【核心素養(yǎng)】
1．以分式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及帶二次根號(hào)的函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．考查換元法、待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)展示】
（一）函數(shù)的概念
1.（1）在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).
（3）函數(shù)的表示方法：列表法、圖像法、解析法.
2.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集．
(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．
3．抽象函數(shù)的定義域的求法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．
（二）求函數(shù)的解析式
1.待定系數(shù)法：當(dāng)函數(shù)的特征已經(jīng)確定時(shí)，一般用待定系數(shù)法來(lái)確定函數(shù)解析式
2.換元法：如果給定復(fù)合函數(shù)的解析式，求外函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)函數(shù)先換元，然后求出外函數(shù)的解析式
3.配湊法：將f(g(x))右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于g(x)的形式，進(jìn)而求出f(x)的解析式
4.解方程組法：如果給定兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式，可以通過(guò)變量代換建立方程組，再通過(guò)方程組求出函數(shù)解析式.
（三）分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).
【?？碱}型剖析】
題型一 求函數(shù)的定義域
例1.（2019·江蘇高考真題）函數(shù)的定義域是_____.
【答案】.
【分析】
由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.
【詳解】
由已知得,
即
解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)?
例2.（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】
解：因?yàn)椋?，解得且?br>故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
例3.（2020·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.
【詳解】
由題意得，
故答案為：
例4.（2013·全國(guó)·高考真題（理））已知的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)有意義只需即可，解得，選B．
例5.（2021·黔西南州同源中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開(kāi)_________.
【答案】
【分析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，即可得到的定義域.
【詳解】
∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>∴，∴，
∴的定義域?yàn)?
故答案為：
【方法技巧】
1．根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略
已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．
2．求抽象函數(shù)的定義域的策略
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化；
(2)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．
題型二：已知函數(shù)的定義域求參數(shù)
例6. （2021·浙江學(xué)軍中學(xué)高一競(jìng)賽）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍是_____________．
【答案】
【分析】
函數(shù)定義域?yàn)?，只需滿足恒成立即可，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最值即可求解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以恒成立，
令，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，即可，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，不恒成立.
綜上，或.
故答案為：
例7．（2021·全國(guó)）函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】
【分析】
分和兩種情況討論求解
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，其自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，要使的自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，則，即，得，
綜上，，
故答案為：
【總結(jié)提升】
已知函數(shù)的定義域求參數(shù)問(wèn)題的解題步驟
(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問(wèn)題；
(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍．
題型三：函數(shù)的解析式問(wèn)題
例8.（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】
因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)?，所以，即，所?
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)?，所?
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】
含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
例9.（2016·浙江·高考真題（文））設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，，則實(shí)數(shù)a=_____，b=______.
【答案】－2，1
【解析】
，
，
所以，解得．
例10.（2006·安徽·高考真題（理））函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_______________．
【答案】
【解析】
【詳解】
解：由得，所以，則．
例11.（2021·上海高一專題練習(xí)），則________.
【答案】（且）
【分析】
通過(guò)換元法，設(shè)且，運(yùn)算即可得解.
【詳解】
設(shè)且，則，
即，（且）
故答案為：（且）
例12.（2021·黔西南州同源中學(xué)高一期中）已知函數(shù)滿足，則__________.
【答案】
【分析】
把化成，得到，構(gòu)建方程組得到結(jié)果.
【詳解】
∵，
∴，
聯(lián)立方程組，可得.
故答案為：
【特別提醒】
謹(jǐn)防求函數(shù)解析式的兩種失誤：
(1)在求函數(shù)解析式時(shí)，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域問(wèn)題．求出解析式后要標(biāo)注x的取值范圍．
(2)利用換元法求解析式時(shí)要注意新元的取值范圍．
如已知f()＝x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式，可通過(guò)換元的方法得f(x)＝x2＋1，函數(shù)f(x)的定義域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
題型四：分段函數(shù)及其應(yīng)用
例13.（2012·江西·高考真題（文））設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝( )
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】
【詳解】
,
,故選D.
例14.（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.
【詳解】
，故，
故答案為：2.
例15.（2010·江蘇·高考真題）若函數(shù)，則不等式的解集合是______________
【答案】
【解析】
【分析】
分析給定的分段函數(shù)性質(zhì)，再分段列出不等式組求解即可作答.
【詳解】
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
則化為：或，解得或，
所以不等式的解集合是.
故答案為：
例16.（2018·天津·高考真題（文））已知，函數(shù)若對(duì)任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】
分類討論：①當(dāng)時(shí)，即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時(shí)，，則；
②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)或時(shí)，，則；
綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.
【總結(jié)提升】
關(guān)于分段函數(shù)的命題角度主要有：一是分段函數(shù)求值，二是分段函數(shù)與方程、不等式結(jié)合.由于分段函數(shù)在其定義域內(nèi)的不同子集上其對(duì)應(yīng)法則不同，而分別用不同的式子來(lái)表示，因此在求函數(shù)值、解方程（不等式）時(shí)，一定要注意自變量的值所在子集，再代入相應(yīng)的解析式求值．
題型五：函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題
例17.（2015·浙江·高考真題（文））已知函數(shù)，則 ，的最小值是 ．
【答案】
【解析】
如圖根據(jù)所給函數(shù)解析式結(jié)合其單調(diào)性作出其圖像如圖所示，易知.
另外，當(dāng)時(shí)，也可以利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.
例18．（2015·福建·高考真題（理））若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【詳解】
試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，由，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的值域.
【方法點(diǎn)晴】本題以分段為背景主要考查了對(duì)數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的值域問(wèn)題，解答時(shí)要牢記對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了分類討論的思想方法的應(yīng)用，本題的解答中，當(dāng)時(shí)，由，得，即，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.
【規(guī)律方法】
函數(shù)值域的常見(jiàn)求法：
(1)配方法
配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法．
(2)數(shù)形結(jié)合法
若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)與形結(jié)合的方法．
(3)基本不等式法：要注意條件“一正，二定，三相等”．
= 1 \* GB3 ①應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．
= 2 \* GB3 ②條件不等式的最值問(wèn)題：通過(guò)條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．
= 3 \* GB3 ③求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍．
2. 基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解．
(4)利用函數(shù)的單調(diào)性
①單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的，因此若單調(diào)函數(shù)在端點(diǎn)處有定義，則該函數(shù)在端點(diǎn)處取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則y最?。絝(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則y最?。絝(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函數(shù)，若ad＞0，則用單調(diào)性求值域；若ad＜0，則用換元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函數(shù)，若不能用基本不等式，則可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的單調(diào)減區(qū)間為(0，eq \r(k)]，單調(diào)增區(qū)間為[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函數(shù)y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做對(duì)勾函數(shù)，其圖象的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情況，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決．
*(5)導(dǎo)數(shù)法
利用導(dǎo)函數(shù)求出最值，從而確定值域．

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題1.1 集合（知識(shí)點(diǎn)講解）(2份，原卷版+解析版)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題1.1 集合（知識(shí)點(diǎn)講解）(2份，原卷版+解析版)，文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題11集合知識(shí)點(diǎn)講解原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題11集合知識(shí)點(diǎn)講解解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共18頁(yè)， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.5拋物線(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.5拋物線(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)，共29頁(yè)。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.4雙曲線(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.4雙曲線(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)，共33頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.3橢圓(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.3橢圓(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.1直線與直線方程(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9.1直線與直線方程(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題7.4數(shù)列求和(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題7.4數(shù)列求和(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部