一．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1.向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模
設(shè)＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，
λ＝(λx1，λy1)，||＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
2.向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共線?x1y2－x2y1＝0.
4．向量的夾角
（1）已知兩個非零向量和，作eq \(OA,\s\up6(→))＝，eq \(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB就是向量與的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]
（2）夾角cs θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
5．平面向量的數(shù)量積
拓展：向量數(shù)量積不滿足：
①消去律，即·＝·?＝
②結(jié)合律，即(·)·?·(·)．
6．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)·＝·.
(2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·.
(3)(＋)·＝·c＋·
7．向量在平面幾何中的應(yīng)用
考向分析
考向一 向量坐標(biāo)的加減法
【例1】（2020·全國高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,所以與同方向的單位向量為，故選A.
【舉一反三】
1.（2020·全國高三專題練習(xí)）已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(－8,1)B．
C．D．(8，－1)
【答案】B
【解析】設(shè)P(x，y)，則＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，
所以，解得，即， 故選B.
2．（2020·四川資陽市·高三）已知，，，，則向量（ ）.
A．B．C．4D．6
【答案】C
【解析】，，所有.故選：C
考向二 向量坐標(biāo)的垂直平行運(yùn)算
【例2】（1）（2020·河津中學(xué)高三月考）向量，若，則k的值是（ ）
A．1B．C．4D．
（2）（2020·?？谑小ずＤ现袑W(xué)高三月考）3.設(shè)向量，，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）因為所以，
因為，所以 ，所以故選：B
（2）因為，，所以，
當(dāng)時，則有，解得.故選：A.
【舉一反三】
1．（2020·貴州安順市·高三）已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．-3C．D．3
【答案】B
【解析】，，，則有，解得：.故選：B
2．（2020·寧縣第二中學(xué)）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，所以，即，又，，故，解得.故選：B.
3．（2020·永安市第三中學(xué)高三期中）已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為向量，，則，
又，所以，解得 .故選：D．
4．（2020·西藏拉薩市）設(shè)，向量，，，且，，則_____________.
【答案】0
【解析】因為向量，，，且，，所以，得，
，解得，所以.故答案為：0
考向三 模長
【例3】（1）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知，，則（ ）
A．2B．C．4D．
（2）（2020·舒蘭市實(shí)驗中學(xué)校高三學(xué)業(yè)考試）若，則（ ）
A．0B．C．4D．8
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）由題得=（0,4）所以．故選C
（2）因為.所以.故選：B.
【舉一反三】
1．（2020·西藏拉薩市·拉薩那曲第二高級中學(xué)）已知向量，，則（ ）
A．B．2C．D．50
【答案】A
【解析】由題意得，所以，故選：A
2．（2020·黑龍江大慶市·大慶中學(xué)）已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知向量，，且，則，解得，因此，.故選：B.
3．（2020·靜寧縣第一中學(xué)高三）已知平面向量，均為單位向量，若向量，的夾角為，則（ ）
A．25B．7C．5D．
【答案】D
【解析】因為平面向量，為單位向量，且向量向量，的夾角為，
所以，故.故選：D
4．（2020·西藏拉薩市·拉薩那曲第二高級中學(xué)）設(shè)為單位向量，且，則___________.
【答案】
【解析】∵為單位向量，
∴，∴．
∴．故答案為：．
考向四 數(shù)量積及投影
【例3】（1）（2020·南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)高三期中）已知平面向量，，則與的夾角為______.
（2）（2020·莆田第十五中學(xué)高三）已知，，，則在方向上的投影等于_______.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以，則與的夾角為.故答案為：
（2）設(shè)，的夾角為，
解得，則在方向上的投影等于故答案為：
【舉一反三】
1．（2020·濟(jì)南旅游學(xué)校）已知向量，．則向量，的夾角______．
【答案】
【解析】令向量與的夾角為，，由，，
所以，，，
所以，故向量，的夾角為，
故答案為：.
2（2020·全國福建省漳州市）已知，，若，則與的夾角為________.
【答案】
【解析】，，，解得，即
又與的夾角的范圍是，則與的夾角為
故答案為：
3．（2020·深州長江中學(xué)高三期中）若向量，，，則，的夾角的度數(shù)為_________．
【答案】
【解析】設(shè)向量，的夾角為（），
，∴，∴，∴，
又，，∴，∴，∴故答案為：0°．
強(qiáng)化練習(xí)
1．（2020·吉林市教育學(xué)院高三期中）下列向量中不是單位向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A. B. C. D. 為單位向量故選：B．
2．（2020·貴州貴陽一中高三月考）已知向量，向量與共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知：和不共線，所以和可以作為一組基底，
而與共線，所以，故選：C．
3．（2020·膠州市教育體育局教學(xué)研究室高三期中）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，向量，，
可得，，
因為，所以，解得.故選：A.
4．（2020·湖南衡陽市一中高三期中）向量，滿足，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，因為，且，
所以，
可得，所以向量，的夾角為.故選：D.
5．（2020·山西省榆社中學(xué)高三）已知向量，，則在上的投影是（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【解析】由題意，向量，，可得，
所以在上的投影是.故選：D.
6．（2020·黑龍江高三月考）已知向量，，，若，則向量在上的投影為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，
因為，所以，即，
所以向量在上的投影為
，
故選：B
7．（2020·四川省綿陽南山中學(xué)高三月考）已知向量，，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為向量，，
所以,
又因為,所以,故選B.
8．（2020·深州長江中學(xué)高三期中）向量，，，則（ ）
A．2B．C．2或D．或3
【答案】C
【解析】由，，得
所以，即，解得或．故選：C．
9．（2021·福建?。┮阎蛄?，，若//，則________．
【答案】
【解析】因為//，則，得，所以.故答案為：.
10．（2020·寧夏銀川市·銀川一中）已知向量，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_____.
【答案】或
【解析】，，三點(diǎn)共線，，使， ，
解得：或.故答案為：或.
11．（2020·寧夏固原市·固原一中高三月考）若向量且，實(shí)數(shù)_______.
【答案】
【解析】由得，，解得.故答案為：.
11（2020·福建省泰寧第一中學(xué)高三）已知向量，，如果，那么的值為_________.
【答案】
【解析】向量，，如果，
則，解得，
即，解得，
所以.
故答案為：
12．（2020·山西高三月考）已知向量，，．若，則__________．
【答案】2
【解析】因為向量，，所以，又．且，
所以，解得，故答案為：2．故答案為：
13．（2020·寧縣第二中學(xué)高三期中）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】
【解析】因為向量，，若，則，解得.
故答案為：.
14．（2020·遼寧葫蘆島市·高三月考）已知，，若，則________.
【答案】
【解析】由題意，向量，，因為，可得，則.故答案為：.
15．（2020·山西呂梁市·高三期中）若，，且，則__________.
【答案】
【解析】因為，，，所以，解得.故答案為：.
16．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）已知，，若∥，則＝_________________．
【答案】－1或3
【解析】，，即，
解得：或.故答案為：或
17．（2020·貴州安順市·高三）已知向量，若，則實(shí)數(shù)__________．
【答案】
【解析】由題意，又，∴，解得．故答案為：．
18．（2020·遼寧高三期中）設(shè)，是兩個互相垂直的單位向量，則________.
【答案】
【解析】，是兩個互相垂直的單位向量，，，
則.故答案為：.
19．（2020·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三月考）已知向量，，且，則__________.
【答案】8
【解析】因為，，且，所以，解得，故答案為：8.
20．（2020·江西高三其他模擬）已知向量，，若，則_____.
【答案】8
【解析】因為，，所以；
因為所以；解得：.故答案為：
21．（2020·河南開封市·高三一模）已知向量，，滿足，則_________.
【答案】
【解析】∵，∴，解得（舍去）．
故答案為：．
22．（2020·四川宜賓市·高三）已知向量，，向量與向量的夾角為，則___________.
【答案】0
【解析】，則，結(jié)合條件可知： 故答案為：0
23．（2020·靜寧縣第一中學(xué)高三月考）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)等于________.
【答案】7
【解析】因為向量，，所以，
因為，所以，
解得，故答案為：7
24．（2020·梅河口市第五中學(xué)高三月考）已知向量，若，則__________或__________.
【答案】
【解析】；∵；∴；
解得m＝﹣3或1．此時或則或故答案為：；定義
設(shè)兩個非零向量，b的夾角為θ，則數(shù)量||||·cs θ叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·
投影
||cs θ叫做向量在方向上的投影，
||cs θ叫做向量在方向上的投影
幾何意義
數(shù)量積·等于的長度||與在的方向上的投影||cs θ的乘積
問題類型
公式表示
線平行、點(diǎn)共線等問題
∥?＝λ?x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0
垂直問題
⊥?·＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，為非零向量
夾角問題
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(θ為向量，b的夾角)，其中，為非零向量
長度問題
||＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，其中＝(x，y)，為非零向量

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