一、單選題（40分）
1. 下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
2. 若集合，，則滿足的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知正實(shí)數(shù)a，b，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 已知，，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，則下面選項(xiàng)正確的為（ ）
A.
B
C.
D. 整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”
7. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知周長(zhǎng)為3，則的最小值為（ ）
A. B. C. 3D.
8. 記表示中最大的數(shù)．已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
二、多選題（18分）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A. 的一個(gè)必要條件是
B 若集合中只有一個(gè)元素，則
C. “”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件
D. 已知集合，則滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)為4
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 命題“，”的否定是“，或”
C. 若，則函數(shù)的最小值為2
D. 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是
11. 定義全集的子集的特征函數(shù),這里表示在全集中的補(bǔ)集,那么對(duì)于集合、,下列所有正確說(shuō)法是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題（15分）
12. 已知集合，，，若，，則__________．
13. 設(shè)集合，，其中、、、、是五個(gè)不同的正整數(shù)，且，已知，，中所有元素之和是246，請(qǐng)寫出所有滿足條件的集合A：__________________.
14. 對(duì)于一個(gè)由整數(shù)組成的集合，中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”，的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”．已知集合，則的“小和數(shù)”為__________，的“大和數(shù)”為__________．
四、解答題（77分）
15. 已知集合.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
16. 已知非空集合，，全集．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17. 已知p:關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，．
（1）若命題是假命題，求實(shí)數(shù)a取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
18. 對(duì)于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
（1）求二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)、，且、，求的最小值.
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)恒有不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.
19. 給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.
（1）判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；
（2）任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；
（3）當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.
注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).
2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量
檢測(cè)試卷
一、單選題（40分）
1. 下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】根據(jù)元素和集合之間的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?是的元素，所以，故①正確；
對(duì)于②：因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，所以，故②正確；
對(duì)于③：因?yàn)榧系脑貫?，1，集合的元素為0,1，
兩個(gè)集合的元素全不相同，所以之間不存在包含關(guān)系，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：因?yàn)榧系脑貫?，集合的元素為?br>兩個(gè)集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④錯(cuò)誤；
綜上所述：正確個(gè)數(shù)為2.
故選：B.
2. 若集合，，則滿足的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】利用，知，求出的值，根據(jù)集合元素的互異性舍去不合題意的值，可得答案．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即或者，解之可得或或，
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。
所以實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為2個(gè).
故選：B
3. 已知正實(shí)數(shù)a，b，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，?br>若，則，可得，
則，所以成立，即甲是乙的充分條件；
若，可知，則，即，
可得，即，即甲是乙的必要條件．
綜上可知：甲是乙的充要條件．
故選：C．
4. 已知，，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】利用和范圍求出，然后利用不等式的性質(zhì)求解即可
【詳解】由，，
得，即，
，
所以，即，
故選：D
5. 已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】解不等式得到或，根據(jù)題意得到是的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關(guān)系，求出答案.
【詳解】由條件，解得或；
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的充分不必要條件，
故是或x>1的真子集，
則的取值范圍是，
故選：B．
6. 在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，則下面選項(xiàng)正確的為（ ）
A.
B.
C.
D. 整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”
【正確答案】C
【分析】求被除的余數(shù)，判斷A，求被除的余數(shù)，判斷B，根據(jù)新定義及集合相等的定義判斷C，結(jié)合新定義及充分條件，必要條件的定義判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，每個(gè)整數(shù)除以后的余數(shù)只有，沒(méi)有其他余數(shù)，
所以，又，
故，C正確；
對(duì)于D，若，
則，
若，則，
不妨設(shè)，
則，
所以，，
所以除以后余數(shù)相同，
所以屬于同一“類”
所以整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，D錯(cuò)誤；
故選：C.
7. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知周長(zhǎng)為3，則的最小值為（ ）
A. B. C. 3D.
【正確答案】C
【分析】利用“”的代換，結(jié)合基本不等式求最值.
【詳解】由題意得，，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，
故當(dāng)時(shí)，取到最小值.
故的最小值為.
故選：C.
8. 記表示中最大的數(shù)．已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【正確答案】C
【分析】設(shè)，可得，利用基本不等式運(yùn)算求解，注意等號(hào)成立的條件.
【詳解】由題意可知：均為正實(shí)數(shù)，
設(shè)，則，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
可得，即，所以的最小值為2.
故選：C.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)定義得出，，再結(jié)合基本不等式求得.
二、多選題（18分）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A. 的一個(gè)必要條件是
B. 若集合中只有一個(gè)元素，則
C. “”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件
D. 已知集合，則滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)為4
【正確答案】CD
【分析】對(duì)于A，舉例時(shí)不成立，進(jìn)而由充分條件和必要條件的定義得不是的充分條件，也不是的必要條件；對(duì)于B，按和兩種情況去探究方程的解即可；對(duì)于C，先由一元二次方程有一正一負(fù)根得，該不等式組的解即為方程有一正一負(fù)根的充要條件；對(duì)于D，先由得，再由結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式即可得解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)滿足，但不成立，
所以不是的充分條件，不是的必要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程的解為，
此時(shí)集合中只有一個(gè)元素，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，為一元二次方程，
則由集合中只有一個(gè)元素得，故，
所以符合題意的有兩個(gè)，或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，一元二次方程有一正一負(fù)根，則，
所以“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋裕?br>又，故集合N的個(gè)數(shù)為個(gè)，故D正確.
故選：CD.
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 命題“，”的否定是“，或”
C. 若，則函數(shù)的最小值為2
D. 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是
【正確答案】BD
【分析】特殊值法判斷A,特稱命題的否定判斷B,應(yīng)用基本不等式判斷C,應(yīng)用恒成立得出判別式即可求參判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，命題“”的否定是“或”，故B正確；
對(duì)于C，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)無(wú)解，故取不到等號(hào)，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，，故D正確.
故選：BD.
11. 定義全集的子集的特征函數(shù),這里表示在全集中的補(bǔ)集,那么對(duì)于集合、,下列所有正確說(shuō)法是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】利用特征函數(shù)的定義知,由,對(duì)與、關(guān)系分類討論,可得A正確;利用特征函數(shù)的定義可判斷B的正誤;取特殊值情況,利用定義可判斷C的正誤;利用集合運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算進(jìn)行分類討論可判斷D的正誤,綜合可得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A:,分類討論:
①當(dāng),則,此時(shí);
②當(dāng),且,即,此時(shí);
③當(dāng),且,即時(shí),,,此時(shí).
綜上有,故A正確;
對(duì)于B:,故B正確;
對(duì)于C:假設(shè),任取,則,則,,則,故C不正確;
對(duì)于D:(1)若,則,有三種情況:
①當(dāng)時(shí),;
②當(dāng)時(shí),;
③當(dāng)且時(shí),,
以上均滿足.
(2)若時(shí),有以下4中情況,
①當(dāng)且時(shí),,;
②當(dāng)且時(shí),,;
③當(dāng)時(shí),;
④當(dāng)時(shí),,
以上均滿足.
綜上所述,,故D正確.
故選:ABD
三、填空題（15分）
12. 已知集合，，，若，，則__________．
【正確答案】4
【分析】求出集合，根據(jù)集合關(guān)系可得，求出的值，然后驗(yàn)證可得.
【詳解】，，
因?yàn)?，，所以，?br>由得，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，解得，滿足題意.
所以.
故4
13. 設(shè)集合，，其中、、、、是五個(gè)不同的正整數(shù)，且，已知，，中所有元素之和是246，請(qǐng)寫出所有滿足條件的集合A：__________________.
【正確答案】或
【分析】由題意可得 ，所以 ，分類討論當(dāng) 和 時(shí)情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意，得 ，所以 .
由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此時(shí)集合有共同元素1，
若 ，則 ，于是 ；
此時(shí)且 ，無(wú)正整數(shù)解；
若，集合有共同元素1和9，則，
所以 ，且，而，
所以，
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ；
因此滿足條件的共有2個(gè)，分別為.
故答案為: 或
14. 對(duì)于一個(gè)由整數(shù)組成的集合，中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”，的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”．已知集合，則的“小和數(shù)”為__________，的“大和數(shù)”為__________．
【正確答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)題意，求出集合中所有元素之和即為“小和數(shù)”；將集合的個(gè)子集，分為與，其中，，且無(wú)重復(fù)，則與的“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，的“小和數(shù)”為，
集合共有11個(gè)元素，則一共有個(gè)子集，
對(duì)于任意一個(gè)子集，總能找到一個(gè)子集，使得，，
且無(wú)重復(fù)，則與“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，
這樣的子集對(duì)共有個(gè)，
其中當(dāng)時(shí)，，則子集對(duì)有，
則的“大和數(shù)”為.
故；
四、解答題（77分）
15. 已知集合.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）或．
【分析】(1)根據(jù)可知，列出不等式組即可求解．
(2)分和兩種情況討論即可．
【小問(wèn)1詳解】
∵，∴，
∴，
∴的范圍是．
【小問(wèn)2詳解】
(i)若，則，即，此時(shí)滿足；
(ii)若，則，
若，則或，解得或，
∴或；
綜上，或．
16. 已知非空集合，，全集．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）方法一，根據(jù)條件，直接利用補(bǔ)集、并集的運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果；方法二，利用，利用交集運(yùn)算，求出，即可求出結(jié)果.
（2）根據(jù)條件得出是的真子集，再根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
方法一：當(dāng)時(shí)，，
所以或．
因?yàn)椋?br>所以或，
所以或．
方法二：當(dāng)時(shí)，，
故，
所以或．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槭浅闪⒌某浞植槐匾獥l件，
所以是的真子集，
當(dāng)時(shí)，或
解得或，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
17. 已知p:關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，．
（1）若命題是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由命題是假命題，可得命題是真命題，則由，求出的取值范圍；
（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個(gè)集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槊}是假命題，則命題是真命題，
即關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，命題是真命題，即，
因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，則，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 對(duì)于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
（1）求二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)、，且、，求的最小值.
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)恒有不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.
【正確答案】（1）和3
（2）8 （3）
【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義列方程，解二次方程即可；
（2）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義得方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，列不等式求得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及基本不等式求得最值即可；
（3）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義得，結(jié)合判別式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知，即，則，
解得，，所以不動(dòng)點(diǎn)為和3.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
所以，解得，
所以
，
因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.
【小問(wèn)3詳解】
由題知：，
所以，由于函數(shù)恒有不動(dòng)點(diǎn)，
所以，即，
又因?yàn)槭侨我鈱?shí)數(shù)，所以，
即，解得，所以的取值范圍是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了新定義，解題關(guān)鍵是把握不動(dòng)點(diǎn)的定義，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)、判別式來(lái)求解.
19. 給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.
（1）判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；
（2）任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；
（3）當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.
注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).
【正確答案】（1）集合A不是規(guī)范數(shù)集；集合B是規(guī)范數(shù)集；
（2）證明見詳解； （3）.
【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合中的元素兩兩相減的差的絕對(duì)值，是否都大于等于1即可；
（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類討論、與三種情況，結(jié)合去絕對(duì)值的方法即可證明；
（3）法一：當(dāng)時(shí)，證得，從而得到；當(dāng)時(shí)，證得，從而得到；當(dāng)時(shí)，分類討論與兩種情況，推得，由此得解；
法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質(zhì)與（2）中結(jié)論即可得解.
小問(wèn)1詳解】
對(duì)于集合A：因?yàn)?，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；
對(duì)于集合B：因?yàn)椋?br>又，，，，，，
所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.
【小問(wèn)2詳解】
不妨設(shè)集合S中的元素為，即，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
綜上所述.
【小問(wèn)3詳解】
法一：
不妨設(shè)，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，
則范數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當(dāng)，使得，且，
當(dāng)，即，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)
；
對(duì)于，其開口向上，對(duì)稱軸為，
所以，
所以范數(shù)的最小值為；
當(dāng)，即，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)
；
對(duì)于，其開口向上，對(duì)稱軸為，
所以，
所以范數(shù)；
綜上所述：范數(shù)的最小值.
法二：
不妨設(shè)，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
所以對(duì)于，同樣有，則，
由（2）的證明過(guò)程與結(jié)論可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，，……，
所以范數(shù)
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以范數(shù)的最小值.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，再將集合中的元素進(jìn)行從小到大排列，利用分類與整合的思想進(jìn)行討論分析，從而得解.

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