1．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中高三月考）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不等式對(duì)于上恒成立，
即對(duì)于上恒成立，
令，則等價(jià)于對(duì)于上恒成立.
令，，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以只需在上單調(diào)遞減，
即，恒成立，即，只需
又因?yàn)?，所以?br>即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B.
2．（2021·昆明市·云南師大附中高三月考（文））已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)， 則k的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)解，令，即直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
，由得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞減，
故，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，
故選：B．
3．（2021·安徽（文））已知，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，
記，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
，記，，
，
，，，
時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，.
故選：A.
4．（2021·山西太原市·太原五中（文））已知函數(shù)，．若，都，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，都，使成立，；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，；時(shí)，；，
當(dāng)時(shí)，；
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
，解得：，；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，解得：或，
；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，
，解得：，；
綜上所述：的取值范圍為.
故選：D.
5．（2021·浙江省富陽(yáng)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．存在使B．存在使
C．對(duì)任意，都有D．對(duì)任意，都有
【答案】B
【解析】對(duì)于A、C：
記，，則
，所以在上單增，當(dāng)時(shí)，，即，即
同理可證：在上單減，所以當(dāng)時(shí)都有，即.
又，所以.故A、C錯(cuò)誤.
對(duì)于B：取，所以，
則有
.
故B正確；
對(duì)于D：取，則有.
故D錯(cuò)誤.
故選：B
6．（2021·靜寧縣第一中學(xué)高三月考（理））函數(shù)在定義域(-，3)內(nèi)的圖象如圖所示．記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（ ）
A．[-，1][2，3)
B．[-1，][，]
C．[-，][1，2)
D．(-，-][，][，3)
【答案】A
【解析】觀察函數(shù)的圖象知，在和上都是單調(diào)遞減的，
所以不等式的解集為.
故選：A
7．（2021·遼寧高三月考）若方程在區(qū)間內(nèi)有個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)，
，
所以在區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞減﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐
而函數(shù)，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
所以，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則只需即可，
即，解得.
故選：D
8．（2021·河南高三月考（理））實(shí)數(shù)，，分別滿足，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，，，
則，
因?yàn)椋?br>所以有，
所以
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，因此，即，
所以，
所以，
所以，
所以，又，
所以，綜上可知
故選：．
9．（2021·河南商丘·（文））已知函數(shù)在上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：設(shè)，，
令，得，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，于是；
又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以方程最多僅有兩個(gè)解，即最多兩個(gè)極值點(diǎn)，
又因?yàn)樵谏献疃鄡H有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，有一個(gè)極值點(diǎn)，
當(dāng)方程有兩個(gè)解時(shí)，，即，
當(dāng)在有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，，即，
所以，由，，，
知當(dāng)，方程在與上各有一解，
綜上，若要使在上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則.
故選：D.
10．（2021·安徽高三開學(xué)考試（理））若不等式對(duì)任意x>0恒成立，則正實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A．2B．eC．3D．e2
【答案】B
【解析】由題意得，，即，
令，易知函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
從而不等式轉(zhuǎn)化為，則，即，
令，則，
當(dāng)0x2>0時(shí)，>
C．若方程f(|x|)＝a有2個(gè)不相等的解，則a的取值范圍為(0,＋∞)
D．(1＋＋…＋)ln2≤lnn，n≥2且n∈N＋
【答案】BD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，.則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以對(duì)任意，，即，所以在都是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以“方程有2個(gè)不相等的解”等價(jià)于“方程在上有1個(gè)解”.
由A可知，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，；時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，方程在上有1個(gè)解，即有2個(gè)不相等的解，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由A知，在上單調(diào)遞減，則對(duì)任意，，
即，所以當(dāng)時(shí)，，即.
所以，，，，，以上式子相加得
，
即（時(shí)，等號(hào)成立），故D正確.
故選：BD.
三、填空題
18．（2021·全國(guó)高三月考（理））已知函數(shù)的最小值為，函數(shù)的零點(diǎn)與極小值點(diǎn)相同，則___________.
【答案】或
【解析】由可得，
因?yàn)榈淖钚≈禐椋?br>所以是的極值點(diǎn)，所以，所以；
當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)無(wú)極小值點(diǎn)，不符合題意；
由可得，
令，可得或，
當(dāng)時(shí)，，由可得或；由可得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以的極小值點(diǎn)為，
由題意可得，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，由可得；由可得或，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
此時(shí)的極小值點(diǎn)為，
由題意可得，
解得，此時(shí)；
綜上可知，或，
故答案為：或.
19．（2021·安徽宿州市·宿城一中高三月考（理））若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為____.
【答案】
【解析】令，則，
由且，解得.
.
令，，
在區(qū)間上遞減，.
所以取值范圍是.
故答案為：
20．（2021·吉林長(zhǎng)春市·東北師大附中高三月考（理））已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是______.
①；
②；
③；
④.
【答案】①②④
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)和的圖象關(guān)于直線的對(duì)稱，又因?yàn)橹本€的斜率1與直線的斜率的乘積為，因此直線與直線互相垂直，顯然直線也關(guān)于直線對(duì)稱，
解方程組，所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，
有，，，.
對(duì)①：因?yàn)?，?br>所以，因此本選項(xiàng)正確；
對(duì)②：因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，
所以有，因此有，
點(diǎn)在直線上，而，所以，
因此，顯然函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有，故本選項(xiàng)正確；
對(duì)③：因?yàn)?，，所以?br>因此有，
設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?，所?br>因此函數(shù)是單調(diào)遞增的，
當(dāng)時(shí)，有，
即，因此有，故本選項(xiàng)不正確；
對(duì)④：因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，所以，因此，
所以，
即，故本選項(xiàng)正確；
故答案為：①②④
21．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的級(jí)“平移點(diǎn)”.已知函數(shù)在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的最小值為___________.
【答案】
【解析】由在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，則有解，即：，得：，
∴在上有解，
令，，則，
∴在上單調(diào)遞增，則，
∴，即.
故答案為：
22．（2021·全國(guó)高三月考（理））已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以不等式可化為，
設(shè)，則，
設(shè)，由于
故在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，則，即.
故答案為：
23．（2021·四川省資中縣第二中學(xué)高三月考（理））已知，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________________.
【答案】
【解析】，
所以為偶函數(shù).
由得
，
，，
，，
所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，在上遞增.
所以，
所以，
所以對(duì)任意，恒成立，
，，所以在區(qū)間，遞增，在區(qū)間，遞減.所以.
，，所以在區(qū)間上遞減.所以.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
24．（2021·安徽宿州市·宿城一中高三月考（理））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.
（2）因?yàn)樵谏嫌薪猓?br>所以在上有解，
當(dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)在上有解，
令，則，
由（1）知時(shí)，即，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
25．（2021·全國(guó)高三月考（理））已知函數(shù)的圖象與直線相切.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值為.
【解析】解：
若，則，
的圖象不存在斜率為的切線.
若，令可得，
由題意，
得.
（2）設(shè)，
則
令，可得
易知單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減；
在上，單調(diào)遞增.
根據(jù)題意知恒成立，
故
當(dāng)時(shí)，
即的最小值為.
26．（2021·全國(guó)高三月考（文））已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，無(wú)最大值；（Ⅱ）證明見解析．
【解析】（Ⅰ）由題意得：定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
的最小值為，無(wú)最大值．
（Ⅱ）設(shè)，則，
令得：．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
由（Ⅰ）知：，可得：，
，可得：，即．
又，當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，．
27．（2021·全國(guó)高三（理））已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上截距為．
（1）求的值；
（2）對(duì)任意，不等式恒成立，求自然數(shù)的最大值．
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1），，，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：
，
因?yàn)榍芯€在軸上的截距為，所以時(shí)，，
即，．
（2），
不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，
令，由題意，
又，因此整數(shù)的最大值可以為．
下面證明符合題意．
令，，
時(shí)，，時(shí)，，
在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
，
所以，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立．
因?yàn)橛?，整理有?br>．
綜合上述，自然數(shù)的最大值為．
28．（2021·吉林長(zhǎng)春市·高三（理））設(shè)函數(shù).
（1）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【解析】（1），
，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件
，
令，有或，令，有，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）由題意
當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
，即
當(dāng)時(shí)，不成立.
綜上，.
29．（2021·廣東珠海市·高三月考）己知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）若，求在處的切線方程；
（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，．
又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，
所以切線的方程為，即．
（2）由己知得有兩個(gè)不等的正實(shí)根，
所以方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，
即有兩個(gè)不等的正實(shí)根，①.
要證，只需證，
即證，-
令，，所以只需證．
由①得，，
所以，，
消去得，
只需證．
設(shè)，令，則，所以只需證．
令，，則，
所以，即當(dāng)時(shí)，成立．
所以，即，即．
30．（2021·河北邢臺(tái)市·高三月考）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.
【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，.
易知在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），
由題意，；易知在上單調(diào)遞增，
由，得，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，有唯一一個(gè)，使得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
總有唯一的極小值點(diǎn)，
由，得.
由，
得，
令，則，設(shè)，.
則，在上單調(diào)遞減，又，.
，.

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