命題學(xué)校：夷陵中學(xué) 命題人：夷陵中學(xué)高二數(shù)學(xué)組 審題人：襄陽三中 關(guān)殊慧
考試時(shí)間：2024年3月5日15：00-17：00 考試時(shí)長：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線：與直線：平行，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】當(dāng)時(shí)，有，故或，
當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程為，此時(shí)兩條直線重合，不符合；
當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程為，符合；
綜上，“”是“”的充要條件，
故選：B.
2. 函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.
【詳解】
設(shè)，由圖可得，
而，
故，
故選：C.
3. 空間四邊形中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的加減法規(guī)則,運(yùn)算即可得出結(jié)果.
【詳解】在四面體ABCD中，，，，
點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)，則
故選：D.
4. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A. 64B. 80C. 96D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出公差，得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，利用求和公式得到答案.
【詳解】設(shè)公差為，
則，解得，
故.
故選：C
5. 直線與曲線和圓都相切，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)直線與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線的方程，再根據(jù)與圓相切可求，故可求公切線的斜率.
【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為.
設(shè)直線與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)為，其中.
因，故直線的斜率為，
故直線的方程為：即，
整理得到：，
因該直線與圓相切，故，故或（舍），
故直線的斜率為，
故選：C.
6. 記數(shù)列的前項(xiàng)和是，前項(xiàng)積是．
①若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列；
②若和都是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列；
③若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列；
④若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列．其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)的形式和定義可判斷①②的正誤，根據(jù)反例結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷③④的正誤.
【詳解】對(duì)于①，若是等差數(shù)列，則，故，其中為常數(shù),
故，整理得到：，
故，此時(shí)，故是等差數(shù)列，故①正確.
對(duì)于②，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，其中常數(shù)為公差，
則即，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，
故，此時(shí)，
故是等差數(shù)列，故②正確.
對(duì)于③，設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)為，則，
此時(shí)不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤.
對(duì)于④，設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)為，
則，此時(shí)，
此時(shí)，故不為常數(shù)，
故不是等比數(shù)列，
故選：B.
7. 長方體中，，，為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可.
【詳解】
以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，必有，，，
，設(shè)，而，，
由題意得，故，得，故，
故，，易知面的法向量，
故，
若最大，則最大， 由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，最大，
此時(shí)，，
此時(shí)最大，且，顯然A正確.
故選：A
8. 橢圓的左焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)后代入橢圓方程后可得橢圓的離心率.
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得即，
而在橢圓上，故，整理得到，
其中（為橢圓的離心率），故，故，
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部答對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列命題正確的有（ ）
A. 已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
B.
C. 已知函數(shù)，若，則
D. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷BD的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可判斷C的正誤.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，若，則即，故C正確.
對(duì)于D，，故，故，故D正確.
故選：CD.
10. 雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線的方程為，下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 若，則
B. 當(dāng)反射光線過時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為7
C. 反射光線所在直線的斜率為，則
D. 記點(diǎn)，直線與相切，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對(duì)于B：利用雙曲線的定義直接求得；對(duì)于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進(jìn)而求出.即可求出.
【詳解】對(duì)于A：若，則.
因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：
二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：光由所經(jīng)過的路程為.

故B正確；
對(duì)于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：
當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)椋藭r(shí)k=0，最小.
因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.

故C正確.
對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：.
由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.故D正確
故選：BCD
11. 如圖：三棱錐中，面，，，，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過，，的平面交于．下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. 最小值為2
B. 時(shí)，
C. 三棱錐被平面分割成的兩部分體積相等
D. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，，，，五點(diǎn)在一個(gè)球面上，且球的半徑為
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合閔可夫斯基不等式處理A，利用平面的方程處理B，利用截面計(jì)算體積為定值處理C，球的方程處理D即可.
【詳解】
由題意得，故，又面，
故以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，故，，，
，，設(shè)，則，
故，
由閔可夫斯基不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故A正確，
若，則，而，，
設(shè)面的法向量，故，，
則，，令，解得，，
故，設(shè)面任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，
可得面的方程為，當(dāng)時(shí)，，
故，顯然成立，故B正確，
三棱錐上部分被平面截為三部分，設(shè)原體積為1，
設(shè)，，
，
，
故，
則三棱錐被平面分割成的兩部分體積相等，故C正確，
若為中點(diǎn)，則，，
，，設(shè)面的法向量，
則，，則，，
令，解得，，故，
故，則面的方程為，
當(dāng)時(shí)，解得，，
設(shè)過，， ，球方程為，將點(diǎn)代入方程，
可得，，
，解得，，，，
故球的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，也在該球上，
故，，，，五點(diǎn)共球，且球的半徑為，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，得到所要求的球的方程，最后得到結(jié)果即可．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，使得這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和在時(shí)取最大值，_____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】可以利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】對(duì)于等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列前項(xiàng)和在或時(shí)取到最大值，
故答案為： （答案不唯一）
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，，則______
【答案】
【解析】
【分析】聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到，再利用平行線分線段成比例，將長度比轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)關(guān)系，從而得解.
【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
易知直線斜率存在，設(shè)直線方程為：，，
聯(lián)立，消去，得
易知，則，即，
過作垂直于軸，過作平行于軸，兩者交于，
過作垂直于軸，交軸于，根據(jù)對(duì)稱性，示意圖如下，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>則.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
14. 過點(diǎn)的直線交：于，兩點(diǎn)，則的最小值為______
【答案】
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，此式為的中點(diǎn)到直線的距離10倍，求出的軌跡后可求最小值.
【詳解】
過分別作直線的垂線，垂足分別為，
設(shè)的中點(diǎn)為，過作直線的垂線，垂足為，連接，
又
.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，
故的軌跡為以的直徑的圓，其方程為，
即，其圓心為，半徑為，
到直線的距離為，
故到直線的距離的最小值為，
故的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)圖象在處的切線方程．
（2）若對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線，在函數(shù)圖象上總存在一點(diǎn)處的切線，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出，的值，由此即可得解；
（2）首先，由題意得出總存在，即值域包含，由此即可列出不等式組求解.
【小問1詳解】
，，，
所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
若對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線，在函數(shù)圖象上總存在一點(diǎn)處的切線，使得，
即對(duì)任意的，總存在使得，即，
又，
從而的值域包含，
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?br>所以，解得，
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?br>所以，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 京都議定書正式生效后，全球碳交易市場(chǎng)出現(xiàn)了爆炸式的增長．某林業(yè)公司種植速生林木參與碳交易，到2022年年底該公司速生林木的保有量為200萬立方米，速生林木年均增長率20%，為了利于速生林木的生長，計(jì)劃每年砍伐17萬立方米制作筷子．設(shè)從2023年開始，第年年底的速生林木保有量為萬立方米．
（1）求，請(qǐng)寫出一個(gè)遞推公式表示與之間的關(guān)系；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，如果存在求出實(shí)數(shù)；
（3）該公司在接下來一些年里深度參與碳排放，若規(guī)劃速生林木保有量實(shí)現(xiàn)由2022年底的200萬立方米翻兩番，則至少到哪一年才能達(dá)到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求？
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】16. （萬立方米），.
17. ，理由見解析.
18. 至少到年底才能達(dá)到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得及遞推關(guān)系；
（2）假設(shè)存在，則有，據(jù)（1）中的遞推關(guān)系可求，再證明此時(shí)為等比數(shù)列；
（3）令，根據(jù)題設(shè)中給出的數(shù)據(jù)可得至少到年底才能達(dá)到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求.
【小問1詳解】
（萬立方米），
又即.
【小問2詳解】
若存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，
則存在非零常數(shù)，使得，整理得到，
而，故即.
當(dāng)，則，
而，故即，
故為等比數(shù)列，故存在常數(shù)，使得為等比數(shù)列.
【小問3詳解】
由（2）可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故即，此時(shí)為遞增數(shù)列.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故至少到年才能達(dá)到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求.
17. 如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）棱上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，點(diǎn)為棱的三等分點(diǎn)(靠近端)
【解析】
【分析】（1）首先證明平面，然后由線面垂直可以得證；
（2）根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式列出方程，解方程即可確定點(diǎn)M的位置.
【小問1詳解】
取棱的中點(diǎn)，連接，
且，
為等邊三角形，
，
四邊形為正方形，且分別是的中點(diǎn)，
，
因?yàn)?，平面?br>平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，面?br>所以面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

不妨設(shè)，則點(diǎn)，，，，
則，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由及得，
，取，得，
假設(shè)棱上(除端點(diǎn)外)存在點(diǎn)滿足題意，
令 ()，得，
而，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由及得，
，取，得，
由，整理得，
解得，
所以點(diǎn)為棱的三等分點(diǎn)(靠近端).
18. 已知常數(shù)，向量，，經(jīng)過點(diǎn)的直線以為方向向量，經(jīng)過點(diǎn)的直線以為方向向量，其中．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡．
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：是存在定點(diǎn)在以、為直徑的圓上？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】18. 詳見解析；
19. 定點(diǎn)的坐標(biāo)為，，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)直線以為方向向量、直線以為方向向量可得、，消參后可得軌跡方程.
（2）設(shè)，，則可得、為直徑的圓的方程為：，可證，故可求圓所過的定點(diǎn).
【小問1詳解】
由題設(shè)有，.
設(shè)，則，
因?yàn)橹本€以為方向向量，故，
因?yàn)橹本€以為方向向量，故，
當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)的軌跡過，
當(dāng)時(shí)， 由可得，故，
整理得到.
綜上，點(diǎn)的軌跡的方程，
軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線.
【小問2詳解】

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程，故，
由題設(shè)可得的斜率不為零，設(shè)，，
又，，
故，
故以、為直徑的圓的方程為：，
.
由可得，
，
而，
故，
故以、為直徑的圓的方程可化簡為：，
其中，
令可得或，
故以、為直徑的圓過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為，.
19. 相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，并根據(jù)小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類．現(xiàn)有三角形數(shù)表按如圖的方式構(gòu)成，其中項(xiàng)數(shù)：第一行是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．從第二行起，每一個(gè)數(shù)是其肩上兩個(gè)數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個(gè)數(shù)．
（1）求第3行和第4行的通項(xiàng)公式和；
（2）一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)命題，可按下列步驟進(jìn)行：①證明當(dāng)時(shí)命題成立；②以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立．”完成這兩個(gè)步驟就可以斷定命題對(duì)開始的所有正整數(shù)都成立，這種方法即數(shù)學(xué)歸納法．請(qǐng)證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求關(guān)于的表達(dá)式；
（3）若，，試求一個(gè)等比數(shù)列，使得，且對(duì)于任意的，均存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有．
【答案】（1），；，；
（2）證明見解析，通項(xiàng)公式為；
（3），理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而求出和；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可，并得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上得到和，根據(jù)通項(xiàng)公式特征，令并裂項(xiàng)相消法求和得到，并求出當(dāng)時(shí)，滿足于任意的，均存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有.
【小問1詳解】
，，
，，
，，
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，第一行是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，滿足要求，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即第行為公差為的等差數(shù)列，
則當(dāng)時(shí)，
，
故第行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，公差為，
綜上，數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，
由于，，
所以，
，
由于，故，即，
即，又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，故，
【小問3詳解】
，
故，
令，則，
故
，
，
因?yàn)椋裕?br>故，
令，則當(dāng)時(shí)，都有，
綜上，為滿足要求的等比數(shù)列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.

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