注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)值為（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則，和復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可求解.
【詳解】，
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
2. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解集合A,然后進(jìn)行交集補(bǔ)集運(yùn)算即可.
【詳解】集合,
或,則
故選：C
3. 已知向量，且，則的值是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)可得，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)椋矗?br>化簡，整理得，
則，解得.
故選：D
4. 已知，為兩個(gè)不重合的平面，l，m為兩條不同的直線，（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理逐一判斷即可.
【詳解】對于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，，由面面平行的性質(zhì)定理可得，故D正確.
故選：D
5. 下列說法中正確的是（ ）
A. 若事件與事件是互斥事件，則
B. 對于事件和，
C. 一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件
D. 把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是互斥事件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件以及事件的關(guān)系與運(yùn)算逐一判斷即可.
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)槭录c事件是互斥事件，但不一定對立，所以不一定成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，因?yàn)槭录筒灰欢ㄊ腔コ馐录?，所以沒有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，因?yàn)槭录爸辽儆幸淮沃邪小迸c事件“至多有一次中靶”，可以同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)榧凹追值眉t牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時(shí)發(fā)生，所以這兩事件是互斥事件，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
6. 如圖，在中，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值為（ ）
A. 50B. 80C. 86D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用平向量基本定理將用表示出來，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【詳解】因?yàn)樵谥?，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，
所以，
，
所以
.
故選：B
7. 定義在R上的奇函數(shù)滿足：任意，都有，
設(shè)，，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，，利用對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而即可得答案.
【詳解】因?yàn)槭窃赗上的奇函數(shù)，且任意，都有，
所以在R上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以
即.
故選：C.
8. 某地政府對在家附近工作的年輕人進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)約為（ ）
A. 150.5B. 152.5C. 154.5D. 156.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)頻率之和為1求出未知數(shù)，再找到頻率之和為0.5所在的區(qū)間即可根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行求解中位數(shù).
【詳解】依題意，，解得，
顯然，，
所以樣本中位數(shù)為.
故選：B
二、多選題
9. 已知，，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】通過舉反例判斷選項(xiàng)AC錯(cuò)誤；利用作差法判斷B選項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?所以，所以，故選項(xiàng)B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，所以，又，所以，故選項(xiàng)D正確；
故選：BD.
10. 已知，則（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 的最小正周期是
C. 圖象的一個(gè)對稱中心是
D. 上單調(diào)遞增
【答案】AC
【解析】
【分析】由三角恒等變換化簡解析式，由定義判斷A；由周期公式判斷B；由性質(zhì)判斷CD.
詳解】，
對于A：，即是奇函數(shù)，故A正確；
對于B：的最小正周期是，故B錯(cuò)誤；
對于C：令，當(dāng)時(shí)，圖象的對稱中心是，故C正確；
對于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
11. 如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 平面
C. 的最小值為
D. 當(dāng)，C，，P四點(diǎn)共面時(shí)，四面體的外接球的體積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，求出為定值，且P到平面的距離為1，從而由等體積得到錐體體積為定值；B選項(xiàng)，證明出面面平行，得到線面平行；
C選項(xiàng)，將兩平面展開到同一平面，連接，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值即為的長，由勾股定理得到最小值；
D選項(xiàng)，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，四面體的外接球即正方體的外接球，求出正方體的外接球半徑，得到外接球體積.
【詳解】對于A，因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，
所以平面，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又為定值，
故定值，A正確；
對于B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>同理可知平面，
又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正確.
對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
連接，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值即為的長，
過點(diǎn)作⊥，交的延長線于點(diǎn)，
其中，
故，又勾股定理得，C正確；
對于D，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，
四面體的外接球即正方體的外接球，
故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.
三、填空題
12. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正數(shù)，滿足，可得，
再由，利用基本不等式即可求解.
【詳解】由正數(shù)，滿足，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
13. 某幾何體底面的直觀圖為如圖矩形，其中，該幾何體底面的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直觀圖，得到底面平面圖形的形狀和圖形的高，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出底面積.
【詳解】在直觀圖中，令軸與交于點(diǎn)，則，
直觀圖還原為平面圖形如圖，
根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系可得：，
故該幾何體的底面是平行四邊形，其面積為.
故答案為：.
14. 已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，則___________.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】利用正弦定理、三角變換公式可得及，故可得，消元后可得的值.
【詳解】由正弦定理可得，
故，
故，
整理得到，
而，故，所以，
故，解得或，
若，則，故同為鈍角，這與矛盾，
故.
故答案為：.
四、解答題
15. 已知函數(shù)滿足．
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)在上的值域．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用換元法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
令，得，
則，
故的解析式為．
【小問2詳解】
由題意得，
函數(shù)的對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
，
故在上的值域?yàn)椋?br>16. 正四棱臺(tái)兩底面邊長分別為2和4．
（1）若側(cè)棱長為，求棱臺(tái)的表面積；
（2）若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)分別為上，下底面的中心，分別取的中點(diǎn)，利用梯形求出斜高，從而求出表面積；
（2）根據(jù)已知條件求出斜高, 再由直角梯形求出四棱臺(tái)的高.
【小問1詳解】
如圖，設(shè)分別為上，下底面的中心，
分別取的中點(diǎn)，連接，則為正四棱臺(tái)的斜高，
，
則棱臺(tái)的表面積.
【小問2詳解】
兩底面面積之和為，
正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，解得，
正四棱臺(tái)的高.
17. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦邊角關(guān)系得，根據(jù)余弦定理求的余弦值，進(jìn)而確定其大小；
（2）由已知和余弦定理得，再由求面積最大值，注意取值條件.
【小問1詳解】
由已知，
即，由正弦邊角關(guān)系得，
所以，又，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理，得，又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故的面積的最大值為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BP上，且，四邊形ABCD為正方形，.

（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由線面垂直的判定求證；
（2）由轉(zhuǎn)化求解；
（3）由線面垂直的性質(zhì)得即二面角的平面角，即可求解．
【小問1詳解】
證明：因?yàn)榈酌?，底面，所?
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?
因?yàn)椋云矫?
因?yàn)槠矫?，所?
在中，，E是PC的中點(diǎn)，則.
因?yàn)?，所以平?
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)?，，所以平?
因?yàn)槠矫?，所?
【小問2詳解】
連接交于點(diǎn)，如圖所示：

則，又底面，平面，得，
而，則平面，則點(diǎn)C到平面的距離為，
因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以
，，，，
所以，，
所以.
【小問3詳解】
解：由（1）可得平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以?
為二面角的平面角.
，.
因?yàn)?，所以，解?
因?yàn)?，即，所?
故二面角的余弦值為.
19. 當(dāng)我們沉浸在游戲世界中時(shí)，很容易忽視時(shí)間的流逝，甚至忘記自己的學(xué)業(yè)和生活.一些大學(xué)生因?yàn)檫^度沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲，導(dǎo)致學(xué)業(yè)成績下滑，身體健康狀態(tài)也受到影響.長時(shí)間盯著電腦屏幕，不僅會(huì)導(dǎo)致視力下降，還可能引發(fā)頸椎病等健康問題.更為嚴(yán)重的是，過度依賴虛擬世界的社交可能會(huì)削弱我們在現(xiàn)實(shí)生活中的社交能力，造成人與人之間的疏離感.某大學(xué)心理機(jī)構(gòu)為了向大學(xué)生宣傳沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲的危害，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)選擇了200位沉迷網(wǎng)絡(luò)的大學(xué)生進(jìn)行宣傳，將這些大學(xué)生每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時(shí)間分成五段：，，，，（單位：小時(shí)），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）請估計(jì)這200位大學(xué)生每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的平均時(shí)間（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（3）現(xiàn)在從和兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行交流，求這2人每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時(shí)間所在區(qū)間不同的概率.
【答案】（1）0.1；
（2）7.4小時(shí)； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖tk 小矩形面積和為1求出值.
（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的算法，列式計(jì)算即得.
（3）利用分層抽樣求出指定兩個(gè)區(qū)間的人數(shù)，再利用列舉法求出古典概率.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖，得，所以.
小問2詳解】
每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲平均時(shí)間（小時(shí)）.
【小問3詳解】
每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時(shí)間在和內(nèi)的人數(shù)比為，
則用分層抽樣的方法抽取的5人中，在內(nèi)的有1人，記為，在內(nèi)的有4人，記為，
這5人中隨機(jī)抽取2人的試驗(yàn)的樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，
玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時(shí)間所在區(qū)間不同的事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，
所以這2人每天玩網(wǎng)絡(luò)游戲的時(shí)間所在區(qū)間不同的概率.

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