【核心素養(yǎng)】
以具體函數(shù)為載體，通過考查函數(shù)的奇偶性、周期性及函數(shù)圖像的對稱性，凸顯數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng).
【知識點展示】
（一）函數(shù)的奇偶性
1.判斷函數(shù)的奇偶性的兩種方法
(1)定義法：
(2)圖象法：
2．函數(shù)奇偶性的應用
(1)求函數(shù)解析式
①將所求解析式自變量的范圍轉化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．
(2)求參數(shù)值
在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側對應相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．
（二）函數(shù)的周期性
函數(shù)周期性的判定及應用
(1)只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T.
(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)整體的性質，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合考查．
(3)在解決具體問題時，要注意結論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用．
（三）常用結論
1．函數(shù)奇偶性的四個重要結論
(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．
(4)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．
2．周期性的幾個常用結論
對f(x)的定義域內任一自變量的值x，周期為T，則
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)，則T＝2a(a＞0)；
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f?x?)，則T＝2a(a＞0)．
3．函數(shù)的圖象的對稱性
(1)函數(shù)y＝f(x)，若其圖象關于直線x＝a對稱(a＝0時，f(x)為偶函數(shù))，則
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函數(shù)y＝f(x)，若其圖象關于點(a,0)中心對稱(a＝0時，f(x)為奇函數(shù))，則
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函數(shù)y＝f(x)，若其圖象關于點(a，b)中心對稱，則
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則g(x)＝f(2a－x)．
(5)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關于直線y＝a對稱，則g(x)＝2a－f(x)．
【?？碱}型剖析】
題型一 函數(shù)奇偶性的判斷
例1.（2021·全國·高考真題（理））設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】
由題意可得，
對于A，不是奇函數(shù)；
對于B，是奇函數(shù)；
對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；
對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).
故選：B
例2．（2022·湖南·雅禮中學二模）函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，結合函數(shù)的周期性、對稱性，整理化簡，即可得答案.
【詳解】
因為是奇函數(shù)，
∴，
∵是偶函數(shù)，
∴，即，
，
則，即周期為8；
另一方面，
∴，即是偶函數(shù).
故選：B.
【規(guī)律方法】
1.判斷函數(shù)奇偶性的方法
（1）定義法
（2）圖像法
（3）性質法：在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.熟記4種常見抽象函數(shù)的周期
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)，則T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f?x?)，則T＝2|a|；
(4)若f(x＋a)＝f(x－a)，則T＝2|a|.
題型二： 函數(shù)奇偶性的應用
例3.（2021·湖南·高考真題）已知函數(shù)為奇函數(shù)，.若，則____________
【答案】.
【解析】
【分析】
由，得，由為奇函數(shù)得，可求得，再利用得到答案.
【詳解】
因為，，
所以， ，
因為為奇函數(shù)，
所以，由，得，
因為，所以.
故答案為：6.
例4.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.
【詳解】
因為，故，
因為為偶函數(shù)，故，
時，整理得到，
故，
故答案為：1
例5.（2021·陜西漢中·高三階段練習（文））已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，．
(1)求的解析式；
(2)若，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性化簡不等式，由此求得的取值范圍.
(1)
因為為R上的奇函數(shù)，所以．
當時，，則．
因為是奇函數(shù)，所以，所以.
(2)
當時，，則在上單調遞增．
因為是R上的奇函數(shù)，所以在R上單調遞增．
由，可得，
所以，解得，故實數(shù)t的取值范圍是．
【總結提升】
函數(shù)奇偶性常見問題：
1.求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值；
2.求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出；
3.求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性建立方程(組)，進而得出參數(shù)的值；
4.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象；
5.求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零求一些特殊結構的函數(shù)值.
題型三：函數(shù)的奇偶性、周期性、圖象的對稱性、函數(shù)的單調性及應用
例6.（2021·全國·高考真題（理））設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．
【詳解】
因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
例7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．
【詳解】
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．
因為，，，，，所以
一個周期內的．由于22除以6余4，
所以．
故選：A．
例8．（全國高考真題）函數(shù)在單調遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
是奇函數(shù)，故 ；又 是增函數(shù)，，即 則有 ，解得 ，故選D.
例9.（全國高考真題）已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
因為是定義域為的奇函數(shù)，且，
所以,
因此，
因為，所以，
，從而，選C.
例10.【多選題】（2022·江蘇鹽城·三模）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．圖象關于直線對稱B．
C．的最小正周期為4D．對任意都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由奇偶性知的對稱中心為、對稱軸為，進而推得，即可判斷各選項的正誤.
【詳解】
由的對稱中心為，對稱軸為，
則也關于直線對稱且，A、D正確，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期為4，則，B正確；
但不能說明最小正周期為4，C錯誤；
故選：ABD
例11.【多選題】（2022·全國·模擬預測（理））已知是定義在上的奇函數(shù)，且圖象關于直線對稱，當時，，則不等式成立的一個充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)奇函數(shù)的性質求得，再根據(jù)函數(shù)圖象的解析式與性質畫出的圖象，結合函數(shù)圖象平移的性質得出的圖象，再根據(jù)函數(shù)的周期，數(shù)形結合分析即可
【詳解】
因為是定義在上的奇函數(shù)，故，解得，根據(jù)當時，，結合奇函數(shù)的性質與直線對稱作圖，設是的圖象往左平移2個單位所得，畫出圖如下.
由題意，因為的圖象關于直線對稱，故，又為奇函數(shù)，故，即，故，所以，故的周期為8.又不等式成立即在的函數(shù)圖象下方，由對稱性可得，當時與的交點的橫坐標為，結合圖象可得與的交點的橫坐標滿足，結合選項，當時，可考查即時的情況，滿足在的函數(shù)圖象下方，其他選項均不符合.
故選：C
例12.（2022·四川成都·模擬預測（理））已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，．若，則______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得關于對稱，也關于(1,0)對稱，進一步得到周期為4，再求出的值，最后可求出的值.
【詳解】
解：因為為偶函數(shù)，
所以＝，即＝，
所以函數(shù)關于對稱，所以＝，
又因為為奇函數(shù)，
所以＝－，
所以函數(shù)關于(1,0)對稱，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期為4，
在＝－中令 ，得，所以 ，即，
又因為，所以，即，所以，
所以當時，，
所以，
所以，
，
，
，
所以則0.
故答案為：0.
【總結提升】
1.熟記4種常見抽象函數(shù)的周期
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)，則T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f?x?)，則T＝2|a|；
(4)若f(x＋a)＝f(x－a)，則T＝2|a|.
2.當函數(shù)具有兩個對稱時函數(shù)一般也是周期函數(shù)．當函數(shù)是奇函數(shù)，又有對稱軸時，則函數(shù)一定是周期函數(shù)，且周期為；若有兩條對稱軸和，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個周期；同樣若有兩個對稱中心和，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個周期.

相關試卷

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.5拋物線(知識點講解)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.5拋物線(知識點講解)(原卷版+解析)，共29頁。

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.4雙曲線(知識點講解)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.4雙曲線(知識點講解)(原卷版+解析)，共33頁。

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.3橢圓(知識點講解)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.3橢圓(知識點講解)(原卷版+解析)，共27頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.1直線與直線方程(知識點講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.1直線與直線方程(知識點講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題7.6數(shù)學歸納法(知識點講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題7.6數(shù)學歸納法(知識點講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題7.5數(shù)列的綜合應用(知識點講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題7.5數(shù)列的綜合應用(知識點講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題7.4數(shù)列求和(知識點講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題7.4數(shù)列求和(知識點講解)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部