑，
∴是的切線．
【小問3詳解】
解：設(shè)的半徑為．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∵，
∴．
∵點是的中點，
∴點是的中點．
∵點是的中點，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半徑為．
【點睛】此題考查了圓周角定理、切線的判定、垂徑定理、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點，與交于點，頂點坐標(biāo)為，對稱軸與軸交于點，與直線交于點．

（1）求拋物線的解析式．
（2）若線段上存在一點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，求的最大值．

（3）設(shè)是拋物線上一點，點是軸上一點，是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存，或或或．
【解析】
【分析】（1）把，代入拋物線，利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可得到答案；
（2）由拋物線的解析式先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解的解析式為：，設(shè)G點坐標(biāo)為，可得H點坐標(biāo)為，從而可得與的關(guān)系式為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值即可；
（3）分兩種情況討論：如圖1，過點N作軸，交軸于點T，當(dāng)NS為平行四邊形的一條邊時，證明：，可得：，得到的縱坐標(biāo)為設(shè)點N的坐標(biāo)為，再解方程可得答案，如圖2．當(dāng)NS是平行四邊形的對角線時，則軸，可得：的縱坐標(biāo)為，設(shè)點N的坐標(biāo)為，再解方程可得答案，從而可得答案．
【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點，
∴
解得，
∴
∴拋物線解析式為．
（2）令，，
∴，
設(shè)直線AC所在的直線為，
，解得，
∴，
設(shè)G點坐標(biāo)為，
∵軸，H為拋物線上一點，
∴H點坐標(biāo)為，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時，GH取得最大值為．
（3）存在．如圖1，過點N作軸，交軸于點T，當(dāng)NS為平行四邊形的一條邊時，
且，則，

軸，軸，
∴，
在和中，
∴，
又∵，
∴，
設(shè)點N的坐標(biāo)為，
當(dāng)點N在x軸上方時，
解得，
此時點N的坐標(biāo)為或，
當(dāng)點N在軸下方時，
則，
解得，
此時點N的坐標(biāo)為或
如圖2．當(dāng)NS是平行四邊形的對角線時，則軸，

∴點N的縱坐標(biāo)為2，
∴
解得，
∴點N的坐標(biāo)為或．
綜上，滿足條件的點N有4個，坐標(biāo)分別為或或或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決線段長度的最值問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多