新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練3.6 三角函數(shù)的專題綜合運(yùn)用（精講）（基礎(chǔ)版）（2份，原卷版+解析版）

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例題剖析
考點(diǎn)一 正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
【例1】（2022·甘肅平?jīng)觥ざ＃╇蹰w，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點(diǎn)A測得滕王閣頂端仰角為，此人往膝王閣方向走了42米到達(dá)點(diǎn)B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：）
A．49米B．51米C．54米D．57米
【答案】D
【解析】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)知：，
所以，則，又，可得米.
故選：D
【一隅三反】
1．（2022·四川瀘州·二模）如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000，速度為50.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為（，）（ ）
A．7350B．2650C．3650D．4650
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)，經(jīng)過420s后的位置為點(diǎn)，山頂為點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則，所以，
在中，，由正弦定理得，
則，
因?yàn)樗裕?br>所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為.故選：B.
2．（2022·四川）某課外活動(dòng)小組，為測量山高，如圖，他們在山腳A處測得山頂B的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，則此山的高度BC約為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】過點(diǎn)D作，交BC于E，
因?yàn)椋?，則．
又因?yàn)椋裕?br>在中，由正弦定理，得，
在中，，故山高度約為．
故選：B.
3（2022·河南·鶴壁）魏晉南北朝時(shí)期，中國數(shù)學(xué)的測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，因其第一題為測量海島的高度和距離，故題為《海島算經(jīng)》.受此題啟發(fā)，某同學(xué)依照此法測量鄭州市二七紀(jì)念塔的高度.如圖，點(diǎn)D，G，F(xiàn)在水平線DH上，CD和EF是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”測得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行DG=1，表高CD=EF=2，后表卻行FH=3，表距DF=61.則塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，，，所以，解得．
故選：D.
考點(diǎn)二 正余弦定理的幾何應(yīng)用
【例2】（2021·湖南·高考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在BC邊上，且，，
（1）求AC的長；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由題意可得，
【一隅三反】
1．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)?，所以?br>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br>所以，
整理得．
又因?yàn)椋裕?br>即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br>以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br>由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室三模（理））已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，.
(1)若角為銳角，求的取值范圍；
(2)在中，分別是角的對(duì)邊，若，的面積為，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由三角函數(shù)定義知，
由角為銳角知， ∴
∴ ∴的取值范圍是
(2)由得∵ ∴
由 得，由余弦定理得：.
3．（2022·黑龍江·哈九中三模（理））在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．
(1)求角A的大?。?br>(2)設(shè)b＝c，N是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且與A點(diǎn)分別位于直線BC的兩側(cè)，如圖，若BN＝6，CN＝3，求四邊形ABNC面積的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，
∴，
即．∴，即．
∵0