一、點、直線、平面之間的位置關(guān)系
1．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知四面體．分別對于下列三個條件：
①；②；③，
是的充要條件的共有幾個（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知點P在正方體的表面上，P到三個平面ABCD、、中的兩個平面的距離相等，且P到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點P的個數(shù)為 ．
3．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）圖1所示的是等腰梯形，，，，于點，現(xiàn)將沿直線折起到的位置，形成一個四棱錐，如圖2所示.
(1)若，求證：平面；
(2)若直線與平面所成的角為，求二面角的大小.
二、空間幾何體
4．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）豆腐發(fā)酵后表面長出一層白絨絨的長毛就成了毛豆腐，將三角形豆腐ABC懸空掛在發(fā)酵空間內(nèi)，記發(fā)酵后毛豆腐所構(gòu)成的幾何體為T.若忽略三角形豆腐的厚度，設(shè)，點在內(nèi)部.假設(shè)對于任意點，滿足的點都在內(nèi)，且對于內(nèi)任意一點，都存在點，滿足，則的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面周長為，母線長為3，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
6．（2024上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則圓錐的底面半徑為 ．
7．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，則該圓錐的母線長為 ．
8．（2024·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知四面體中，平面，．
(1)若，求證：四面體是鱉臑，并求該四面體的體積；
(2)若四面體是鱉臑，當時，求二面角的平面角的大?。?br>9．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）中國歷史悠久，積累了許多房屋建筑的經(jīng)驗．房梁為柱體，或取整根樹干而制為圓柱形狀，或作適當裁減而制為長方體形狀，例如下圖所示．
材質(zhì)確定的梁的承重能力取決于截面形狀，現(xiàn)代工程科學常用抗彎截面系數(shù)W來刻畫梁的承重能力．對于兩個截面積相同的梁，稱W較大的梁的截面形狀更好．三種不同截面形狀的梁的抗彎截面系數(shù)公式，如下表所列，
(1)假設(shè)上表中的三種梁的截面面積相等，請問哪一種梁的截面形狀最好？并具體說明；
(2)宋朝學者李誡在《營造法式》中提出了矩形截面的梁的截面長寬之比應(yīng)定為的觀點．考慮梁取材于圓柱形的樹木，設(shè)矩形截面的外接圓的直徑為常數(shù)D，如下圖所示，請問為何值時，其抗彎截面系數(shù)取得最大值，并據(jù)此分析李誡的觀點是否合理．
10．（2024上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，，點在線段上，且．
(1)求證：平面；
(2)若四棱錐的體積為，，，，，求二面角的大?。?br>三、空間向量與立體幾何
11．（2024上·上海奉賢·高三?？计谥校┤鐖D，己知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（ ）
A．與所成的角是
B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是
C．與平面所成的角的正弦值是
D．是線段上動點，為中點，則點到平面距離最大值為
12．（2024上·上?！じ呷虾Ｊ羞M才中學?？计谥校T殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式，分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂．單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡（如圖①），類似五面體的形狀（如圖②），若四邊形是矩形，，且，，則五面體的表面積為 ．

13．（2024·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在四面體中，若底面的一個法向量為，且，則頂點到底面的距離為 ．
14．（2024·上海崇明·統(tǒng)考一模）在空間直角坐標系中，點到平面的距離為 ．
15．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）若向量，，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
16．（2024上·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為的中點，為上一點，平面.
(1)求證：為的中點；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
17．（2024上·上海虹口·高三?？计谥校┤鐖D，三棱錐中，，，，E為的中點．
(1)證明：；
(2)點F滿足，求平面和平面所成的銳二面角．
18．（2024上·上?！じ呷虾Ｊ行兄袑W校考期中）如圖，正直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.
(1)判斷直線與直線的位置關(guān)系并證明；
(2)求直線與平面所成的角的大小.
圓形截面
正方形截面
矩形截面
條件
r為圓半徑
a為正方形邊長
h為矩形的長，b為矩形的寬，
抗彎截面系數(shù)

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