一、解答題
1．（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線與x軸交于點，與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過點A，B．

(1)求點B的坐標和拋物線的解析式；
(2)M為線段上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線及拋物線分別交于點P，N．若以B，P，N為頂點的三角形與相似，求點M的坐標；
(3)將拋物線在之間的部分記為圖象L，將圖象L在直線上方部分沿直線翻折，其余部分保持不動，得到一個新的函數(shù)圖象，記這個函數(shù)的最大值為a，最小值為b，若，請直接寫出t的取值范圍．
2．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點（點A在點的左邊），與軸交于點，點A的坐標為，且．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)當時，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
(3)設(shè)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點，使與相似，且與是對應(yīng)邊？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
3．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)P是拋物線在第一象限上的一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)若拋物線上有一點D（點D位于直線AC的上方且不與點B重合）使得，直接寫出點D坐標．
4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y= x2+bx+c的頂點D坐標為（1，4），且與軸相交于A，B兩點點A在點B的左側(cè)，與y軸相交于點C，點E在x軸上方且在對稱軸左側(cè)的拋物線上運動，點F在拋物線上并且和點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，作矩形EFGH，其中點G，H都在x軸上．
(1)求拋物線解析式；
(2)設(shè)點F橫坐標為m，
①用含有m的代數(shù)式表示點E的橫坐標為________（直接填空）；
②當矩形EFGH為正方形時，求點G的坐標；
③連接AD，當EG與AD垂直時，求點G的坐標；
(3)過頂點D作DM⊥x軸于點M，過點F作FP⊥AD于點P，直接寫出△DFP與△DAM相似時，點F的坐標．
5．（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┮阎獟佄锞€經(jīng)過點，，與x軸交于另一點C，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且，求直線的表達式；
(3)在拋物線上是否存在點D，直線交x軸于點E，使與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
6．（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知A，B兩點坐標分別是，，連接．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將沿所在直線折疊，得到，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標；若點D不在對稱軸上，請說明理由；
(3)若點P是拋物線位于第二象限圖象上的一動點，連接交于點Q，連接BP，的面積記為，的面積記為，求的值最大時點P的坐標．
7．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線相交于兩點．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)在坐標軸上是否存在點D，使得是以線段為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
(3)點P是線段上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作軸于點C，交于點N，若的面積滿足，求出的值，并求出此時點M的坐標．
8．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與軸的一個交點為，與軸的交點為，對稱軸與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點為軸正半軸上的一個動點，連接，過點作的垂線，與拋物線的對稱軸交于點，連接．
①若與相似，求點的坐標；
②若點在軸正半軸上運動到某一位置時，有一邊與線段相等，并且此時有一邊與線段具有對稱性，我們把這樣的點稱為“對稱點”，請直接寫出“對稱點”的坐標．
9．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與兩坐標軸分別相交于三點．
(1)求證：；
(2)點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸的垂線交于點，交軸于點．
①求的最大值；
②點是的中點，若以點為頂點的三角形與相似，求點的坐標．
10．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線與軸有兩個交點．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點(點在原點的左邊，點在原點的右邊)，與軸的負半軸交于點，連接，且滿足，求拋物線的解析式；
(3)如圖2，在（2）的條件下，直線，直線交拋物線于兩點(點在點的左邊)，直線交軸于點，直線交軸于點，設(shè)的縱坐標分別為、，試問是否為定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，請說明理由．
11．（2022·黑龍江綏化·?？既＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過三點．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標；
(3)P是直線x=1右側(cè)的拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
12．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學(xué)校?？既＃┮阎獟佄锞€：與軸交于點，過點與點的直線與交于點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)如圖，若點為直線下方的上一點，求點到直線的距離的最大值；
(3)如圖，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過的頂點，沿射線的方向平移拋物線得到拋物線，的頂點為，兩拋物線相交于點設(shè)交點的橫坐標為若，求的值．
13．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖①、②，在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．
(1)直接寫出C′的坐標，并求經(jīng)過O、A、C′ 三點的拋物線的解析式；
(2)點P在第四象限的拋物線上，求△C′OP的最大面積；
(3)如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
14．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，聯(lián)結(jié)、．
(1)求該拋物線的表達式及頂點的坐標；
(2)如果點在拋物線上，平分，求點的坐標：
(3)如果點在拋物線的對稱軸上，與相似．求點的坐標．
15．（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點連接，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點為拋物線在第三象限的一個動點，軸于點，交于點，于點，當?shù)拿娣e為時，求點的坐標；
(3)如圖，若為拋物線上一點，直線與線段交于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似．若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．
16．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），與軸交于點．
(1)求點、的坐標；
(2)連接，若的中點為點，請你求經(jīng)過點和點的直線表達式；
(3)設(shè)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點，使與相似，若存在，求出所有點坐標；若不存在，請說明理由．
17．（2022·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?， 拋物線 與 軸交于點 、點 （點 在點 的左側(cè)），與 軸交于點 ， 且過點 ．
(1)求拋物線的表達式：
(2)如圖 1， 點 為直線 上方拋物線上 （不與 重合） 一動點， 過點 作 軸， 交 于 ，過點 作 軸， 交直線 于 ， 求 的最大值及此時點 的坐標；
(3)如圖 2， 將原拋物線沿 軸向左平移 1 個單位得到新拋物線 ， 點 為新拋物線 上一點， 點 為原拋物線對稱軸上一點， 當以點 為頂點的四邊形為平行四邊形時， 求點 的坐標， 并寫出求其中一個 點坐標的解答過程．
18．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線與坐標軸分別交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．
(1)求拋物線解析式；
(2)拋物線上是否存在點P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由；
(3)如圖2，Q是△ABC內(nèi)任意一點，求的值．
19．（2023·山西太原·山西大附中?？家荒＃┮阎獟佄锞€向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線．
(1)直接寫出拋物線的解析式 ；
(2)如圖1，已知拋物線與軸交于，兩點，點在點的左側(cè)，點，在拋物線上，交拋物線于點．求點的坐標；
(3)已知點，在拋物線上，軸，點在點的左側(cè)，過點的直線與拋物線只有一個公共點與軸不平行），直線與拋物線交于另一點．若線段，設(shè)點，的橫坐標分別為，，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示為 ．
20．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、 （點在點左側(cè)），與軸交于點．
(1)連接，則 °；
(2)如圖2，若經(jīng)過、、三點，連接、，若與 的周長之比為，求該拋物線的函數(shù)表達式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，拋物線對稱軸上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
專題43 二次函數(shù)中的相似三角形問題
【題型演練】
一、解答題
1．（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線與x軸交于點，與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過點A，B．

(1)求點B的坐標和拋物線的解析式；
(2)M為線段上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線及拋物線分別交于點P，N．若以B，P，N為頂點的三角形與相似，求點M的坐標；
(3)將拋物線在之間的部分記為圖象L，將圖象L在直線上方部分沿直線翻折，其余部分保持不動，得到一個新的函數(shù)圖象，記這個函數(shù)的最大值為a，最小值為b，若，請直接寫出t的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【詳解】（1）解：將代入得，
解得，
∴直線的解析式為，
將代入得，
∴點B坐標為．
將代入得：
，解得，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：∵，
∴當時， ，
此時；
當時， ，
如圖，當時，，
∴點B，N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∵，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵點B坐標為，
∴點N坐標為，
∴點M坐標為；
如圖，當時， ，作軸于點C，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得或0（舍去），
∴點M坐標為；
綜上所述，點M坐標為或；
（3）解：∵，
∴拋物線頂點坐標為，
∴翻折后頂點坐標為，
當點A為最低點時，，解得，
令，
解得，
∴．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)，通過分類討論求解．
2．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點（點A在點的左邊），與軸交于點，點A的坐標為，且．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)當時，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
(3)設(shè)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點，使與相似，且與是對應(yīng)邊？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)函數(shù)的最大值為5，最小值為
(3)存在，或
【分析】（1）先求出點C的坐標，得到點B的坐標，再將點A、B的坐標代入解析式計算即可；
（2）將函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）存在點，設(shè)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列得，代入數(shù)值求出m即可．
【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于點，．
，點在點的左邊，．
又點A的坐標為，
由題意可得：，解得：．
二次函數(shù)的解析式為．
（2），二次函數(shù)頂點坐標為，
當時，，
當時，隨著的增大而減小，
當時，，
當時，隨著的增大而增大，
當時，．
當時，函數(shù)的最大值為5，最小值為．
（3）存在點，如圖，設(shè)，
，且與是相似三角形的對應(yīng)邊，
，即：，
解得：或，
或．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)與圖形問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱性，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，正確掌握二次函數(shù)的綜合知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)P是拋物線在第一象限上的一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)若拋物線上有一點D（點D位于直線AC的上方且不與點B重合）使得，直接寫出點D坐標．
【答案】(1)
(2)存在，（2，1）
(3)點的坐標為（3，1）
【分析】（1）把A、B、C坐標代入解析式即可確定出解析式；
（2）存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似，首先根據(jù)點P的位置求得點m的取值范圍，然后由相似三角形的兩種情況進行分類討論；
（3）過D作y軸的平行線交AC于E．利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為．再利用三角形面積公式列式求解即可．
【詳解】（1）解：∵該拋物線過點A（4，0），B（1，0），C（0，-2），
∴將A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入解析式，
得，
解得，
∴此拋物線的解析式為；
（2）解：存在．
如圖，設(shè)點的橫坐標為，
∵是拋物線段上一動點，
∴，
則點的縱坐標為，
當時，，．
又∵，
∴①當時，，
即．
解得，（舍去），
∴P（2，1）；
②當時，，
即．
解得，（均不合題意，舍去）
∴當時，P（2，1）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標為（2，1）；
（3）解：如圖，設(shè)點的橫坐標為，則點的縱坐標為．
過D作y軸的平行線交AC于E．
設(shè)直線AC解析式為，
將A與C坐標代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為．
∴點的坐標為．
∴，
∴，
∴
又
∵
∴
解得，，
當時，點與點重合，不符合題意，
當t=3時，y=1，
∴點的坐標為（3，1）．
【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y= x2+bx+c的頂點D坐標為（1，4），且與軸相交于A，B兩點點A在點B的左側(cè)，與y軸相交于點C，點E在x軸上方且在對稱軸左側(cè)的拋物線上運動，點F在拋物線上并且和點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，作矩形EFGH，其中點G，H都在x軸上．
(1)求拋物線解析式；
(2)設(shè)點F橫坐標為m，
①用含有m的代數(shù)式表示點E的橫坐標為________（直接填空）；
②當矩形EFGH為正方形時，求點G的坐標；
③連接AD，當EG與AD垂直時，求點G的坐標；
(3)過頂點D作DM⊥x軸于點M，過點F作FP⊥AD于點P，直接寫出△DFP與△DAM相似時，點F的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②點坐標為；③點坐標為（，0）
(3)點坐標為（，）
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)頂點式即可拋物線解析式；
（2）①根據(jù)點F在拋物線上，設(shè)F（m，）（），則E（，），
②由矩形為正方形，可得，列方程即可求解；
③連接AD，當EG與AD垂直時，證明Rt△GEH∽Rt△DAM，得出，列方程即可求解；
（3）設(shè)AD交于，根據(jù)題意可得△DFQ為等腰三角形，則，求得直線的解析式為，繼而求得（，），根據(jù)，列方程即可求解．
(1)
解：由題意得：拋物線解析式為，
即
(2)
①設(shè)F（m，）（），則E（，），
故答案為：；
②矩形為正方形，
，
即，
整理得（舍去），
點坐標為；
③且軸，
，
∴Rt△GEH∽Rt△DAM，
即，
，
即，
整理得，解得（舍去），
點坐標為（，0）；
(3)
F點坐標為（，）．
設(shè)AD交于，如圖，
，
．
∵△DFP與相似，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
而，
∴△DFQ為等腰三角形，
．
設(shè)直線的解析式為，
把，代入得，解得，
直線的解析式為，
當時，，解得，
則（，），
，
而，
，
而，
，
整理得，解得（舍去），
點坐標為（，）．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練運用已學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┮阎獟佄锞€經(jīng)過點，，與x軸交于另一點C，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且，求直線的表達式；
(3)在拋物線上是否存在點D，直線交x軸于點E，使與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）令求拋物線與x軸的交點C的坐標，作和的高線，根據(jù)面積相等可得，證明，則，根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；
（3）先利用概率的知識分析A，B，C，E中的三點為頂點的三角形，有兩個三角形與有可能相似，即和，
①當與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，根據(jù)存在公共角，可得，列比例式可得E的坐標，利用待定系數(shù)法求直線BE的解析式，與拋物線列方程組可得交點D的坐標；
②當與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，同理可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：把點代入，得
，解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：當時，，
解得：或4，
∴，
如圖1，過O作于E，過C作于F，設(shè)交x軸于G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，過P作軸于M，
，
∴，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴，
∴，
設(shè)直線AP的解析式為，
∴，
∴
∴；
（3）解：以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有共4個，其中重合，不符合條件，不能構(gòu)成三角形，
∴當與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：和，
①當與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴由待定系數(shù)法可求的解析式為：，
則，
（舍），，
∴；
②當與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，此時E在C的左邊，
∵，
∴當時，，
∴，
設(shè)，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴或，
∵，或是鈍角，此時與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，如圖4，
∴；
由待定系數(shù)法可求的解析式為：，
，
或0（舍）
∴；
同理可得E在C的右邊時，，
∴，
設(shè)，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴（舍）或，
∵，∠BEC是鈍角，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，
綜上，點D的坐標為或．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，一元二次方程的解法，三角形面積以及勾股定理，分類討論是解（3）的關(guān)鍵．
6．（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知A，B兩點坐標分別是，，連接．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將沿所在直線折疊，得到，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標；若點D不在對稱軸上，請說明理由；
(3)若點P是拋物線位于第二象限圖象上的一動點，連接交于點Q，連接BP，的面積記為，的面積記為，求的值最大時點P的坐標．
【答案】(1)
(2)點不在拋物線的對稱軸上，理由見解析
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的表達式；
（2）拋物線的表達式為，可證明，繼而可證，則將沿所在直線折疊，點D一定落在直線上，延長至D，使，過點D作軸交y軸于點E，可證，可得點D橫坐標．則可判斷D點是否在拋物線對稱軸上；
（3）先求出過點、的直線解析式，分別過A、P作x軸的垂線，利用解析式，用同一個字母m表示出P，N的坐標，再證明，進而用m表示出的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以確定出的最大值，進而可確定出此時的P點坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達式為．
（2）解：點不在拋物線的對稱軸上，理由是：
∵拋物線的表達式為，
∴點坐標為．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴將沿所在直線折疊，點一定落在直線上，
延長至，使，過點作軸交軸于點．
又∵，
∴，
∴，則點橫坐標為，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴點不在拋物線的對稱軸上．
（3）解：設(shè)過點、的直線表達式為，
∵，，
∴，
解得：，
∴過點、的直線解析式為．
過點作軸的垂線交的延長線于點，
∵當時，，
∴點坐標為，
∴．
過點作軸的垂線交于點，
設(shè)點坐標為，則點坐標為，
∴，
∵，
∴，
∴．
若分別以、為底計算和的面積（同高不等底），
則與的面積比為，即，
∴．
∵，
∴當時，的最大值為，此時點坐標為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，二次函數(shù)中常見輔助線的作法，利用點的坐標表示線段的長度，確定函數(shù)最值，關(guān)鍵在于作出垂線段利于用點的坐標表示相關(guān)線段的長度．
7．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線相交于兩點．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)在坐標軸上是否存在點D，使得是以線段為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
(3)點P是線段上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作軸于點C，交于點N，若的面積滿足，求出的值，并求出此時點M的坐標．
【答案】(1)
(2)存在，D點坐標為或或
(3)，M點坐標為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法來求解；
（2）分兩種情況來求解：點D在x軸上和點D在y軸上．當點D在x軸上時，過點A作軸于點D，易求D點的坐標；當點D在y軸上時，設(shè)，在中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；
（3）過P作于點F，易證，從而得到，在中和在中利用三角函數(shù)得出，設(shè)，則，利用和之間的面積關(guān)系，進而表示出M的坐標，再根據(jù)M點在拋物線上求出a的值，進而得到答案．
【詳解】（1）解：∵兩點在拋物線的圖像上，
∴ ，解得 ，
∴拋物線解析式為；
（2）解：存在三個點滿足題意，理由如下：當點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，
∵，∴D坐標為；
當點D在y軸上時，設(shè)，則，且，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，即，解得，或
∴D點坐標為或；綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為或或；
（3）解：如圖2，過P作于點F，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，設(shè)，則，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴M點坐標為，
又M點在拋物線上，代入可得，
解得或（舍去），
，，∴點M的坐標為．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像綜合問題，涉及三角函數(shù)的計算及相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，能夠熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與軸的一個交點為，與軸的交點為，對稱軸與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點為軸正半軸上的一個動點，連接，過點作的垂線，與拋物線的對稱軸交于點，連接．
①若與相似，求點的坐標；
②若點在軸正半軸上運動到某一位置時，有一邊與線段相等，并且此時有一邊與線段具有對稱性，我們把這樣的點稱為“對稱點”，請直接寫出“對稱點”的坐標．
【答案】(1)
(2)①M點的坐標為或 ；②M點的坐標為或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法去求拋物線解析式；
（2）①先求出拋物線的對稱軸為，作直線于點D，作于E，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進行如下的分類討論即可：（1）當時，（2）當時進行求解即可；
②先確定進行如下的分類討論即可：（1）當時，（2）當時，（3）當時進行求解即可．
【詳解】（1）將點，分別代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）①拋物線的對稱軸為直線，
作直線于點D，作于E，
∵，
∴當，即，
∴，如圖1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
此時M點的坐標為，
∴當，即，
∴，如圖2，
同理可得，
∴，
而，
∴，
此時M點的坐標為，
綜上所述，M點的坐標為或；
②∵，
∴，
當時，，此時點M的坐標為；
當時，點N與點P重合，則，
∴，此時M點的坐標為；
當時，在中，，
∵，
∴，即，
解得，此時點M的坐標為，
綜上所述，M點的坐標為或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)進行幾何計算；理解坐標與圖形的性質(zhì)；會利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．
9．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與兩坐標軸分別相交于三點．
(1)求證：；
(2)點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸的垂線交于點，交軸于點．
①求的最大值；
②點是的中點，若以點為頂點的三角形與相似，求點的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)①；②或．
【分析】（1）分別計算三點的坐標，再利用勾股定理求得的長，最后利用勾股定理逆定理解題；
（2）①先解出直線的解析式，設(shè)，得出，由，得出利用二次函數(shù)的配方法求最值；
②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得的長，再證明，再分兩種情況討論以點為頂點的三角形與相似，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．
【詳解】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①設(shè)直線的解析式為：，代入，得
，
，
，
設(shè)，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
即的最大值為9；
②點是的中點，
在中，，
即為等腰三角形，
，
，
，
，
，
若以點為頂點的三角形與相似，
則①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合題意，舍去，
綜上所述，或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
10．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線與軸有兩個交點．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點(點在原點的左邊，點在原點的右邊)，與軸的負半軸交于點，連接，且滿足，求拋物線的解析式；
(3)如圖2，在（2）的條件下，直線，直線交拋物線于兩點(點在點的左邊)，直線交軸于點，直線交軸于點，設(shè)的縱坐標分別為、，試問是否為定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸有兩個交點可知，求解即可；
（2）根據(jù)題意可知，，得出，從而得出，求解根據(jù)得出的值，則解析式可得；
（3）先根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)直線的解析式，，，連立二次函數(shù)與一次函數(shù)可得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，過點D作軸于點，過點作軸于點，則可證明，則，即，解出的值，同理得出的值，相加即可．
【詳解】（1）解：拋物線與軸有兩個交點，
，解得，
實數(shù)的取值范圍為；
（2），
，
，
，則，即，
，
，解得，
，
，
則拋物線的解析式為；
（3）是定值，理由如下：
當時，有，解得，
，
，
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
直線的解析式為：，
，
設(shè)直線的解析式，，，
聯(lián)立得，
則，
過點D作軸于點，過點作軸于點，
，
∴，則，
，
解得，
同理，
則，
．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11．（2022·黑龍江綏化·?？既＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過三點．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標；
(3)P是直線x=1右側(cè)的拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)
(3)符合條件的點P為或．
【分析】（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點，設(shè)出該拋物線的解析式為，再根據(jù)過兩點，即可得出結(jié)果．
（2）先根據(jù)題意設(shè)出D點的橫坐標和D點的縱坐標，再過D作y軸的平行線交于E，再由題意可求得直線的解析式為，即可求出E點的坐標，再利用面積公式列函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果即可．
（3）首先判斷出存在，首先設(shè)出的坐標，，再分兩種情況進行討論，當時，當時 ，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似列方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵該拋物線過點，
∴可設(shè)該拋物線的解析式為． 將代入，
得
解得
∴此拋物線的解析式為
（2）如圖，設(shè)D點的橫坐標為，則D點的縱坐標為，
過D作y軸的平行線交于E，而
設(shè)直線為：
∴ 解得：
∴直線的解析式為．
∴E點的坐標為
∴
∴

∴當時，面積最大，此時
∴
（3）存在．如圖，設(shè)P點的橫坐標為m， 則P點的縱坐標為，
當時，，
又∵，
∴①當 ，
∵C在拋物線上，
∴
∴，
即
解得（舍去），
∴
②當 時，△APM∽△CAO，
即．
解得（均不合題意，舍去）
∴當時，，
如圖，當時，，
① 或② ，
當 時，則，
解得： （都不符合題意，舍去）
當時，則，
解得：（不符合題意舍去）
此時 則，
綜上所述，符合條件的點P為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)圖象交點的求法等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
12．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學(xué)校?？既＃┮阎獟佄锞€：與軸交于點，過點與點的直線與交于點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)如圖，若點為直線下方的上一點，求點到直線的距離的最大值；
(3)如圖，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過的頂點，沿射線的方向平移拋物線得到拋物線，的頂點為，兩拋物線相交于點設(shè)交點的橫坐標為若，求的值．
【答案】(1)y=x+2
(2)
(3)
【分析】（1）先根據(jù)拋物線的函數(shù)表達式求出點A的坐標，再將點A的坐標和（1，3）代入y=kx+b，即可求出直線AB的函數(shù)表達式；
（2）過點P作交直線AB于點Q，過點P作PM⊥AB，垂足為點M，易證△MPQ為等腰直角三角形，分別表示出點P和點Q的坐標，求出PQ的最大值，當PQ取最大值時PM也取最大值，
（3）過點E作，交x軸于點P，過點D作DQ⊥PQ，垂足為Q，易證△APE～△DEQ，將點D的坐標用m表示出來，根據(jù)即可求出m的值．
（1）
解：當x=0時，，
∴A（0，2），
設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為：y=kx+b，
把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直線AB得函數(shù)表達式為：y=x+2．
（2）
將拋物線的函數(shù)表達式整理為一般式為：，
如圖，過點P作交直線AB于點Q，過點P作PM⊥AB，垂足為點M，
設(shè)點P的坐標為（a，），
∵，
∴點Q的橫坐標為a，
∵點Q在直線AB上，
∴點Q的坐標為（a，a+2），
∴，整理得：，
當a=時，PQ有最大值，最大值為，
∵直線AB與豎直方向得夾角為45°，
∴∠MQP=45°，
∴△MPQ為等腰直角三角形，
∴PM=，
當PQ取最大值時，PM也取最大值，
∴PM的最大值為：，
（3）
∵拋物線的函數(shù)表達式為：，
∴頂點C（1，1），
設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為：y=kx+b，將點C和點A的坐標代入得：
，解得：，
∴直線AC的函數(shù)表達式為：y=-x+2，
設(shè)點D的橫坐標為b，
∵點D在直線AC上，
∴點D的縱坐標為-b+2，即D（b，-b+2），
∴的函數(shù)表達式為：，
E的橫坐標為m，
∵點E在拋物線上，
∴點E的縱坐標為：，
∵點E也在拋物線上，
∴點E的縱坐標為：，
∴=，
整理得：解得：b=2m或b=1（舍），
∴D（2m，-2m+2），
過點E作，交x軸于點P，過點D作DQ⊥PQ，垂足為Q，
∵∠AED=90°，∠EPA=90°，
∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠DEQ=∠EAP，
在△APE和△DEQ中，
∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE，
∴△APE～△DEQ，
∴，
∵A（0，2），E（m，），D（2m，-2m+2），
∴PE=m，EQ=m，
DQ=，
AP=，
∴，整理得：，
解得：或（舍）．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)于判定，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)函數(shù)的表達式將點的坐標用同一個參數(shù)表示以及構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖①、②，在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．
(1)直接寫出C′的坐標，并求經(jīng)過O、A、C′ 三點的拋物線的解析式；
(2)點P在第四象限的拋物線上，求△C′OP的最大面積；
(3)如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，M的坐標為：，，
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點的坐標，根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過，，設(shè)出二次函數(shù)的交點式，將代入，求出二次函數(shù)解析式；
（2）過P作軸，交于Q，連接，求出的表達式，將P點的橫坐標為m，則有：，，表示出△的面積，求出最大值即可；
（3）根據(jù)三角形相似的判定，找出點M的位置，求出坐標即可．
(1)
解：過點作⊥x軸，垂足為M，
∵由題意可知△OAB和△C′DE是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵，在拋物線上，故設(shè)拋物線的解析式，
∴將代入：3a=，即a=，
∴．
(2)
解：過P作軸，交于Q，連接，
∵設(shè)的表達式為：，且經(jīng)過點，
∴，即
∴的表達式為：，
設(shè)P點的橫坐標為m，則有：，，
∴，
∴
∴△的最大面積為．
(3)
解：存在．
∵BF與⊙G相切
∴∠ABF＝90°
∵∠BAF＝60°，AB=OA=2
∴AF=4，OF=2，
∵∠BOF＝180°－∠BOA=120°，
∴△BOF為頂角為120°的等腰三角形
①AO=AM=2時，點M與點重合，此時∠OAC’＝120°，滿足相似
∴M
②OA=OM=2時，點M與點關(guān)于直線x=1對稱，此時∠AOM＝120°，滿足相似
∴M
③MO=MA時，點M為拋物線頂點（1，），此時tan∠AOM＝，
∴∠AOM＝30°，滿足相似
∴M
綜上∶M的坐標為：，，．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與面積的綜合計算，二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題，掌握二次函數(shù)的計算與幾何圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
14．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，聯(lián)結(jié)、．
(1)求該拋物線的表達式及頂點的坐標；
(2)如果點在拋物線上，平分，求點的坐標：
(3)如果點在拋物線的對稱軸上，與相似．求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)(2，?2)或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）作線段AB關(guān)于CB的對稱線段EB，連接CE，則可證得△ABC≌△EBC，則可得CB是∠ACE的平分線；則易得點E的坐標，可求得直線CE的解析式，并與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求得點P的坐標；
（3）分兩種情況考慮：∽；∽，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得點Q的坐標．
（1）
解：把、代入中，得：，
解得：，
所求拋物線的解析式為，
∵，
∴頂點D的坐標為(2，1)；
（2）
解：作線段AB關(guān)于CB的對稱線段EB，其中點E與點A是對稱點，連接CE，如圖．
則∠EBC=∠ABC，EB=AB．
在中，令x=0，則y=?3，即C(0，?3)，
∴OC=3，
∵，，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴EB=AB=OB?OA=3?1=2．
∵∠BOC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠EBC=∠ABC=45°，
∵AB=EB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC，
∴∠ACB=∠ECB，
∴CB是∠ACE的平分線；
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，
即EB⊥AB，且EB=2，
∴E的坐標為(3，?2)；
設(shè)直線CE的解析式為，把C、E兩點坐標分別代入得：，
解得：，
即直線CE解析式為；
由消去y并整理得：，
解得：或x=0(舍去)，
當時，，
即點P的坐標為；
（3）
設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點F，如圖，則F(2，0)．
∴BF=1，
由頂點D的坐標得DF=1，
即DF=BF
∴∠BDF=∠ABC=45°．
由勾股定理得DB=，．
設(shè)點Q的坐標為，則．
①當∽時，則，
即，
∴，
解得：，
即點Q坐標為(2，?2)；
②當∽時，則，
即，
∴，
解得：
即點Q坐標為；
綜上滿足條件的點Q的坐標為(2，?2)或．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，涉及分類討論思想，綜合性較強，有一定的運算量，熟練運用這些知識是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點連接，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點為拋物線在第三象限的一個動點，軸于點，交于點，于點，當?shù)拿娣e為時，求點的坐標；
(3)如圖，若為拋物線上一點，直線與線段交于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似．若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，坐標為或或或
【分析】（1）把和的坐標代入拋物線解析求出a和b即可求解；
（2）求出直線的解析式為，設(shè)，則，由三角形面積可得出或，則可得出答案；
（3）分兩種情況，①若，②若，由相似三角形的性質(zhì)可求出的長，求出點坐標，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求出答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線y=a+bx-3交x軸于，兩點，
∴ ，
解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：∵拋物線的解析式為，
∴時，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
設(shè)直線AC的解析式為，
∴ ，
∴，
∴直線AC的解析式為，
設(shè)，
則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：∵，，，
∴，，，
若以A，O，N為頂點的三角形與相似，可分兩種情況：
①若，
∴，
∴，
∴，
過點N作于點K，
∴，
∴，
∴，
∴直線ON的解析式為，
∴ ，
∴，
∴或（；
②若，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理ON的解析式為，
∴ ，
∴，
∴或．
綜上所述，點Q的坐標為或或或．
【點睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計算、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
16．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），與軸交于點．
(1)求點、的坐標；
(2)連接，若的中點為點，請你求經(jīng)過點和點的直線表達式；
(3)設(shè)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在軸上是否存在點，使與相似，若存在，求出所有點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）直接根據(jù)解析式即可求出B，C的坐標；
（2）先根據(jù)中點坐標公式求出，再利用待定系數(shù)法，即可求解；
（3）根據(jù)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，可得，，設(shè)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解出方程即可得到點P的坐標．
（1）
解：∵，
令，得，
∴，
令，得，
解得：，，
∴；
（2）
解∶ 由（1）得，
∵的中點為點，，
∴點坐標為，即，
設(shè)直線的表達式為，
由，得：
，解得，
∴直線的表達式為；
（3）
解：存在點，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．，
∴，，
∵，
∴，
根據(jù)題意得：，
設(shè)，
∴當時，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴或．
∴當時，，
∴，
∴，即：，
解得：，，，
∴或或或．
∴存在點坐標為或或或或或
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）在平面直角坐標系中， 拋物線 與 軸交于點 、點 （點 在點 的左側(cè)），與 軸交于點 ， 且過點 ．
(1)求拋物線的表達式：
(2)如圖 1， 點 為直線 上方拋物線上 （不與 重合） 一動點， 過點 作 軸， 交 于 ，過點 作 軸， 交直線 于 ， 求 的最大值及此時點 的坐標；
(3)如圖 2， 將原拋物線沿 軸向左平移 1 個單位得到新拋物線 ， 點 為新拋物線 上一點， 點 為原拋物線對稱軸上一點， 當以點 為頂點的四邊形為平行四邊形時， 求點 的坐標， 并寫出求其中一個 點坐標的解答過程．
【答案】(1)
(2)最大值為，
(3)（1，3）或（1，-3）．
【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表達PE+BD的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）分兩種情況：當AC為平行四邊形ACNM的邊時，當AC為平行四邊形ACNM的對角線時，分別利用點的平移和中點坐標公式進行求解即可．
（1）
把代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為
（2）
對于
令則，
∴
令則
解得，
∴
∴
設(shè)直線的解析式為
把代入得，
解得，，
∴設(shè)直線的解析式為
延長PD交x軸相交于點F，設(shè)
∴
∴
∴，
∵軸，軸，
∴∠
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴當時，的最大值為，此時
（3）
∵
∴該拋物線的對稱軸為直線
將拋物線向左平移1個單位后的解析式為：
若以為頂點的四邊形是平行四邊形有兩種情況；
①以AC為邊，如圖，
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：
由圖可知，點A向右平移3個單位，再向下平移若干個單位，即可得到點N，
∴將點C（0，3）向右平移3個單位，再向下平移若干個單位，可得到點M，
∴點M的橫坐標為：0+3=3，
當時，
∴
設(shè)點，
∵,
∴,
解得，
∴點N的坐標為或；
②當AC為平行四邊形的線時，
∵
∴AC的中點坐標為：，即
設(shè)，
由中點坐標公式得，
∴，
當時，，
∴
∴
∴
∴點N（1，3），
綜上，點N的坐標為（1，3）或（1，-3）．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法示函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值問題，中點坐標公式，平行四邊形存在性等知識，包括分類討論思想等，（3）關(guān)鍵是進行正確的分類討論．
18．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線與坐標軸分別交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．
(1)求拋物線解析式；
(2)拋物線上是否存在點P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由；
(3)如圖2，Q是△ABC內(nèi)任意一點，求的值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)的值為1
【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，代入A（－1，0），B（3，0），C（0，3）求解即可；
（2）作，交于點，分兩種情況，在上方或下方，利用相似三角形的性質(zhì)，求得的坐標，得到的解析式，聯(lián)立拋物線，即可求解；
（3）作，則，得到，由題意可得：，同理可得，，即可求解．
（1）
解：設(shè)拋物線解析式為，代入A（－1，0），B（3，0），C（0，3），可得
，解得
故拋物線解析式為；
（2）
解：存在，理由如下：
作，交于點
當在上方時，作軸，連接并延長交拋物線于點，如下圖：
由題意可得：，，，，則，
∴為等腰直角三角形，
∵
∴
∴，即
解得
∴，故
設(shè)解析式為，則，解得
即，
聯(lián)立拋物線可得，，即
解得，（舍去）
則，
當在下方時，作軸，連接交拋物線于點，如下圖：
可得，
此時
設(shè)解析式為，則，解得
即，
聯(lián)立拋物線可得，，即
解得，（舍去）
則
綜上所述，
（3）
解：，理由如下：
作，如下圖：
則，得到，
由題意可得：，
同理可得，，
∴．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想求解問題．
19．（2023·山西太原·山西大附中校考一模）已知拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線．
(1)直接寫出拋物線的解析式 ；
(2)如圖1，已知拋物線與軸交于，兩點，點在點的左側(cè)，點，在拋物線上，交拋物線于點．求點的坐標；
(3)已知點，在拋物線上，軸，點在點的左側(cè)，過點的直線與拋物線只有一個公共點與軸不平行），直線與拋物線交于另一點．若線段，設(shè)點，的橫坐標分別為，，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示為 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）逆向考慮，拋物線平移到拋物線，即可求拋物線的解析式；
（2）求出、、的點的坐標，設(shè)，過點作軸交于點，過點作軸交于點，可以證明ΔBNQ∽ΔPMB，由相似可得，求出即可；
（3）求出、、點坐標，設(shè)的解析式為，將點代入解析式可得，再由直線與拋物線只有一個交點，聯(lián)立方程，由判別式△可得，則直線為，在求出點坐標代入的解析式即可求解．
【詳解】（1）由已知可知，拋物線向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度得到拋物線，
拋物線，
故答案為：；
（2），
令，，
解得或，
，，
點，在拋物線上，
，解得，
，，
設(shè)，
過點作軸交于點，過點作軸交于點，如圖所示，
，
，
，
，
，
，
或，
點在第二象限，
，
，；
（3）點與在上，
，
軸，
，
設(shè)的解析式為，
，
，
，
直線與拋物線只有一個交點，
，
△，
，
直線的解析式為，
，設(shè)點D的坐標為(x，y)
∴，
∴
，
∵點D在直線MD上
，
整理得，，
，
故答案為：．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題；熟練掌握二次函數(shù)的平移特點，通過構(gòu)造直角三角形相似求點的坐標，并會求直線與拋物線交點坐標是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、 （點在點左側(cè)），與軸交于點．
(1)連接，則 °；
(2)如圖2，若經(jīng)過、、三點，連接、，若與 的周長之比為，求該拋物線的函數(shù)表達式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，拋物線對稱軸上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點的坐標為
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)表達式，分別求出、，繼而得到、是等腰直角三角形，即可得解；
（2）根據(jù)三角形外接圓圓心和圓周角定理可得是等腰直角三角形，繼而表示出的周長為：，再根據(jù)是等腰直角三角形表示出的周長為：，最后利用周長之比即可求出值，代入拋物線表達式即可得解；
（3）在（2）的條件下求出，，拋物線的對稱軸為直線，以及點，繼而得到，，，然后設(shè)，表示出，分情況討論求出值即可解答．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，在函數(shù)中，
當時，，
解得：，
∴，即，
當時， ，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案為：；
（2）解：由（1）知，
又∵點是的外接圓圓心，
∴, ,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴ ，
∴的周長為： ；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴的周長為： ，
又∵與 的周長之比為，
∴ ，
解得，（舍去），
∴該拋物線的函數(shù)表達式為；
（3）解：存在；
在（2）的條件下，，，
∴，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵點是的外接圓圓心，點為拋物線與軸的交點，
∴點也在直線上，
設(shè)直線與相交于點，如圖所示，
則，，，
∴ ，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴點是拋物線對稱軸上在點下方一動點，
∴設(shè)（），
∴，
∴當時，
∴ ，
解得：，（舍去）；
當時，
∴，
解得：，（舍去）；
綜上所述，點的坐標為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)幾何綜合，以及圓的有關(guān)性質(zhì)定理，熟練掌握圓周角定理，外接圓圓心性質(zhì)，兩點間的距離公式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)與判定進行分類是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題54有關(guān)面積比的存在性問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題54有關(guān)面積比的存在性問題(原卷版+解析)，共66頁。

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題41二次函數(shù)中的角度問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題41二次函數(shù)中的角度問題(原卷版+解析)，共80頁。

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題40二次函數(shù)中的面積問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題40二次函數(shù)中的面積問題(原卷版+解析)，共54頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題39二次函數(shù)中的線段周長問題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題39二次函數(shù)中的線段周長問題(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題38二次函數(shù)中的寬高模型(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題38二次函數(shù)中的寬高模型(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題32軸對稱綜合與折疊問題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題32軸對稱綜合與折疊問題(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題22最值問題中的瓜豆原理模型(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題22最值問題中的瓜豆原理模型(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部