1. 若，則a的值為（ ）
A. 或1或2B. 或1C. 或2D. 2
2. 設集合，，，則（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，，則集合 的關系是（ ）
A. B.
C. D.
4. 設等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，且，則“的周長為16”是“其中一條邊長為6”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 下面命題正確的是（ ）
A. 已知，則“”是“”的充要條件
B. 命題“若，使得”的否定是“”
C. 已知，則“”是“”的既不充分也不必要條件
D. 已知，則“”是“”的必要不充分條件
6. 已知，下列選項中正確的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正實數，滿足，則的最小值為（ ）
A. 24B. 25C. 26D. 27
8. 若不等式有且只有三個整數解，實數的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設全集為，在下列選項中，是充要條件的有（ ）
A B.
C. D.
10. 對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（ ）
A. 若A，且，則
B. 若A，且，則
C. 若A，且，則
D. 存在A，，使得
11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，則（ ）
A. ab的最大值為B. 的最大值是2
C. 的最小值是18D. 的最小值是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，，則的取值范圍為________.
13. 已知方程，求的取值范圍_________．
14. 高一某班共有54人，每名學生要從物理、化學、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇3門進行學習.已知選擇物理的有32人，選擇化學的有24人，選擇生物的有22人，其中選擇了物理和化學的有18人，選擇了化學和生物的有10人，選擇了物理和生物的有16人.那么班上選擇物理或者化學或者生物的學生最多有______人.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、明過程或演算步驟.
15. 已知命題，命題.
（1）若命題為真命題，求實數的取值范圍；
（2）若命題和均為真命題，求實數的取值范圍.
16 已知集合，A=x|4x?x2>0，.
（1）當時，求
（2）若，求范圍.
17. 為了豐富學生的課余生活、給學生更好的校園生活體驗，某高中決定擴大學校規(guī)模，為學生打造一所花園式的校園．學校決定在原有的矩形花園的基礎上，拓展建成一個更大的矩形花園．為了方便施工，建造時要求點B在上，點D在上，且對角線過點C，如圖所示．已知．
（1）當的長度為多少時，矩形的面積最小？并求出最小面積．
（2）要使矩形的面積大于，則的長應在什么范圍內？
18. 設，為正實數，且
（1）求和的值；
（2）求的最小值．
（3）求的最小值.
19. 高斯，著名的數學家、物理學家、天文學家、是近代數學奠基者之一，享有“數學王子”之稱.函數成為高斯函數，其中表示不超過實數的最大整數，如，.
（1）求的解集和的解集.
（2）若，恒成立，求取值范圍
（3）若的解集為，求的范圍.
2024-2025學年湖北省十堰市高一上學期9月月考數學質量檢測試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若，則a的值為（ ）
A. 或1或2B. 或1C. 或2D. 2
【正確答案】D
【分析】根據元素與集合的關系得出方程求解，結合集合中元素的互異性檢驗即可.
【詳解】因為，
所以或3或，
當時，即，此時集合中元素為1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當時，即，此時集合中元素為1,3,1，不滿足集合中元素互異性，舍去；
當時，解得或（舍去），此時集合中元素為1,3,4，符合題意.
故選：D
2. 設集合，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據題意，結合集合間的運算，即可求解.
【詳解】根據題意，易得，故．
故選：A.
3. 已知集合，，，則集合 的關系是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】對集合C分析，當n為偶數時，它與集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，從而得出集合A、B、C的關系．
【詳解】集合，
當時，，
當時，，
又集合，，
集合，集合，，
可得，
綜上可得
故選：C．
4. 設等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，且，則“的周長為16”是“其中一條邊長為6”的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據充分、必要條件等知識確定正確答案.
【詳解】若“的周長為16”，則，解得，
所以“其中一條邊長為6”.
若“其中一條邊長為6”，如，
則，此時三角形的周長為，
即無法得出“的周長為16”，
所以“的周長為16”是“其中一條邊長為6” 充分不必要條件.
故選：A
5. 下面命題正確的是（ ）
A. 已知，則“”是“”的充要條件
B. 命題“若，使得”的否定是“”
C. 已知，則“”是“”的既不充分也不必要條件
D. 已知，則“”是“”的必要不充分條件
【正確答案】D
【分析】利用充分不必要條件的定義判斷A；利用存在量詞命題的否定判斷B；利用既不充分也不必要定義判斷C；利用必要不充分條件的定義判斷D.
【詳解】對于A，當時，或，故能推出，但不能推出，
所以“”是“”的充分不必要條件，錯誤；
對于B，由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：
命題“若，使得”的否定是“”，錯誤；
對于C，由得或，故推不出，
但是當時，一定成立，即能推出，
所以“”是“”的必要不充分條件，錯誤；
對于D，已知，當時，滿足，但是不滿足，
反之，當時，則，即，
所以“”是“”的必要不充分條件，正確.
故選：D
6. 已知，下列選項中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】用不等式的基本性質得解.
【詳解】對A選項，設，則，A錯誤；
對B選項，若,又,所以,故B正確;
對C選項，，但，C錯誤;
對D選項，，但，D錯誤.
故選:B.
7. 已知正實數，滿足，則的最小值為（ ）
A. 24B. 25C. 26D. 27
【正確答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因為，且，
所以
，
當且僅當，即時取等.
故的最小值為25.
故選：B.
8. 若不等式有且只有三個整數解，實數的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】設，則，，故可得不等式的解集中的三個整數為，據此可求參數的取值范圍.
【詳解】設，則，
故的解集中有整數1，而，
故不等式的解集中的三個整數為，故，
所以，故，
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設全集為，在下列選項中，是的充要條件的有（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ACD
【分析】
結合Venn圖，利用充分條件和必要條件的定義，對選項逐一判斷即可.
【詳解】如圖Venn圖所示，
選項A中，若，則；反過來，若，則.故互為充要條件.
選項C中，若，則；反過來，若，則.故互為充要條件.
選項D中，若，則，故；反過來，若，則，故.故互為充要條件.
選項B中，如下Venn圖，
若，則，推不出.故錯誤.
故選：ACD.
10. 對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（ ）
A. 若A，且，則
B. 若A，且，則
C. 若A，且，則
D. 存在A，，使得
【正確答案】ABD
【分析】根據新定義及交、并、補集運算，逐一判斷即可．
【詳解】解：對于A選項，因為，所以，所以，且B中的元素不能出現在中，因此，即選項A正確；
對于B選項，因為，所以，即與是相同的，所以，即選項B正確；
對于C選項，因為，所以，所以，即選項C錯誤；
對于D選項，時，，，D正確；
故選：ABD．
11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，則（ ）
A. ab的最大值為B. 的最大值是2
C. 的最小值是18D. 的最小值是
【正確答案】AC
【分析】結合基本不等式的應用，但要只有等號能不能取，B要用乘1法，D減少變量后用基本不等式.
【詳解】因為，且，所以，所以，當且僅當時，等號成立，則正確；
由題意可得，當且僅當=1時，等號成立，則錯誤；
因為，所以，當且僅當時，等號成立，則C正確；
由，得，
對于，由，得，
，
當且僅當，當時，，矛盾，故等號取不到，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，，則的取值范圍為________.
【正確答案】
【分析】將化為，根據不等式性質即可求得答案.
【詳解】由于，，則，
而，故，
故的取值范圍為，
故
13. 已知方程，求的取值范圍_________．
【正確答案】
【分析】分離出，得，求出對應的的值域即可求解.
【詳解】當時，原式化為，無解，故，
則，由得，
設，由對勾函數知，
函數在單調遞減，單調遞增，
故，則的值域為，
即，則或.
故
14. 高一某班共有54人，每名學生要從物理、化學、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇3門進行學習.已知選擇物理的有32人，選擇化學的有24人，選擇生物的有22人，其中選擇了物理和化學的有18人，選擇了化學和生物的有10人，選擇了物理和生物的有16人.那么班上選擇物理或者化學或者生物的學生最多有______人.
【正確答案】44
【分析】根據題意，設學生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學的人組成集合，選擇生物的人組成集合，結合Venn圖與容斥原理可知，當取最大值時最大，驗證即可得.
【詳解】把學生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學的人組成集合，選擇生物的人組成集合.
由題意知，
且，
則，

由
，
可得，
當且僅當時，即.
驗證：此時各區(qū)域人數如圖所示，滿足題意所有條件.

故班上選擇物理或者化學或者生物的學生最多有人.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、明過程或演算步驟.
15. 已知命題，命題.
（1）若命題為真命題，求實數的取值范圍；
（2）若命題和均為真命題，求實數的取值范圍.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】（1）寫出命題的否定，由它為真命題求解；
（2）由（1）易得命題為真時的范圍，再由為真命題時的范圍得出非為真時的范圍，兩者求交集可得．
【詳解】解：(1)根據題意，知當時，.，為真命題，.
實數的取值范圍是.
(2)由(1)知命題為真命題時，.
命題為真命題時，，解得為真命題時，.
，解得，即實數的取值范圍為.
16. 已知集合，，.
（1）當時，求.
（2）若，求范圍.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】(1) 由已知求出與，分別求出兩集合的關于的補集，再求出交集即可；
(2)分情況討論集合，當是空集時，和不是空集的兩種情況，求出集合關于的補集包含集合.
【小問1詳解】
時，
則，
所以
【小問2詳解】
①時，，
此時
②時，，又，故，
此時，則
所以
綜上：
17. 為了豐富學生的課余生活、給學生更好的校園生活體驗，某高中決定擴大學校規(guī)模，為學生打造一所花園式的校園．學校決定在原有的矩形花園的基礎上，拓展建成一個更大的矩形花園．為了方便施工，建造時要求點B在上，點D在上，且對角線過點C，如圖所示．已知．
（1）當的長度為多少時，矩形的面積最小？并求出最小面積．
（2）要使矩形的面積大于，則的長應在什么范圍內？
【正確答案】（1）時，矩形的面積最小，最小面積2400
（2）
【分析】（1）設出的長為，則，表示出矩形面積的解析式，利用不等式求解；
（2）化簡矩形面積，利用基本不等式求解.
【小問1詳解】
設出的長為，則，
，，，
∴矩形的面積，
由基本不等式得：，
當且僅當時，取“=”，當,即時，；
【小問2詳解】
由（1）得，即，
∴，
∴或，
的范圍在．
18. 設，為正實數，且
（1）求和的值；
（2）求的最小值．
（3）求的最小值.
【正確答案】（1），
（2）
（3）24
【分析】（1）利用恒等變形可求代數式的值；
（2）由題設可判斷，再利用基本不等式可求和的最小值；
（3）利用恒等變形可得，結合基本不等式可求最小值.
【小問1詳解】
由題設有，故
【小問2詳解】
，
因為，故，故，
.由基本不等式得：
，
當且僅當時，即時取等，
故最小值.
【小問3詳解】
由得，
，
當且僅當時，即時取等
故最小值為24.
19. 高斯，著名的數學家、物理學家、天文學家、是近代數學奠基者之一，享有“數學王子”之稱.函數成為高斯函數，其中表示不超過實數的最大整數，如，.
（1）求的解集和的解集.
（2）若，恒成立，求取值范圍.
（3）若的解集為，求的范圍.
【正確答案】（1）；
（2）
（3）
【分析】（1）由x表示不超過實數的最大整數可得的范圍；
（2）由不等式x2?mx+4>0恒成立，分離參數可得，再利用基本不等式可得的范圍；
（3）不等式可化，分三類討論解集情況可得.
【小問1詳解】
由題意得，且，
由，即，所以，
故的解集為；
由，即，
，則，所以.
所以的解集為.
【小問2詳解】
，x2?mx+4>0恒成立，
即，恒成立，
又，當且僅當時，即時等號成立.
故的最小值為，
所以要使x+4x>m恒成立，則.
故的取值范圍為.
【小問3詳解】
不等式，即，
由方程可得或.
①若，不等式為，
即，所以，顯然不符合題意；
②若，，
由，解得，
因為不等式的解集為，
所以，解得
③若，，
由，解得，
因為不等式解集為，
所以，解得.
綜上所述， 或.
故的范圍為.

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