?考向一 反比例函數(shù)的定義
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式計(jì)算當(dāng)時(shí)y的值，可得圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；由于的值不可能為0，即，因此圖像與x軸沒有交點(diǎn)，由此即可得解．
本題主要考查了函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，掌握求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
∴與y軸的交點(diǎn)為；
由于是分式，且當(dāng)時(shí)，，即，
∴與x軸沒有交點(diǎn)．
∴函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故選：B．
2．（2024·重慶·中考真題）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項(xiàng)的點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．
【詳解】解：解：當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過，故A不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象一定經(jīng)過，故B符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過，故C不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過，故D不符合要求；
故選：B．
3．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則的值是 .
【答案】0
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
將點(diǎn)和代入，求得和，再相加即可．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴有，
∴，
故答案為：0．
4．（2024·云南·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)代入求值，即可解題．
【詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
故答案為：．
?考向二 反比例函數(shù)的圖象
5．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函數(shù)的開口向下，與軸的交點(diǎn)位于軸的正半軸，對(duì)稱軸為直線，
故選：D．
6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵
當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，
當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限
A.一次函數(shù)中，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在第四象限，不合題意，
B.一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，不合題意，
一次函數(shù)中，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在第一象限，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：C．
7．（2024·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．點(diǎn)，的距離為，的周長與的周長之比為．
(1)請(qǐng)直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請(qǐng)分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；
(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時(shí)的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）
【答案】(1)
(2)函數(shù)圖象見解析，隨x增大而增大，隨x增大而減小
(3)
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定：
（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案；
（2）根據(jù)（1）所求利用描點(diǎn)法畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象并根據(jù)函數(shù)圖象寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的性質(zhì)即可；
（3）找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示，即為所求；
由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減?。?br>（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)的取值范圍．
?考向三 反比例函數(shù)的性質(zhì)
8．（2024·陜西·中考真題）已知點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則 0．
【答案】/小于
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，先求出，，再根據(jù)，得出，最后求出即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
9．（2024·天津·中考真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可判斷．
【詳解】解：，
反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，
點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，，
．
∵，在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴.
故選：B．
10．（2024·廣西·中考真題）已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2在反比例函數(shù)圖象上，則滿足關(guān)系式，橫縱坐標(biāo)的積等于2，結(jié)合即可得出答案．
【詳解】解： 點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2在反比例函數(shù)的圖象上，
，，
，
，，
．
故選：A．
11．（2024·浙江·中考真題）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點(diǎn)．下列正確的選項(xiàng)是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由于反比例函數(shù)，可知函數(shù)位于一、三象限，分情況討論，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷出與的大?。?br>【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)，可知函數(shù)圖象位于一、三象限，且在每個(gè)象限中，y都是隨著x的增大而減小，
反比例函數(shù)的圖象上有，兩點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
故選：A．
12．（2024·湖北武漢·中考真題）某反比例函數(shù)具有下列性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，寫出一個(gè)滿足條件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．直接根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)寫出符合條件的的值即可．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴
故答案為：1（答案不唯一）．
13．（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)都在第一象限．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】2,1
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)得出，設(shè)，則，結(jié)合完全平方公式的變形與應(yīng)用得出，結(jié)合，則，即可作答．
【詳解】解：如圖：連接
∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且
∴
設(shè)，則
∵
∴
則
∵點(diǎn)在第一象限
∴
把代入得
∴
經(jīng)檢驗(yàn)：都是原方程的解
∵
∴
故答案為：
?考向四 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義
14．（2024·重慶·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A．B．3C． D．6
【答案】C
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例解析式，把代入求解即可．
【詳解】解：把代入，得
．
故選C．
15．（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂器中弦振動(dòng)的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動(dòng)頻率f為200赫茲，則k的值為 ．
【答案】180
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，把，代入求解即可．
【詳解】解：把，代入，得，
解得，
故答案為：180．
16．（2024·安徽·中考真題）已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則k的值為（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意得出，代入反比例函數(shù)求解即可
【詳解】解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴，
∴，
∴，
故選：A
17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作的垂線與反比例的圖象交于點(diǎn)B，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（負(fù)值舍去），
故選：A．
18．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)，在軸上，若點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標(biāo)相同以及點(diǎn)在反比例函數(shù)上得到的坐標(biāo)，進(jìn)而用代數(shù)式表達(dá)AB的長度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標(biāo)相同
的縱坐標(biāo)是
在反比例函數(shù)圖象上
將代入函數(shù)中，得到
的縱坐標(biāo)為
即：
解得：
故答案為：．
19．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結(jié)論有 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①②④
【分析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當(dāng)最小，則最小，設(shè)，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，可得，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．
【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；
∴，
∴，故①符合題意；
如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，
∵，
∴，
∴，
∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；
如圖，連接，
∵軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴當(dāng)最小，則最小，
設(shè)，
∴，
∴，
∴的最小值為，故③不符合題意；
如圖，設(shè)平移距離為，
∴，
∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合題意；
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
?考向五 求反比例函數(shù)的解析式
20．（2024·西藏·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)請(qǐng)直接寫出滿足的x取值范圍．
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：
（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：依題意，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)的解析式為；
又為一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，
．
∵，兩點(diǎn)均在一次函數(shù)的圖象上，
，解得，
一次函數(shù)的解析式為．
綜上所述，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為；
（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)，自變量的取值范圍為或，
∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．
21．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上（不與點(diǎn)A重合）的一點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，過點(diǎn)作軸的垂線與的圖象交于點(diǎn)，當(dāng)線段時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將點(diǎn)A繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的圖象上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)點(diǎn)．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)點(diǎn)，那么點(diǎn)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；
（3）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，則設(shè)點(diǎn)，得到點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出n值，繼而得到點(diǎn)E坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將代入得，
，
將代入得，解得，
反比例函數(shù)表達(dá)式為，
（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)，那么點(diǎn)，

由可得，
所以，
解得（舍），
;
（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)，
點(diǎn)，
，
解得，
點(diǎn)或（舍），此時(shí)點(diǎn)．
?考向一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
22．（2024·新疆·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，結(jié)合圖象判斷下列結(jié)論：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；點(diǎn)是的中點(diǎn)；在的圖象上任取點(diǎn)Px1,y1和點(diǎn)Qx2,y2，如果，那么；．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，故正確；
∵，
∴在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，
當(dāng)在同一象限內(nèi)時(shí)，如果，那么；當(dāng)不在同一象限內(nèi)時(shí)，如果，那么，故錯(cuò)誤；
∵軸，
∴，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，故正確；
∴正確結(jié)論有個(gè)，
故選：．
23．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且垂直于x軸的直線l與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，所得的直線經(jīng)過第一、二、四象限，則的取值范圍是（ ）
A．或B．且
C．或D．或
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，一次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．
當(dāng)在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為：，得到，求出；當(dāng)在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為：，，求出，即可得到的取值范圍．
【詳解】解：當(dāng)在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
所得的直線與直線平行，
設(shè)這條直線的解析式為：，
這條直線經(jīng)過第一、二、四象限，
，
在直線上，
，
，
，
，
；
當(dāng)在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
設(shè)這條直線的解析式為：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范圍是或．
故選：C．
24．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，．則滿足的的取值范圍 ．
【答案】或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，
∴滿足的的取值范圍為或，
故答案為：或．
25．（2024·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)求k與m的值；
(2)連接，并延長交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C．若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，確定反比例函數(shù)及一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意將點(diǎn)代入反比例函數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)題意及反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，設(shè)直線所在直線的解析式為，利用待定系數(shù)法即可求解．
【詳解】（1）解：兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．
∴，
∴，
將點(diǎn)代入得：，解得：；
（2）∵連接，并延長交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，
∴，
∵，
設(shè)直線所在直線的解析式為，代入得：，
解得：，
∴．
26．（2024·山西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)B．
(1)求m，a的值，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)根據(jù)圖象可得，不等式的解集為______．
【答案】(1)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)或
【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）將點(diǎn)A代入一次函數(shù)即可得出，再將點(diǎn)A代入反比例函數(shù)即可確定函數(shù)解析式，進(jìn)而即可得出交點(diǎn)；
（2）結(jié)合圖象，找出一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象下方的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，
∴將代入中，得，
∴．
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴將代入中，得，
解得．
聯(lián)立，
解得：或
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）由圖象得：當(dāng)一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)圖象下方，即時(shí)，或，
故答案為：或．
27．（2024·山東·中考真題）列表法、表達(dá)式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)與部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
(1)求、的值，并補(bǔ)全表格；
(2)結(jié)合表格，當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，補(bǔ)全表格見解析
(2)的取值范圍為或；
【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，利用圖像法寫自變量的取值范圍；
（1）根據(jù)表格信息建立方程組求解的值，再求解的值，再補(bǔ)全表格即可；
（2）由表格信息可得兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖像可得答案.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，
∵當(dāng)時(shí)，，即，
∴反比例函數(shù)為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
補(bǔ)全表格如下：
（2）由表格信息可得：兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
∴當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方時(shí)，的取值范圍為或；
?考向二 實(shí)際問題與反比例函數(shù)
28．（2024·河北·中考真題）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識(shí)．淇淇家計(jì)劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若x減小，則y也減小D．若x減小一半，則y增大一倍
【答案】C
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，先確定反比例函數(shù)的解析式，再逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵淇淇家計(jì)劃購買500度電，平均每天用電x度，能使用y天．
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，故A不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，故B不符合題意；
∵，，
∴當(dāng)x減小，則y增大，故C符合題意；
若x減小一半，則y增大一倍，表述正確，故D不符合題意；
故選：C．
29．（2024·海南·中考真題）某型號(hào)蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系，即，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U為 （V）．
【答案】64
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)函數(shù)圖象可用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為，其中U為電壓，再把代入可得U的值．
【詳解】解：設(shè)用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為，
∵過，
∴（V），
故答案為：64．
30．（2024·江蘇連云港·中考真題）杠桿平衡時(shí)，“阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動(dòng)力為，動(dòng)力臂為．則動(dòng)力關(guān)于動(dòng)力臂的函數(shù)表達(dá)式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意可得，進(jìn)而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
∴，即，
故答案為：．
31．（2024·吉林·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．
(2)當(dāng)電阻R為時(shí)，求此時(shí)的電流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求求出當(dāng)時(shí)I的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)的電流I為．
?考向三 反比例函數(shù)與幾何綜合
32．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則恒成立．
②在半徑為r的中，弦互相垂直于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則．
③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則．
④已知矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對(duì)角線長是．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷①；過點(diǎn)O作，垂足分別為M，N，連接，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理，垂徑定理求解即可判斷②；先證明，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求解，進(jìn)而判斷③；先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出的值，再根據(jù)題意得出一元二次方程，求出a的值，進(jìn)而求解即可判斷④．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
∴，故①正確；
如圖，過點(diǎn)O作，垂足分別為M，N，連接，
∴M、N分別為的中點(diǎn)，，
∵弦互相垂直，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故②正確；
當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴
∵點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，
∴；
當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，同理可得
∴；
綜上，或，故③錯(cuò)誤；
設(shè)矩形兩邊分別為m，n，
∵矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，
∴，
∴，
解得（負(fù)舍），
∴，
∵矩形對(duì)角線，故④正確；
綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
33．（2024·山東德州·中考真題）如圖點(diǎn)A，C在反比例函的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)的圖象上，軸，若，，與的距離為5，則的值為（ ）
A．B．1C．5D．6
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等量關(guān)系式．設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 ，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，，得到，根據(jù)與的距離為5，把代入中，即可求解．
【詳解】解：設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 ，
∵軸，
∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∵，，
∴ ，
解得 ，
∵與的距離為5，
∴ ，
把代入中，得：
，
即，
解得：，
故選：D．
34．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（ ）
A．4.5B．3.5C．3D．2.5
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，證明，有，根據(jù)E為的中點(diǎn)，可得，，進(jìn)而有，，可得，，則有，問題隨之得解．
【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，垂足為F，
設(shè)，，
∵軸，，
∴軸，，
∴，
∴，
∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
35．（2024·湖北·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象在第一象限的部分交于點(diǎn)．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函數(shù)的圖象在第一象限部分上的點(diǎn)，且的面積小于的面積，直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，得到直線解析式，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求出，把點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出值即可；
（2）根據(jù)題意，列出不等式，解答即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，
解得，
直線解析式為，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得，
解得，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：，
解得，
（2）∵
反比例函數(shù)解析式為，
的面積小于的面積，
，即，
點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，且在第一象限，
，
．
一、單選題
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數(shù)的增減性比較大小，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，則，．
【詳解】解：∵，
∴函數(shù)（k為常數(shù)）的圖像分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，
∵，
∴，，
∴．
故選：C．
2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在化學(xué)課上，老師教同學(xué)們配制食鹽溶液，若有食鹽，則溶液的濃度y與加水后溶液質(zhì)量x之間的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)題意求出y與x的函數(shù)解析式，即可判斷其圖象．
【詳解】解∶根據(jù)題意，得，即．
∴函數(shù)圖象為雙曲線在第一象限的部分．
故答案：C．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：）是氣體體積（單位：）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積應(yīng)（ ）
A．不大于B．不小于C．不大于D．不小于
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式的方法和步驟，設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為，把代入求出，得出該反比例函數(shù)的解析式為，再把代入求出，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，即可解答．
【詳解】解：設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴該反比例函數(shù)的解析式為，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴在第一象限內(nèi)，p隨V的增大而減小，
∴為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于，
故選：B．
4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在反比例函數(shù) 的圖象上有兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)的的取值范圍，能根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷所在象限是解答本題的關(guān)鍵．
先根據(jù)“當(dāng)，”得到反比例函數(shù)在二、四象限，進(jìn)而得到，求解即可解答本題．
【詳解】解：時(shí)，，
反比例函數(shù)在二、四象限，
，
解得：，
故選：A．
5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的的圖像上，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖像及增減性，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限，
∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的的圖像上，
又，
∴．
故選：C
6．（2024·重慶·三模）下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將橫、縱坐標(biāo)分別相乘其積為者，即為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，據(jù)此即可判斷求解，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由得，，
、∵，
∴點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)符合題意；
、∵，
∴點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)不合題意；
、∵，
∴點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)不合題意；
、∵，
∴點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)不合題意；
故選：．
7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．y隨x的增大而增大B．圖象在第一、三象限
C．圖象經(jīng)過點(diǎn)D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，求反比例函數(shù)值，根據(jù)解析式得到函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，據(jù)此可判斷A、B；求出時(shí)的函數(shù)值即可判斷C；反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，據(jù)此可判斷D．
【詳解】解：對(duì)于反比例函數(shù)，∵．
∴該函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；把代入中，得，
∴圖象不經(jīng)過點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)D正確．
故選D．
8．（2024·北京·模擬預(yù)測）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們用表示不超過的最大整數(shù)．下列表述錯(cuò)誤的是？（ ）
A．
B．函數(shù)的最大值為1，最小值為0
C．函數(shù)不存在對(duì)稱軸
D．隨著的增大，函數(shù)和函數(shù)越來越接近
【答案】B
【分析】本題考查了函數(shù)的函數(shù)值問題，解題的關(guān)鍵是理解的含義，通過取特殊值法來進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．正確，不符合題意；
B．函數(shù)沒有最大值，最小值為0，故表述錯(cuò)誤，符合題意；
C．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)不存在對(duì)稱軸，正確，不符合題意；
D．隨著的增大，函數(shù)和函數(shù)的函數(shù)值越來越接近0，正確，不符合題意；
故選：B．
9．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某個(gè)亮度可調(diào)節(jié)的臺(tái)燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實(shí)現(xiàn)．如圖所示的是該臺(tái)燈的電流．與電阻的關(guān)系圖象，該圖象經(jīng)過點(diǎn)．根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．I與R的函數(shù)關(guān)系式是
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，I的取值范圍是
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意設(shè)I與R的函數(shù)關(guān)系式是，將代入關(guān)系式，求出反比例函數(shù)關(guān)系式再根據(jù)各選項(xiàng)的條件求出結(jié)論，即可判斷是否正確，進(jìn)而得到答案．
【詳解】解：設(shè)I與R的函數(shù)關(guān)系式是，
∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴I與R的函數(shù)關(guān)系式是，故B不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴I隨R增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，
故A、C不符合題意，D符合題意．
故選：D．
10．（2024·山西·二模）物理實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們分別測量電路中經(jīng)過甲、乙、丙、丁四個(gè)用電器的電流和它們兩端的電壓，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，在如圖的坐標(biāo)系中依次畫出相應(yīng)的圖象．根據(jù)圖象及物理學(xué)知識(shí)，可判斷這四個(gè)用電器中電阻最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖示得出，，利用不等式的性質(zhì)得出，，，則可得出丙的電阻大于甲的電阻，丙的電阻大于丁的電阻，丁的電阻大于乙的電阻，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
由圖象知：，，
∴，，
∴丙的電阻大于甲的電阻，丙的電阻大于丁的電阻，
同理丁的電阻大于乙的電阻，
∴這四個(gè)用電器中電阻最大的是丙，
故選：C．
11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)B，若點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值是（ ）
A．12B．C．6D．
【答案】B
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的綜合，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)反比例解析式求參數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出點(diǎn)的坐標(biāo)B，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可求出參數(shù)的值．
【詳解】解：點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)B，如圖所示：
點(diǎn)，
點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，
將代入得：，
解得：，
故選：B．
12．（2024·河北·模擬預(yù)測）若k的取值范圍在數(shù)軸上的表示如圖所示，且，則反比例函數(shù)的圖象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)正，根據(jù)數(shù)軸可得，分別求出各個(gè)選項(xiàng)的解析式，再判斷即可．
【詳解】由數(shù)軸可得，
A.過，則，符合題意；
B.過，則，不符合題意；
C.過，則，不符合題意；
D.過，則，不符合題意；
故選：A．
13．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若是的中位線，的面積為12，則的值是（ ）

A．B．C．6D．12
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)、三角形的中位線，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，先根據(jù)三角形的中位線可得，從而可得，再根據(jù)三角形的面積公式可得的值，由此即可得．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
∵是的中位線，
∴，
∴，
∵的面積為12，軸，
∴，即，
又∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，
∴，
故選：B．
14．（2024·湖北·二模）平移是初中學(xué)習(xí)過的重要初等變換，如：拋物線向右平移兩個(gè)單位可以得到拋物線．依據(jù)這個(gè)規(guī)律，則方程的根的個(gè)數(shù)共有（ ）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查函數(shù)圖像法解方程，反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與平移，畫函數(shù)圖像，掌握函數(shù)圖像法解方程，反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與平移，畫函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵．先將方程變形整理，得出函數(shù)與函數(shù)都向右平移兩個(gè)單位，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，，反比例函數(shù)位于一三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，畫出的圖像，二次函數(shù)頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸y軸，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二象限，在第一象限，隨x的增大而增大，畫出函數(shù)圖像，得出兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)即可．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴函數(shù)與函數(shù)，都向右平移兩個(gè)單位，
∴交點(diǎn)個(gè)數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，
∵，反比例函數(shù)位于一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
列表
描點(diǎn)，連線如圖
二次函數(shù)頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸y軸，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二象限，在第一象限，隨x的增大而增大，
列表
描點(diǎn)連線
∴兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程的只有一個(gè)根．
故選：C．
15．（2024·湖北武漢·三模）正弦函數(shù)在的圖象如圖所示，若點(diǎn)P在該函數(shù)圖象上，且（k是常數(shù)，），則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)最多是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)，，k是常數(shù)，，可知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，在同一坐標(biāo)系中畫出兩者的函數(shù)圖象，觀察反比例函數(shù)圖象和正弦函數(shù)在的圖象最多能有幾個(gè)交點(diǎn)即可求解．
【詳解】解： ，k是常數(shù)，，
點(diǎn)P在函數(shù)（）的圖象上，在同一坐標(biāo)系中畫出兩者的函數(shù)圖象如圖所示，
根據(jù)圖象可知，反比例函數(shù)（）圖象和正弦函數(shù)在的圖象交點(diǎn)最多為4個(gè)，
滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)最多是4個(gè)．
故選：C．
16．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)，是反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e為定值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意并掌握相關(guān)知識(shí)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：此時(shí)點(diǎn)到的距離是點(diǎn)在下方反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)到的最大距離，即點(diǎn)位于點(diǎn)或或處（點(diǎn)，，到直線的距離相等），當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即為所求，先求出，，進(jìn)而求出，再將直線向左平移個(gè)單位，得到直線DE，使得該直線與反比例函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線DE的解析式為，與反比例函數(shù)聯(lián)立可得，然后利用判別式求出，進(jìn)而求出，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
當(dāng)?shù)拿娣e為定值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)，
此時(shí)點(diǎn)到的距離是點(diǎn)在下方反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)到的最大距離，即點(diǎn)位于點(diǎn)或或處（點(diǎn)，，到直線的距離相等），
由圖可知，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即為所求，
聯(lián)立：，
解得：或，
，，
此時(shí)，
將直線向左平移個(gè)單位，得到直線DE，使得該直線與反比例函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，
直線DE的解析式為，
與反比例函數(shù)聯(lián)立可得：，
整理得：，
反比例函數(shù)與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
，
解得：或（不合題意，舍去），
，
解得：，
，
，
故選：B．
二、填空題
17．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，則 （填、或）．
【答案】
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)．
結(jié)合反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：反比例函數(shù)中，
該函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，且在二、四象限中均有隨著的增大而增大，
，，
．
故答案為：．
18．（2024·山西·模擬預(yù)測）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)系數(shù)k與函數(shù)圖象的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，
∴此反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
∴．
故答案為：．
19．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則的面積等于 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，理解的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
延長交軸于，連接、，可求，，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交軸于，連接、，
軸，
，
，
，
故答案：．
20．（2024·廣東·模擬預(yù)測）物理課上老師講到鏡面成像時(shí)提到老花鏡鏡片的度數(shù)與焦距呈反比例函數(shù)的關(guān)系，引起了大家探究的興趣．小明找了幾副度數(shù)不同的老花鏡，讓鏡片正對(duì)著太陽光，并上下移動(dòng)鏡片，直到地上的光斑最?。藭r(shí)他測量了鏡片與光斑的距離，得到如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，當(dāng)老花鏡的鏡片與光斑的距離為時(shí)，老花鏡的度數(shù)是 度．
【答案】
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再把代入計(jì)算即可求解，正確求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可知：D與f成反比例函數(shù)，設(shè)，把代入得，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
21．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）小華設(shè)計(jì)了一個(gè)探究杠桿平衡條件的實(shí)驗(yàn)：如圖，在一根勻質(zhì)的木桿中點(diǎn)O 的左側(cè)固定位置B 處懸掛重物A，在中點(diǎn)O 的右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，改變彈簧秤與點(diǎn) O 之間的距離x（單位：），觀察彈簧秤的示數(shù)y（單位：）的變化情況．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如下表：
猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)解析式為 ．（不需要寫出自變量x 的取值范圍）
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，觀察可知表格中每對(duì)x與y的乘積相等，則猜測y與x之間滿足反比例關(guān)系，據(jù)此利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解析：表格中每對(duì)x與y的乘積相等，
猜測y與x之間滿足反比例關(guān)系，
設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入，得．
與x之間的函數(shù)解析式為．
將其余各點(diǎn)代入驗(yàn)證均成立．
故答案為：．
22．（2024·山西·模擬預(yù)測）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)與汽缸內(nèi)氣體的體積成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了 ．
【答案】15
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)，利用待定系數(shù)法求出，再分別求出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：設(shè)，
把代入中得：，解得
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴若壓強(qiáng)由加壓到，則氣體體積壓縮了，
故答案為：15．
23．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，的延長線垂直于x軸，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像和之間，寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)榈难娱L線垂直于軸，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及縱坐標(biāo)的下限，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象和之間，確定點(diǎn)縱坐標(biāo)的上限，從中可以找出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】的延長線垂直于軸，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象和之間，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，當(dāng)時(shí)，的值，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于，
符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)大于1小于即可，可以為，
故答案為：．
24．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】
【分析】直接根據(jù)解答即可．本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
，
解得．
故答案為：．
25．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知P、Q兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，求出，分別代入各自所在函數(shù)解析式，通過方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
點(diǎn)，
P、Q兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)和的圖象上，
解得：，
故答案為∶1．
26．（2024·北京·模擬預(yù)測）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（A在第二象限），則的值為 ．
【答案】10
【分析】本題為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合．根據(jù)反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征推出與與的關(guān)系，直線與雙曲線交點(diǎn)的特征推出與與的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
先根據(jù)點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2是雙曲線上的點(diǎn)可得出，再根據(jù)直線與雙曲線交于點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)可得，再把此關(guān)系代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2是雙曲線上的點(diǎn)，
，
∵直線與雙曲線交于點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)，
即兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
，
，
故答案為：10．
27．（2024·安徽·三模）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，軸交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)N，P為x軸上任一點(diǎn)，若，則k的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，先求解，，，可得，再利用面積公式建立方程求解即可．
【詳解】解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴，，
∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，
∴，
∵軸交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)N，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：
28．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，…，是x軸上的點(diǎn)，且，分別過點(diǎn)，，，…，，作x軸的垂線交反比例函數(shù)（x>0）的圖象于點(diǎn)，，，…，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，…，記的面積為，的面積為，…，的面積為Sn，則等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象找規(guī)律的問題，熟練掌握反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法由個(gè)例總結(jié)出一般規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．
由可得，，，…，的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式底高，計(jì)算出每一個(gè)三角形的底和高之后，分別列出每一個(gè)三角形的面積計(jì)算式，觀察規(guī)律即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，，，…，，
∵，，，…，在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
故答案為：．
三、解答題
29．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于兩點(diǎn)．
(1)①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
②求的面積．
(2)在x軸的負(fù)半軸上，是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
（1）①將代入 可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式為： ；進(jìn)一步可得；將、代入即可求解；②設(shè)一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，可求得，根據(jù)即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，分類討論，，，三種情況即可求解；
【詳解】（1）解：①將代入 得： ，
解得：；
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為： ；
∴，即：；
將、代入得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：
②設(shè)一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，如圖所示：
由得；
∴
∴
（2）解：設(shè)點(diǎn)，
，則，
解得：；
，則，
解得：或（舍）；
，則，
解得：；
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或
30．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．
(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求k，a的值；
(2)根據(jù)圖象，比較和的大?。?br>【答案】(1)，，
(2)見解析
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．
（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得k、a的值，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)觀察函數(shù)圖象，可得答案；
【詳解】（1）解：把分別代入，，得，，
解得，；
∵反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)是；
（2）解：觀察函數(shù)圖象得，當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，；
31．（2024·安徽·模擬預(yù)測）人工智能飲水機(jī)在接通電源后開始自動(dòng)加熱，加熱過程中，水溫與通電的時(shí)間成一次函數(shù)關(guān)系，水溫每分鐘上升，加熱到時(shí)，飲水機(jī)自動(dòng)停止加熱．在水溫開始下降時(shí)，水溫與通電的時(shí)間成反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)水溫降至室溫時(shí)，飲水機(jī)再次自動(dòng)加熱，重復(fù)上述過程．設(shè)某天水溫和室溫均為，接通電源后，水溫與通電時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．
(1)求a的值；
(2)求加熱一次，水溫不低于的時(shí)間有多長？
【答案】(1)
(2)9分鐘
【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法和步驟．
（1）先用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再把代入，即可求出a的值；
（2）先求出一次函數(shù)解析式，再分別求出時(shí)的x的值，即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)反比函數(shù)解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函數(shù)解析式為，
把代入得：，
解得：；
（2）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，
把代入得：
，
解得：，
∴一次函數(shù)解析式為，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴水溫不低于的時(shí)間有．
32．（2024·湖南·模擬預(yù)測）物理實(shí)驗(yàn)課上，小明為探究電流與接入電路的滑動(dòng)變阻器之間的關(guān) 系，設(shè)計(jì)如圖所示的電路圖．已知電源的電壓保持不變，小燈泡的電阻為．改變接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻， 電流表的讀數(shù)即電流發(fā)生改變．當(dāng)接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為時(shí)，電流表的讀數(shù)為．
(1)求電路中的電阻關(guān)于接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻之間的函數(shù)關(guān)系，
(2)求電流關(guān)于電路中的電阻的函數(shù)關(guān)系；
(3)如果電流表的讀數(shù)為，則接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)應(yīng)用，掌握串聯(lián)電路的特點(diǎn)以及歐姆定理是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)可知，燈泡與滑動(dòng)變阻器串聯(lián)接入電路，則電路中的總電阻等于各部分的電阻之和，即可求解；
（2）由歐姆定律可知，，進(jìn)而得出電源的電壓為，即可求解；
（3）將代入（2）所求解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，燈泡與滑動(dòng)變阻器串聯(lián)接入電路，則電路中的總電阻等于各部分的電阻之和，
電路中的電阻；
（2）解：由歐姆定律可知，，
由題意可知，小燈泡的電阻為，當(dāng)接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為時(shí)，電流表的讀數(shù)為，
，解得：，
即電源的電壓為，
電流關(guān)于電路中的電阻的函數(shù)關(guān)系為；
（3）解：電流表的讀數(shù)為，
，
解得：，
答：接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為．
33．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn)．
(1)試求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)請(qǐng)直接寫出的解集．
(3)現(xiàn)把的圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了．試問在函數(shù)圖象上是否存在一動(dòng)點(diǎn)，使是以為底邊的等腰三角形？如果有，請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)反比例函數(shù)表達(dá)式為；正比例函數(shù)表達(dá)式為；
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定即可得到表達(dá)式，再聯(lián)立方程組求解即可得到答案；
（2）的解集是指反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，數(shù)形結(jié)合求解即可得答案；
（3）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合直線性質(zhì)得到，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性及中垂線的判定與性質(zhì)得到，若使是以為底邊的等腰三角形，則，結(jié)合含的直角三角形性質(zhì)得到線段，最后由兩點(diǎn)之間距離公式列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)，
，即反比例函數(shù)表達(dá)式為；
，即正比例函數(shù)表達(dá)式為；
反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn)，
聯(lián)立，解得或，即；
（2）解：的解集是指反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，如圖所示：
、，
當(dāng)或時(shí)，反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方，即的解集是或
（3）解：如圖所示：
把的圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了，
直線垂直直線，
與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
直線是線段的垂直平分線，
當(dāng)在直線上時(shí)，由垂直平分線性質(zhì)可得，
若使是以為底邊的等腰三角形，則，
此時(shí)是等邊三角形，
在中，，，則，由勾股定理可得，
設(shè)，則，解得或，
或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式、直線與雙曲線的交點(diǎn)、利用圖象法解不等式、函數(shù)與特殊三角形、中垂線的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間距離公式等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)、靈活運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
34．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖矩形中，，點(diǎn)為邊上的三等分點(diǎn)（），動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長度，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為．

(1)請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并注明自變量的取值范圍；
(2)若函數(shù)，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；
(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍?
【答案】(1)
(2)圖見解析，當(dāng)時(shí)，隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨著x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?br>(3)或
【分析】（1）分和兩種情況分別求出函數(shù)解析式即可；
（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫出性質(zhì)即可；
（3）結(jié)合圖象寫出答案即可．
【詳解】（1）解：在矩形中，，，
∵點(diǎn)為邊上的三等分點(diǎn)（），
∴，，
分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在邊上，則
；
②當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在邊上，則
∴
；
綜上，關(guān)于的函數(shù)解析式為：；
（2）解：用描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象即可，
當(dāng)時(shí)，隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨著x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?br>（3）解：由圖象可得，當(dāng)時(shí)的取值范圍為或；
【點(diǎn)睛】此題考查了求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，畫一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，三角形面積，圖象法求不等式解集．?dāng)?shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
35．（2024·吉林·二模）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓P(單位：)是氣體體積V(單位：)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．
(2)求當(dāng)氣球的體積是時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？
(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨?，氣球的體積應(yīng)不小于 立方米．
【答案】(1)
(2)當(dāng)氣球的體積是時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓是120千帕
(3)為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于立方米
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）將，代入解析式即可求解；
（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒈ǎ瑒t當(dāng)千帕?xí)r，列出不等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得在該函數(shù)圖象上，
，
解得：，
反比例函數(shù)的解析式；
（2）把代入，
得（千帕），
∴當(dāng)氣球的體積是時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓是120千帕；
（3）由題意知，，
解得，
∴為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于立方米．
故答案為：．
36．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）2023年新能源汽車?yán)^續(xù)保持快速增長，產(chǎn)銷突破了900萬輛，市場占有率超過，汽車出口再創(chuàng)新高，全年出口接近500萬輛．為繼續(xù)擴(kuò)大銷量，某城市新能源汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動(dòng)，交付首付款后，若余款在60個(gè)月內(nèi)結(jié)清，則不計(jì)算利息．張先生在該銷售商手上購買了一輛價(jià)值為20萬元的新能源汽車，交了首付款后余款由平均每月付款y萬元，x個(gè)月結(jié)清．y與x滿足某函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)值如下表，請(qǐng)回答下列問題．
(1)確定y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出首付款；
(2)若張先生用40個(gè)月結(jié)清，則平均每月應(yīng)付多少萬元；
(3)如果張先生打算每月付款萬元，那么他能否在規(guī)定不計(jì)算利息的期限內(nèi)結(jié)算？
【答案】(1)（的整數(shù)），首付款為6萬元
(2)平均每月應(yīng)付萬元
(3)他能在規(guī)定不計(jì)算利息的期限內(nèi)結(jié)算
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解答本題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式．
（1）利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，知道自變量，便可求出函數(shù)值；
（3）知道了y的值，利用解析式即可求出自變量的值．
【詳解】（1）解：由表格猜想y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，
設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)，，代入表達(dá)式得，
，
與x的函數(shù)表達(dá)式為（的整數(shù)），
經(jīng)檢驗(yàn)表中其他各組對(duì)應(yīng)值均滿足此表達(dá)式，
當(dāng)時(shí)，，
（萬元）．
首付款為6萬元；
（2）當(dāng)時(shí)，（萬元），
答：平均每月應(yīng)付0.35萬元；
（3）當(dāng)時(shí)，，
解得，
，
答：他能在規(guī)定不計(jì)算利息的期限內(nèi)結(jié)算．
37．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）定義：A 是函數(shù)y 的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn) A 作一條直線 l，如果函數(shù) y 的圖象沿直線l 翻折，直線l兩旁的函數(shù)圖象能夠完全重合，那么點(diǎn) A 叫做這個(gè)函數(shù)的“和諧點(diǎn)”，直線 l 叫做這個(gè)函數(shù)的“和諧線”，一個(gè)函數(shù)可以有多個(gè)“和諧點(diǎn)”和多條“和諧線”．
(1)①若一次函數(shù) 的一個(gè)“和諧點(diǎn)”是，則過點(diǎn) A 的“和諧線”是直線 ；
②反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn) ，“和諧線”是直線 ；
③二次函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn) ．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 的頂點(diǎn)B，C 均在坐標(biāo)軸上，，對(duì)角線 ， 相交于點(diǎn)D．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”在矩形的邊上．
①若函數(shù))的圖象與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，且函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”在 邊上，求a 的取值范圍；
②已知函數(shù) 的圖象在矩形內(nèi)的部分y 隨x 的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y的最大值與最小值的差是，直接寫出 的值．
【答案】(1)①；②和，；③
(2)①且；②或
【分析】（1）①求出“和諧線”與x軸的交點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求解即可；
②根據(jù)題意可知：反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其圖象與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，“和諧線”是與其圖象有交點(diǎn)對(duì)稱軸，可知“和諧線”是直線，再聯(lián)立方程組求交點(diǎn)即可；
③根據(jù)題意可知：二次函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”是其圖象的頂點(diǎn)，再將解析式化為頂點(diǎn)式即可得解；
（2）①根據(jù)圖象過點(diǎn)A和“和諧點(diǎn)”在 邊上，推導(dǎo)，再求出臨界情況當(dāng)，且點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)和當(dāng)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合時(shí)，兩種情況下的a值，再根據(jù)點(diǎn)A、E不重合得到，從而利用“a的絕對(duì)值越小，二次函數(shù)圖象的開口越大”得解；
②分當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，三種情況討論，分別求出它們的最值，再根據(jù)y的最大值與最小值的差是列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：①畫出直線及其“和諧線”，
設(shè)直線交x軸于點(diǎn)，
令，解得：，
∴，
設(shè) “和諧線”與x軸交于點(diǎn)，
又∵，
∴，，
，
由題意可知：，即，
∴，即，
解得：，
∴，
設(shè)過點(diǎn) A 的“和諧線”是直線，
將點(diǎn)A、C代入得：，
解得：，
∴過點(diǎn) A 的“和諧線”是直線，
故答案為：；
②根據(jù)題意可知：反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其圖象與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，“和諧線”是與其圖象有交點(diǎn)對(duì)稱軸，
∴“和諧線”是直線，
令，
解得：，，
∴反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn)和，
故答案為：和，；
③根據(jù)題意可知：二次函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”是其圖象的頂點(diǎn)，
∵，
二次函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn)，
故答案為：；
（2）①∵矩形對(duì)角線 ， 相交于點(diǎn)D，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，
∴，
又，
∴是的中位線，
∴，
∴．
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∴，
由（1）③可知二次函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其頂點(diǎn)，
∵函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”在 邊上，
∴函數(shù) 的圖象的頂點(diǎn)在上，
∴，
∴，，
∴，
如下圖，當(dāng)，且點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，
將點(diǎn)代入得：，
解得：，
如下圖，當(dāng)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合時(shí)，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，延長到點(diǎn)F，使得，連接，
∵，，
∴是的中位線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)代入得：，
解得：，
設(shè)直線的解析式是，
將點(diǎn)代入解得：，
∴設(shè)直線的解析式是，
當(dāng)二次函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)A時(shí)，，
整理得：，
∴，
解得：，
∵函數(shù))的圖象與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)A、E，
∴，
∵a的絕對(duì)值越小，二次函數(shù)圖象的開口越大，
∴a的取值范圍是且；
②a的值為或，理由如下，
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，在矩形內(nèi)的部分y 隨x 的增大而增大，函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”在矩形的邊上，
∴函數(shù) 的“和諧點(diǎn)”在 邊上，
∴，對(duì)稱軸是y軸，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
(I)當(dāng)，即時(shí)，如下圖所示：
在的范圍內(nèi)，函數(shù)隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∵y的最大值與最小值的差是，
∴，
解得：(不合題意，舍去)
當(dāng)，且，即時(shí)，
在的范圍內(nèi)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，
(II)當(dāng)，即時(shí)，
如下圖，在的范圍內(nèi)，函數(shù)在處取最大值
又∵y的最大值與最小值的差是，
∴，
解得：(舍去)，(舍去)，，
(III)當(dāng)，即時(shí)，
如下圖，在的范圍內(nèi)，函數(shù)在處取最大值
又∵y的最大值與最小值的差是，
∴，
解得：(舍去)，(舍去)，，
綜上所述：a的值為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，閱讀與理解能力，化頂點(diǎn)式，求兩函數(shù)的交點(diǎn)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)算量較大，理解題意中的概念將 “和諧點(diǎn)”是其圖象與對(duì)稱軸的交點(diǎn)與其圖象有交點(diǎn)對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．
課標(biāo)要求
考點(diǎn)
考向
1. 結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；
2. 能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式探索并理解k>0和k0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?br>當(dāng)k

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