【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE．折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上．若DE=4，則AF的長為（ ）
A． B．4 C．3 D．2
2．如圖，邊長為10的等邊中，點(diǎn)在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時，長為（ ）
A．6B．C．10D．
3．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時，PD的值為（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
6．如圖，在中，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動．已知點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)它們運(yùn)動的時間為秒．連接．下列結(jié)論正確的有（ ）個
①；
②當(dāng)時，；
③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時，與相切；
④當(dāng)時，．
A．B．C．D．
二、填空題
7．如圖，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長是______．
8．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長為________．
9．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時，的值為______．
三、解答題
10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．
(1)求證：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；
(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．
11．（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長．
12．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
13．如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．
（1）若，求證：；
（2）若，且在同一直線上時，求的值．
14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；
（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．
15．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．
（1）求證：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．
16．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求證：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請直接寫出EF長．
17．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說明理由．
18．如圖，正方形ABCD的邊長等于，P是BC邊上的一動點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．
（1）求證：△BEP∽△CPF；
（2）當(dāng)∠PAB＝30°時，求△PEF的面積．
19．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過點(diǎn)P作，交射線DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長為x．
(1)___________；當(dāng)時，_________；
(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；
(3)當(dāng)是等腰三角形時，請求出的值．
20．【推理】
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：．
【運(yùn)用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長．
【拓展】
（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．
21．在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．
（1）如圖1，若，求的值；
（2）如圖2，在線段上取一點(diǎn)，使平分，延長，交于點(diǎn)，若，求的值．
22．問題提出
（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．
問題探究
（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．
問題解決
（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長為，四邊形的面積為．
①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費(fèi)用．
特點(diǎn)
如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
結(jié)論
CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
解決方案
“三垂直”模型
如圖，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.
“一線三等角”模型
如圖，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.
特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.
專題11 相似三角形中的“K”字型相似模型
【模型展示】
【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE．折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上．若DE=4，則AF的長為（ ）
A． B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通過證明△ABF∽△DAE，可得，即可求解．
【詳解】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8
∴∠BAG+∠DAE=90°
∵折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，
∴BF垂直平分AG
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠DAE=∠ABF，
∴△ABF∽△DAE
∴即
解之：AF=3．
故答案為：C．
【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，邊長為10的等邊中，點(diǎn)在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時，長為（ ）
A．6B．C．10D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)等邊三角形，和含角的直角三角形，易證得
，從而求得線段，，，，，，的長度，最后在中利用勾股定理可以求得的長度．
【詳解】解：過點(diǎn)作于，
在等邊中，，，
在中，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠A=∠B=60°，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
已知
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而,
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊三角函數(shù)值，一線三等角的相似模型，正確找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時，PD的值為（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理求得AE，當(dāng)△APD'是直角三角形時，分兩種情況分類計(jì)算即可；
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，
在Rt△ABE中，AE，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AD＝6，
由折疊可知，PD＝PD'，
設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，
當(dāng)△APD'是直角三角形時，
①當(dāng)∠AD'P＝90°時，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
②當(dāng)∠APD'＝90°時，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
綜上所述：當(dāng)△APD'是直角三角形時，PD的值為或；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長公式求得結(jié)果．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，
，，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
矩形是中心對稱圖形，過矩形的中心．
過點(diǎn)，且，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
解得，或4，
或4，
當(dāng)時，，則，
，
四邊形的周長；
同理，當(dāng)時，四邊形的周長；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．
5．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【分析】由余角的定義可推出，并不能說明，說明①錯誤；再根據(jù)，可推出，進(jìn)而可證明，說明②正確；連接BD，由三角形中位線可知，再由可進(jìn)一步推出，即，即，說明④正確；在中，，即可求出CG長度，即可求出AB=2，說明③正確．
【詳解】解：∵，
∴，
∴不能說明，故①錯誤．
∵，
∴，
又∵
∴，故②正確．
如圖連接BD，
由題意可知，
∵G和F分別為CD和BC的中點(diǎn)，
∴，
∵
∴，即，
∴
在中，，即,
解得
∴，故③正確．
∵，
∴，即，故④正確．
綜上正確的有②③④共3個．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．能夠連接常用的輔助線和證明是解答本題的關(guān)鍵．
6．如圖，在中，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動．已知點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)它們運(yùn)動的時間為秒．連接．下列結(jié)論正確的有（ ）個
①；
②當(dāng)時，；
③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時，與相切；
④當(dāng)時，．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用銳角三角函數(shù)求出BC可判斷①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切銳角三角函數(shù)定義求值可判斷②，利用相似三角形判定與性質(zhì)，可判斷③，利用相似三角形判定與性質(zhì)建構(gòu)方程，解方程求解可判斷④
【詳解】解：在中，． ，
故①正確；
作AG⊥BD于G，
在Rt△ABC中，，
∵AD=AB=5，AG⊥BD
∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，
在Rt△DCB中，，
∴DG=BG=，
在Rt△BGA中，，
∴，
故②當(dāng)時，正確；
AD=t，BE=2t，csA=，
當(dāng)時，，，
∴，
∵，
∴csA=，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠DEB=90°，
∴與相切，
故③以點(diǎn)為圓心、為半徑畫，當(dāng)時，與相切正確；
過E作EH⊥AC于H，
當(dāng)時，
∵∠EHD=∠DCB=90°，
∴△EHD∽△DCB，
∴，
∵AE=5-2t，
∴AH=，EH=，，，
∴，
整理得，
因式分解得，
∴或（舍去），
故④當(dāng)時，正確；
正確的結(jié)論有4個．
故選擇D．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的切線判定，一元二次方程的解法，掌握銳角三角函數(shù)求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的切線判定，一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．
二、填空題
7．如圖，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長是______．
【答案】
【分析】根據(jù) 正方形的性質(zhì)求出，證明得到，即可求出答案.
【詳解】解：四邊形是正方形，，
，OA=OB=OC=OD，
∵,
∴，
，
，
，即
，，
，，
，解得
故答案為：.
【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中熟練掌握并運(yùn)用各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
8．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長為________．
【答案】或
【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)GD=GE時，過點(diǎn)G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．設(shè)AF=x，證明△BAF∽△ADE，推出，可得DE=，再證明AM=MD=6，在Rt△FGM中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．如圖2中，當(dāng)DG=DE時，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖1中，當(dāng)GD=GE時，過點(diǎn)G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．設(shè)AF=x．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，
由翻折的性質(zhì)可知，AF=FG，BF⊥AG，
∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠BAF=∠ADE=90°，
∴△BAF∽△ADE，
∴，
∴，
∴DE=，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，
∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，
∴四邊形GMDN是矩形，
∴GM=DN=EN=，
∵GD=GE，
∴∠GDE=∠GED，
∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，
∴∠GDA=∠GAD，
∴GA=GD=GE，
∵GM∥DE，
∴AM=MD=6，
在Rt△FGM中，則有，
解得或（舍棄），
∴AF=．
如圖2中，當(dāng)DG=DE時，
由翻折的性質(zhì)可知，BA=BG，
∴∠BAG=∠BGA，
∵DG=FE，
∴∠DGE=∠DEG，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEG，
∴∠AGB=∠DGE，
∴B，G，D共線，
∵BD=，BG=BA=9，
∴DG=DE=6，
∵△BAF∽△ADE，
∴，
∴，
∴AF=，
綜上所述，AF的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
9．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時，的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對稱，可證△BDF∽△CFE，根據(jù)BF=4CF，可得CF=4，根據(jù)AF為軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線,DE為對稱軸，可得DE⊥AF，
根據(jù)S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進(jìn)而可求．
【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對稱，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
設(shè)CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF為軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線,DE為對稱軸，
∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案為:．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質(zhì)，一線三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質(zhì)：對角線互相垂直的四邊形的面積＝對角線乘積的一半．
三、解答題
10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．
(1)求證：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；
(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)相似，證明見解析
(3)存在，
【分析】(1)由題意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，據(jù)此證得結(jié)論；
(2)根據(jù)題意可證得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，據(jù)此即可證得△AEF與△ECF相似；
(3)假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根據(jù)題意可知此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
（1）
證明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）
解：△AEF∽△ECF．
理由：∵E為AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）
解：存在使得△AEF與△BFC相似．
理由：
假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：
①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立；
②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，
設(shè)BC＝a，則AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF＝，BF＝，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，．
∴存在使得△AEF與△BFC相似．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
11．（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．
【詳解】（1）證明：如題圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
設(shè)，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．
12．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】探究：證明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，
則PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．
（1）若，求證：；
（2）若，且在同一直線上時，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)已知條件，即可證明≌，則，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系求得；
（2）由勾股定理求得的長度，再由的面積求得的長度，則可用勾股定理求得的長度，則可得的長度，再由≌，求得的長度，在中，根據(jù)勾股定理即可求得，即可求得的值．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如圖，三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴∽，
∴，
即
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、相似比等，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用以上知識點(diǎn)，利用勾股定理求解線段的長．
14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；
（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根據(jù)題意可證明∠DAF＝∠BAE，又由于∠ABE＝∠ADF＝90°，即證明△ADF∽△ABE，所以．
（2）作GH⊥CF于H，根據(jù)題意可求出DF＝3BE＝3x，根據(jù)平行線分線段成比例得出，即可列出關(guān)于x的等式，從而得出GH和FH的長，即可求出HD的長，ct∠ADG＝ct∠DGH＝，即可求出結(jié)果．
（3）作EM//GD交DC于點(diǎn)M，即可知，可求出DM，從而求出CM，根據(jù)圖形可證明△ABE∽△ECM，即可得到，即列出關(guān)于x的方程，解出x即可．
【詳解】（1）如圖，因?yàn)锳F⊥AE，
∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．
∵同角的余角相等，
∴∠DAF＝∠BAE．
∵∠ABE＝∠ADF＝90°．
∴△ADF∽△ABE．
∴．
（2）由，得DF＝3BE＝3x．
如圖，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．
根據(jù)題意結(jié)合平行線分線段成比例得：．
∵，，
∴．即GH＝，F(xiàn)H＝．
在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，
∵∠ADG＝∠DGH，
∴ct∠ADG＝ct∠DGH＝＝=．
（3）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF內(nèi)部時，很明顯∠FGD和∠AFE不相等．所以點(diǎn)G在△ADF外部．
如圖，作EM//GD交DC于點(diǎn)M，那么．
∴DM＝6x，
∴MC＝1－6x．
如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．
∴∠AEM＋∠EAF＝180°．
∴∠AEM＝90°．
∴△ABE∽△ECM．
∴．即．
整理，得x2－9x＋1＝0．
解得，（不符合題意，舍去）．
所以BE＝．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形，余角，平行線的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
15．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．
（1）求證：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）8．
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先利用勾股定理求出PC的長，從而可得BP的長，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】（1），
，
，
在和中，，
；
（2）在中，，
，
，
，
由（1）已證：，
，即，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求證：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請直接寫出EF長．
【答案】（1）①見解析；②＝；（2）EF＝．
【分析】（1）①根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似，證明即可．
②證明△AEF∽△ABC，推出＝，推出＝，推出△FAC∽△EAB，可得結(jié)論．
（2）利用勾股定理求出AM，AC，由MFC∽△MCA，推出＝，求出MF，AF，由△AEF∽△ABC，推出＝，可得結(jié)論．
【詳解】（1）①證明：∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，
∴∠FAC＝∠MCF，
∵∠FMC＝∠CMA，
∴△MFC∽△MCA．
②解：∵四邊形AEFG，四邊形ABCD都是矩形，
∴FG∥AE，CD∥AB，
∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，
∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FAE＝∠CAB，
∵∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∵∠FAE＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠EAB，
∴△FAC∽△EAB，
∴＝＝．
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，
∵DM＝MC＝2，AD＝3，
∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，
∵△MFC∽△MCA，
∴＝，
∴FM＝＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
17．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．理由見解析
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等證明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出兩三角形相似的條件；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，等量代換得出，即可得出DE=AE．
【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△ABE和△DEF中，
∴△ABE∽△DEF ；
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵△ABE∽△EBF，
∴，
∴，
∴DE=AE，
∴點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角的余角相等證出兩角相等是解決（1）的關(guān)鍵，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例等量代換是解決（2）的關(guān)鍵．
18．如圖，正方形ABCD的邊長等于，P是BC邊上的一動點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．
（1）求證：△BEP∽△CPF；
（2）當(dāng)∠PAB＝30°時，求△PEF的面積．
【答案】（1）詳見解析；（2）．
【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根據(jù)相似三角形的判定即可求證△BEP∽△CPF；
（2）由題意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，
∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，
∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，
∴∠BEP＝∠FPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEP∽△CPF；
（2）∵∠PAB＝30°，
∴∠BPA＝60°，
∴∠BPE＝30°，
在Rt△ABP中，
∠PAB＝30°，AB＝，
∴BP＝1，
在Rt△BPE中，
∠BPE＝30°，BP＝1，
∴EP＝，
∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，
∴PF＝2CP＝2﹣2，
∴△PEF的面積為：PE?PF＝2﹣．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．
19．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過點(diǎn)P作，交射線DC于點(diǎn)E，已知，．設(shè)AP的長為x．
(1)___________；當(dāng)時，_________；
(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；
(3)當(dāng)是等腰三角形時，請求出的值．
【答案】(1),
(2)為定值，
(3)或
【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解決問題；
（2）結(jié)論：的值為定值．證明方法類似（1）；
（3）分兩種情形討論求解即可解決問題；
（1）
解：作于交于．
四邊形是矩形，
，，，
．
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案為4，．
（2）
結(jié)論：的值為定值．
理由：由，可得．，，，
，
；
（3）
①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，連接交于．
，所以只能，
，
，
，
，
垂直平分線段，
在中，，
，
，
，
．
②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，設(shè)交于．
，所以只能．
，
，，
，
，，
，
綜上所述，的值為或4．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．
20．【推理】
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：．
【運(yùn)用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長．
【拓展】
（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）或
【分析】（1）根據(jù)ASA證明；
（2）由（1）得，由折疊得，進(jìn)一步證明，由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可；
（3）如圖，連結(jié)HE，分點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊和點(diǎn)在點(diǎn)右邊兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長，再由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．
【詳解】（1）如圖，由折疊得到，
，
．
又四邊形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．
（2）如圖，連接，
由（1）得，
，
由折疊得，，
．
四邊形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如圖，連結(jié)HE，
由已知可設(shè)，，可令，
①當(dāng)點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊時，如圖，
同（2）可得，，
，
由折疊得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時，如圖，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
21．在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．
（1）如圖1，若，求的值；
（2）如圖2，在線段上取一點(diǎn)，使平分，延長，交于點(diǎn)，若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)，可設(shè)，則，，再證明，由相似三角形性質(zhì)即可用k表示出BF，從而求得比值；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由可得，再證，從而，設(shè)，由角平分線性質(zhì)可得：，，設(shè)，則，由列方程即可求出，再根據(jù)即可求出比值．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
，
由折疊的性質(zhì)得：，，，
，
設(shè)，則，
，
又，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
；
（2）如解圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
，，
，
∴，
設(shè)，
平分，
，，
設(shè)，則，
，解得
而，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合問題，也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)和角平分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．難點(diǎn)是構(gòu)造垂直利用角平分線性質(zhì)得線段相等并利用相似進(jìn)行求解．
22．問題提出
（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．
問題探究
（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．
問題解決
（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長為，四邊形的面積為．
①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費(fèi)用．
【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．
【分析】（1）先由矩形的性質(zhì)得，再由三角形面積公式求解即可；
（2）由折疊的性質(zhì)得：，再證，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解；
（3）①先證得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)面積公式列式求解；
②根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值
【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴
故答案為：；
（2）存在，理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴．
∵Q是的中點(diǎn)，∴．
由折疊的性質(zhì)得：，
當(dāng)點(diǎn)P、、三點(diǎn)在同一條直線上時，，
∴．
∵，
∴．
∵∵，
∴，
∴，即，
解得：或；
（3）①根據(jù)題意做出輔助線，如圖所示．
由題意得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由，則．
∵，
∴，
∴，
∴
；
②由①知，，
當(dāng)時，四邊形的面積取得最小值為，
∴最低造價為（元），
∴四邊形金屬部件每個的造價最低費(fèi)用約為963.3元．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、梯形面積公式、三角形面積公式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
特點(diǎn)
如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
結(jié)論
CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
解決方案
“三垂直”模型
如圖，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.
“一線三等角”模型
如圖，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.
特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.

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