2024湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

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時(shí)長(zhǎng)：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. “”是“與直線平行”的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行得到方程，經(jīng)檢驗(yàn)后得到，從而得到答案.
【詳解】由題意得，解得，
當(dāng)時(shí)，兩直線為與，此時(shí)兩直線重合，舍去；
當(dāng)時(shí)，兩直線為和，此時(shí)兩直線不重合，滿足要求，
故“”是“與直線平行”的充要條件.
故選：C
2. 如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件的可靠性是，則從A到B這部分電路暢通的概率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由并聯(lián)和串聯(lián)電路的性質(zhì)先求出從A到B電路不能正常工作的概率，再由對(duì)立事件的概率求解.
【詳解】上半部分電路暢通的概率為：，
下半部分電路暢通的概率為，上下兩部分并聯(lián)，
暢通的概率為：.
故選:A．
3. 已知雙曲線，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，過F點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則這樣的直線l的條數(shù)為（ ）
A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條
【答案】C
【解析】
【分析】當(dāng)弦AB在雙曲線右支上時(shí)，可得出的最小距離是通徑，計(jì)算出通徑的值與比較可判斷滿足條件的直線數(shù).當(dāng)弦AB在雙曲線的兩支上時(shí)，長(zhǎng)軸最短為4，與比較可判斷滿足條件的直線數(shù).
【詳解】由雙曲線，可得：，
當(dāng)弦AB在雙曲線右支上時(shí)，通徑最短，長(zhǎng)度為，
因?yàn)?，此時(shí)符合條件的直線有兩條；
當(dāng)弦AB在雙曲線的兩支上時(shí)，長(zhǎng)軸最短為，，
故在同一支上時(shí)有兩條直線，在兩支上時(shí)有一條直線，
故選：C．
4. 設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，且，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間直線，平面的位置關(guān)系及其性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，若，且，根據(jù)線面垂直可知，.故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，若，則可能會(huì)平行、相交或異面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B
5. 點(diǎn)是橢圓上任一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用橢圓的定義與三角形兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，
因?yàn)闄E圓，則，，
所以，
故選：D．
6. 若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，分析可知，直線與圓有公共點(diǎn)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.
【詳解】令，可得，
則直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，，解得，
即的取值范圍是.
故選：B.
7. 已知圓，是圓上的一條動(dòng)弦，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，由弦的值求出，即可得到點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，從而求出的最小值，即可得解.
【詳解】圓，即，圓心，半徑,
設(shè)弦的中點(diǎn)為，則,，且，
所以，
所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，所以，
所以的最小值為.

故選：A．
8. 已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的漸近線為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義可得，，在，中分別利用勾股定理可求得答案.
【詳解】如圖．設(shè)，，則，
，在中由勾股定理：
，解得：，
在中，由勾股定理：
解得：，所以，
所以漸近線方程為：.
故選：A．
二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的2分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 下列說法中正確的有（ ）
A. 在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為
B. 直線的一個(gè)方向向量為
C. 若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則
D. 過點(diǎn)的直線l分別交x，y的正半軸于A，B，則面積的最小值為8
【答案】BC
【解析】
【分析】由截距式方程可判斷A；由直線的方向向量可判斷B；由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可判斷C；直線l方程可設(shè)為：，過，所以，表示出面積，由基本不等式可判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)中的直線不能表示截距為0的直線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
B選項(xiàng)中的直線的一個(gè)方向向量為，與平行．故B選項(xiàng)確．
C選項(xiàng)中AB被已知直線垂直平分，滿足，即，故C選項(xiàng)正確．
D選項(xiàng)中直線l方程可設(shè)：，過，所以：，
故：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：BC.
10. 甲、乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（ ）
A. 事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“甲投得2點(diǎn)”是互斥事件
B. 事件“甲、乙都投得1點(diǎn)”與事件“甲、乙不全投得2點(diǎn)”是對(duì)立事件
C. 事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“乙投得2點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件
D. 事件“至少有1人投得1點(diǎn)”與事件“甲投得1點(diǎn)且乙沒投得2點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的概念，即可判斷出選項(xiàng)A、B和C的正誤，對(duì)于選項(xiàng)D，利用相互獨(dú)立的概率公式即可判斷出結(jié)果的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榧讛S一枚骰子，事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“甲投得2點(diǎn)”不可能同時(shí)發(fā)生，由互斥事件的概念知，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，甲、乙各投擲一枚骰子，事件“甲、乙都投得1點(diǎn)”與事件“甲、乙不全投得2點(diǎn)”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槭录凹淄兜?點(diǎn)”與事件“乙投得2點(diǎn)”相互間沒有影響，所以選項(xiàng)C正確．
對(duì)于選項(xiàng)D，至少一人投6點(diǎn)的事件為M，則，
甲投1點(diǎn)且乙沒投得2點(diǎn)事件為N，則為，，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC.
11. 如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，、、分別為、、的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線與直線所成角的余弦值為B. 點(diǎn)到距離為
C. 直線與平面平行D. 三棱錐的體積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式計(jì)算A；利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算B；利用線面平行的判定定理判定C；借助C中的線面平行，利用等體積法判定D.
【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立以為原點(diǎn)，
以，，所在的直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
因?yàn)?、、分別為、、的中點(diǎn)，
則、、、，
對(duì)于A，，，，
設(shè)直線與直線所成角為，
所以，故A正確；
對(duì)于B，，，
所以，，
所以，
所以點(diǎn)到AF距離為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，連接、，，
在正方體中，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，
又易得，所以，故、、、四點(diǎn)共面，
又因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形?br>所以，又平面，平面，
所以平面，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)槠矫妫?br>∴，故D正確.
故選：ACD
12. 已知，是橢圓C：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 的面積是B. 的內(nèi)切圓的半徑為
C. 點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2D. 若點(diǎn)P是C上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為6
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)A，根據(jù)橢圓定義，余弦定理，三角形面積公式可求得答案；對(duì)B，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，，可求得；對(duì)C，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，由可求得；對(duì)D，由向量可得，，兩式平方化簡(jiǎn)得，當(dāng)最大時(shí)，得解.
【詳解】如圖所示，令
A選項(xiàng)，設(shè)，，由橢圓定義得，
又由余弦定理可得，解得，，故A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，由，可得：，故B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，由，可得：，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，?br>同理，，可得，②兩式相減可得，
，故D選項(xiàng)正確．
故選：ABD.
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13. 已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為______．
【答案】或
【解析】
【分析】分兩種情況，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在軸上，兩種情況，分別代入即可求解.
【詳解】當(dāng)雙曲線為時(shí)，，．
當(dāng)雙曲線為時(shí)，，．
故答案為：或.
14. 已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)條件及向量相等的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量共面即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，，且，，共面?br>所以，又，得到，，，解得，
故答案為：.
15. 已知直線l：與x軸交于點(diǎn)M，圓O：，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)M到直線的距離最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓方程相減可得弦的直線方程為，即可根據(jù)判定弦AB的直線恒過定點(diǎn)，由兩點(diǎn)距離公式即可求解.
【詳解】設(shè)，則過P點(diǎn)作圓的兩條切線，則在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的方程為，
又在圓O：，兩圓相減可得弦直線方程為，
又因?yàn)椋篜在直線l上，故：，
故：切點(diǎn)弦的直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的最
大距離為．
故答案為：
16. 已知橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：①點(diǎn)變?yōu)?；②直線斜率k變?yōu)?，?duì)應(yīng)直線的斜率比不變；③圖形面積S變?yōu)?，?duì)應(yīng)圖形面積比不變；④點(diǎn)、線、面位置不變（平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）．過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作一直線與橢圓相交于C兩點(diǎn)，則的面積的最大值為______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)新定義求得仿射變換后圓的方程及點(diǎn)坐標(biāo)，求得的面積最大值，結(jié)合定義即可求出的面積的最大值.
【詳解】，，，有仿射變換，
橢圓方程變換為：，
變換為，如圖所示：
所以：
而：，所以：，即的最大面積為1．
故答案為：1.
四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
17. 已知直線l：，．
（1）證明：直線l過定點(diǎn)P，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線l與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)截距相等時(shí)，求直線l的方程．
【答案】（1）證明見解析，；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）變形給定方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即得.
（2）按直線是否過原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.
【小問1詳解】
方程變形為：，
由解得，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，
所以直線l恒過定點(diǎn)．
【小問2詳解】
由（1）知直線l過點(diǎn)，
當(dāng)截距為0時(shí)，即直線l過原點(diǎn)，直線l方程為：；
當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線l方程為：，則有，解得，
此時(shí)直線l的方程為：，
所以直線l的方程為：或．
18. 已知圓O：及點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)，線段MP的中點(diǎn)為Q．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)作直線l與Q的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，滿足，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）解法1：設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再將點(diǎn)P代入圓O的方程即可得出答案；解法2：設(shè)線段OM的中點(diǎn)為N，連接NQ，由題意可得點(diǎn)Q的軌跡為以N為圓心，1為半徑的圓，即可得出答案.
（2）討論直線斜率存在或不存在，設(shè)出直線方程，設(shè)圓心Q到直線l的距離為d，由代入求解即可得出答案.
【小問1詳解】
解法1：設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：
解得：
由于點(diǎn)P在圓O：上，所以：，
代入可得：
化簡(jiǎn)可得點(diǎn)Q的軌跡方程為：．
解法2：設(shè)線段OM的中點(diǎn)為N，連接NQ，
∵Q為的中點(diǎn)，∴，
∴點(diǎn)Q的軌跡為以N為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為：
．
【小問2詳解】
當(dāng)k不存在時(shí)，直線l的方程為．此時(shí)圓心Q到直線l的距離為
所以：滿足條件．
當(dāng)k存在時(shí)，直線l的方程為，設(shè)圓心Q到直線l的距離為d，
則，所以：
而Q到直線l的距離為，解得：
此時(shí)直線l方程為：．
綜上：滿足條件的直線l的方程為：或，
19. 2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

（1）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．
①現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第二組抽取的人中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)．求選出的兩人來自不同組的概率．
②若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組面試者所有人的方差．
【答案】（1）平均數(shù)為，第25百分位數(shù)為63
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程組解出，然后分別計(jì)算出平均數(shù)和百分位數(shù)即可；
（2）①先利用分層抽樣的方法計(jì)算樣本，然后利用古典概型概率求解，然后根據(jù)題意計(jì)算方差即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，
解得，
可知每組的頻率依次為：，
所以平均數(shù)等于，
因?yàn)椋?br>設(shè)第25百分位數(shù)為，
則，
解得，
第25百分位數(shù)為63．
【小問2詳解】
①根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為，
故在和中分別選取1人和5人，分別編號(hào)為A和1，2，3，4，5，
則在這6人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有：
，，，，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，
共15個(gè)，即，
記事件B“兩人來自不同組”，則B包含的樣本點(diǎn)有，，，，共5個(gè)，
即，所以
②設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，，，，
且兩組頻率之比為，
成績(jī)?cè)诘诙M、第四組平均數(shù)
成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差
，
故估計(jì)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差是．
20. 已知雙曲線的漸近線方程為，且點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）過點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)；
①若A，B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的兩支上，求直線l的斜率的取值范圍；
②若，求此時(shí)直線l的方程．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)漸近線設(shè)雙曲線方程，由經(jīng)過的點(diǎn)代入方程即可求解；
（2）運(yùn)用分類討論思想，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)條件及韋達(dá)定理即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)殡p曲線的漸近線為，
可設(shè)雙曲線的方程為：
又點(diǎn)在雙曲線上，所以：
雙曲線的方程為：.
【小問2詳解】
①當(dāng)k不存在時(shí)，直線l交雙曲線于左支上兩點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)k存在時(shí)，直線l的方程可設(shè)為：，設(shè)，
聯(lián)立雙曲線方程：,
由題意：，∴，
所以直線l的斜率的取值范圍為．
②由，可得：
當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，，，此時(shí)，不滿足條件；
直線l的方程設(shè)為：，
聯(lián)立方程可得：，
，
由，可得：代入上式可得：，
，解得：，故：．
此時(shí)直線l的方程為：或．
21. 如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為，PC的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）若PC與AB所成角正切值為，求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】第一問用線面垂直的性質(zhì)即可推出線線垂直，第二問合理利用條件，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋婷鍭BCD
面面ABCD，所以面PAD
面PAD，所以．
【小問2詳解】

因?yàn)椋?，所?br>又面面ABCD，面面ABCD
所以面ABCD，面ABCD，故
另，，故四邊形DEBC為平行四邊形，
以E原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，，，
，
設(shè)異面直線AB與PC所成的角為α，由題：，則
，∴
因?yàn)槊鍭BCD，故：面ABE的法向量為
設(shè)面FBE的法向最為，，，
，取，則，
設(shè)面BEF與面ABCD所成的銳二面角為θ，則，
所以：，即二面角的大小為．
22. 已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．

（1）求橢圓C的方程；
（2）過B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．
①試討論直線AD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
②求面積的最大值．
【答案】（1）；
（2）①恒過定點(diǎn)；②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程；
（2）①設(shè)直線AD且，，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合A，B，共線有，整理化簡(jiǎn)求參數(shù)m，即可確定定點(diǎn)；②由直線AD所過定點(diǎn)，結(jié)合并將韋達(dá)公式代入化簡(jiǎn)，應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.
【小問1詳解】
由題的周長(zhǎng)，可得，
又，則，，故橢圓的方程為．
【小問2詳解】
①由題，設(shè)直線AD為且，，，，
聯(lián)立方程可得：，化簡(jiǎn)可得：
，
所以，，
因?yàn)锳，B，共線，則有，化簡(jiǎn)可得，
即，化簡(jiǎn)可得恒成立．
∴，即直線AD的方程為恒過定點(diǎn)．
②設(shè)直線AD恒過定點(diǎn)記為，
由上，可得，
所以，·
，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．
∴面積的最大值為．