一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．2
4．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為角的終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
5．聲音的強(qiáng)弱通常用聲強(qiáng)級(jí)和聲強(qiáng)來描述，二者的數(shù)量關(guān)系為（為常數(shù)）.一般人能感覺到的最低聲強(qiáng)為，此時(shí)聲強(qiáng)級(jí)為；能忍受的最高聲強(qiáng)為，此時(shí)聲強(qiáng)級(jí)為.若某人說話聲音的聲強(qiáng)級(jí)為，則他說話聲音的聲強(qiáng)為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)在上恰好有4個(gè)零點(diǎn)和4個(gè)最值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列各式的值為的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
11．函數(shù)的部分圖象如圖，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．在上單調(diào)遞增
D．在上有2個(gè)零點(diǎn)
12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，則（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．在上具有單調(diào)性
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知某個(gè)扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為 .
14．已知且，則 .
15．先將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若，且，則的取值范圍是 .
16．已知函數(shù)若的圖象上存在關(guān)于直線對稱的兩個(gè)點(diǎn)，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知集合，.
(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．已知函數(shù)且的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的值；
(2)設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，若，求的值.
19．已知.
(1)求；
(2)求.
20．已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，求；
(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.
21．已知函數(shù)圖像的兩個(gè)相鄰的對稱中心的距離為.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和.
22．已知函數(shù)且的圖象過點(diǎn).
(1)求不等式的解集；
(2)已知，若存在，使得不等式對任意恒成立，求的最小值.
答案
1．【正確答案】B
【分析】根據(jù)交集的定義求解．
【詳解】由已知，
故選：B．
2．【正確答案】B
【分析】由量詞命題的否定判斷即可．
【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，
是：，
故選：B．
3．【正確答案】C
【分析】將弦化切后計(jì)算即可得.
【詳解】由，故，
則有.
故選：C.
4．【正確答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得的一個(gè)三角函數(shù)值，再結(jié)合角所在象限可得．
【詳解】由題意點(diǎn)坐標(biāo)為，因此是第一象限角，又，∴，
又，∴．
故選：D．
5．【正確答案】B
【分析】由題意可計(jì)算出、，而后代入計(jì)算即可得.
【詳解】由題意可得，故，
則當(dāng)時(shí)，有，
解得.
故選：B.
6．【正確答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】由題意，解得．
故選：C．
7．【正確答案】D
【分析】結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可將轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得.
【詳解】，
則，
由，故，
故，
又，隨增大而增大，
故在上單調(diào)遞減，又，
故可轉(zhuǎn)化為，
則有，即，即，故.
故選：D.
8．【正確答案】A
【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】當(dāng)，則，
由題意可得，
解得，即的取值范圍是.
故選：A.
9．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和的正弦公式計(jì)算后判斷．
【詳解】對A，，故A錯(cuò)誤；
對B，，故B正確；
對C，
，故C錯(cuò)誤；
對D，，故D正確；
故選：BD．
10．【正確答案】AC
【分析】選項(xiàng)AC，可由不等式的性質(zhì)證明；選項(xiàng)BD，用特值排除法可得
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，若?br>當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，
所以，故，即A正確；
選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，若，有，
不滿足條件，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，若，則由不等式的性質(zhì)有，又，則，故C正確；
選項(xiàng)D，當(dāng)，則，，
不滿足，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．【正確答案】ABD
【分析】利用五點(diǎn)法確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
【詳解】由題意，，，又，∴，
由五點(diǎn)法，，
所以，
最小正周期為，A正確；
，B正確；
時(shí)，，在此區(qū)間是遞減，C錯(cuò)；
結(jié)合選項(xiàng)B和周期知，D正確，
故選：ABD．
12．【正確答案】ABC
【分析】運(yùn)用賦值法結(jié)合函數(shù)性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得.
【詳解】對A：令，則有，即，故A正確；
對B：、，則有，即，
由、，故，即，故B正確；
對C：令，則有，即，
即，又函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；
對D：令，則有，即，
即有，則當(dāng)時(shí)，有，即，
故在上不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
13．【正確答案】2
【分析】將圓心角轉(zhuǎn)化為弧度制后借助弧長公式計(jì)算即可得.
【詳解】rad，故.
故2.
14．【正確答案】9
【分析】結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】由，則，
即有，故，則或，
又，故.
故9.
15．【正確答案】
【分析】由圖象變換可得，結(jié)合正切型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，
再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度后可得，
由，則，
由，則有，
故有，解得，
故答案為.
16．【正確答案】/0.5
【分析】由與的圖象關(guān)于直線對稱，得出函數(shù)與的圖象在時(shí)有交點(diǎn)，在時(shí)有解，令（），由單調(diào)性求出的范圍或最大值即可得．
【詳解】與的圖象關(guān)于直線對稱，因此函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
則函數(shù)與的圖象在時(shí)有交點(diǎn)，
即在時(shí)有解，在時(shí)有解，
令（），設(shè)，則，
，，∴，
從而，∴在上是增函數(shù)，
由題意，所以的最大值是．
故．
方法點(diǎn)睛：兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則它們互為反函數(shù)，而函數(shù)圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱可以轉(zhuǎn)化為反函數(shù)（需有反函數(shù)的部分）的圖象與函數(shù)圖象（函數(shù)的另一部分）有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為方程有解．
17．【正確答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解出集合后，結(jié)合集合的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可得；
（2）由可得，結(jié)合子集性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由，解得，
所以，
所以或；
（2）由，得，
于是，
解得，
所以的取值范圍為.
18．【正確答案】(1)
(2)或3
【分析】（1）利用的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解之即可得解；
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的取值范圍，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象過坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，解得.
（2）若，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即，
解得或（舍去）；
若，則在上單調(diào)遞增，
所以，所以，即，
解得或（舍去）；
綜上，的值為或3.
19．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角關(guān)系式求得，然后由兩角差的正切公式求解；
（2）由兩角差的正切公式求得，再利用二倍角公式、同角關(guān)系化為齊次式，再得關(guān)于的式子，代入求值．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>所以，
所以.
（2），
所以.
20．【正確答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解；
（2）分類討論，分別求出在上的最小值，從而得出結(jié)論，注意利用勾形函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)性．
【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，
則是上的奇函數(shù)，從而，
因?yàn)?，所以，得?br>所以.
（2）若，則在上單調(diào)遞增，
因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，所以，解得，所以.
若，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
若，則，解得，與矛盾；
若，則，解得，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角恒等變換公式將化簡為正弦型函數(shù)后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得；
（2）可將方程的根轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可得.
【詳解】（1），
由條件知的最小正周期為，所以，解得，
所以，
由，
得.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）的實(shí)數(shù)根，即的圖象與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo).
當(dāng)時(shí)，，由，得，
由，得，
作出在上的圖象與直線，大致如圖：
由圖可知，的圖象與直線在上有4個(gè)交點(diǎn)，
其中兩個(gè)關(guān)于直線對稱，另外兩個(gè)關(guān)于直線對稱，
所以4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，即所求的實(shí)數(shù)根之和為.
22．【正確答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出值及函數(shù)，再解對數(shù)不等式即得.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則并變形，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立求解即得.
【詳解】（1）依題意，，解得，則，
，
不等式，即，解得，
則有，即，
所以原不等式的解集為.
（2）當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，
即恒成立，當(dāng)時(shí)，，得，
設(shè)函數(shù)，其圖象開口向上，對稱軸方程為，
而，即，
又對任意恒成立，則，
于是在上的最小值為，
原問題轉(zhuǎn)化為：存在，使得，即，
由于，則，要使成立，只需，
解得，又，所以的最小值為6.
結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.

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