1．（2020·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故選：D.
2．（2021·廣東廣州市）設(shè)正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知正數(shù)、滿(mǎn)足，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.
故選：C.
3．（2021·浙江=）若正數(shù)、滿(mǎn)足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知正數(shù)、滿(mǎn)足，可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，.
因此，實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.
4．（2021·江蘇南通市）若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式恒成立，即，
，
等號(hào)成立的條件是，即，與條件聯(lián)立，解得 ，
所以的最小值是8，
即，解得：.
故選：A
5．（2020·山東濟(jì)寧市）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，并且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹愠闪?，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，所以，即，
解得：，故選：B
二、多選題
6．（2021·遼寧葫蘆島市·高三一模）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則（ ）
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
【答案】ACD
【解析】因?yàn)榍遥?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為，
，A正確；
，B錯(cuò)誤；
，C正確；
，D正確．
故選：ACD．
7．（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知、，，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由，得（當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立），故A錯(cuò)誤；
由題意可得，解得，則，
令，其中，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
取，，則，但，故C錯(cuò)誤；
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立），故D正確.
故選：BD.
8．（2021·廣東高三其他模擬）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，令，則，故A不正確；
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；
對(duì)于D，由，所以，，則，故D正確.
故選：BCD.
9．（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，取，，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故D正確．
故選:ABD
10．（2021·全國(guó)高三其他模擬）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．函數(shù)的最小值為2
C．若，則D．函數(shù)有最小值2
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所有由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；
對(duì)于B，易知，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的最小值為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
11．（2021·浙江）已知x、y都是正數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)________．
【答案】18.
【解析】因?yàn)?，且?br>所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
即，
解得，所以得，
所以的最大值是.此時(shí)，.
故答案為：18.
12．（2021·浙江）若正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是__________．
【答案】5
【解析】由條件，兩邊同時(shí)除以，得到，
那么
等號(hào)成立的條件是，即，即.
所以的最小值是5，
故答案為： 5 ．
13．（2021·四川成都市）設(shè)，，若，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】4
【解析】因?yàn)?，所?br>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
故答案為：4
14．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)__________．
【答案】20
【解析】∵均為正實(shí)數(shù)，且，∴，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為20.
故答案為：20.
15．（2021·遼寧沈陽(yáng)市·高三一模）已知，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】16
【解析】因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為16.
故答案為：16.
16．（2020·河北石家莊市·石家莊一中）已知，且，則的最小值為_(kāi)_______．
【答案】10
【解析】且，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
，
故答案為：10
17．（2021·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高三一模（理））設(shè)正數(shù)，滿(mǎn)足，的最小值為_(kāi)____________
【答案】9
【解析】由題意得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：9
18．（2021·浙江高三期末）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】6
【解析】實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，即，所以
則
當(dāng)且僅當(dāng), 又，即 時(shí)，取得等號(hào).
故答案為：6
19．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）若，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.
故答案為：.
20．（2020·上海）已知，且，則的最小值為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
故答案為：
21（2021·吳縣中學(xué)）已知，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得是等號(hào)成立，
所以的最小值是
22．（2021·浙江高三月考）若，是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：
23．（2021·陜西漢中市）已知，且，則的最小值是___________.
【答案】3
【解析】因?yàn)?，所以，即?br>所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：3
24．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知m，n均為正數(shù)，，，且，則的最小值為_(kāi)___________.
【答案】4
【解析】因?yàn)?，，且?br>所以，即
因?yàn)閙，n均為正數(shù)，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值.
故答案為：4
25．（2020·浙江衢州市），，且，不等式恒成立，則的范圍為_(kāi)______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?br>所以小于等于最小值，
所以，
故答案為：
26．（2020·濟(jì)寧市第二中學(xué)）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】，，則不等式恒成立，
即恒成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為16，，
故的最大值為16.
故答案為：16.
27．（2021·陜西高三二模）已知，，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】，，，由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.
28．（2021·陜西寶雞市·高三二模）已知P是的邊上任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】9
【解析】因?yàn)镻是的邊上任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：9.
29．（2020·天津高三期中）已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
令，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且，即
所以的最小值為
故答案為：
30（2021·浙江高三期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為，則的最大值________．
【答案】
【解析】中，，則
，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”，
，令，
則，其中銳角由確定，
從而有(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)，解得，即，
所以當(dāng)是頂角為(銳角由確定)的等腰三角形時(shí)取最大值.
故答案為：

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