考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.
【詳解】，，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
故選：A
2. 已知隨機(jī)變量的分布列為
則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)概率之和為1可得.
【詳解】由題意：，
可得：.
故選：D.
3. 冬季某服裝店銷售a，b，c，d，e五種不同款式的羽絨服，甲、乙、丙三人每人任意選擇一款羽絨服購買，則不同的購買選擇有（ ）
A. 15種B. 60種C. 125種D. 243種
【答案】C
【解析】
【分析】用分步乘法原理計(jì)算.
【詳解】每人有5種不同的購買選擇，總的購買選擇有種.
故選：C.
4. 已知圓與直線相切，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 5B. 10C. 25D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】利用直線與圓相切，建立方程，即可求解.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，
解得：.
故選：D
5. 已知函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得：
解之得：，所以.
故選：B
6. 如圖，在三棱錐中，，，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量線性運(yùn)算將用，，表示即可.
【詳解】如圖：
故選：C.
7. 若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可代入數(shù)值，比較大小.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞增，
所以，即，
化簡為.
故選：A
8. 有包含甲在內(nèi)的4名同學(xué)參加演講比賽，由7名評委進(jìn)行不記名投票，每名評委投1票，獲得票數(shù)最多且領(lǐng)先第二名不少于2票的同學(xué)可直接獲得冠軍，則甲直接獲得冠軍的投票結(jié)果有（ ）
A. 13種B. 16種C. 17種D. 20種
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，甲直接獲得冠軍的得票數(shù)可能為4票，5票，6票，7票.分別求出每種得票數(shù)的結(jié)果總數(shù)，再相加即可得到答案.
【詳解】因?yàn)楂@得票數(shù)最多且領(lǐng)先第二名不少于2票的同學(xué)可直接獲得冠軍，
所以甲直接獲得冠軍的得票數(shù)可能為4票，5票，6票，7票.
當(dāng)甲的得票數(shù)為4票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為3票，
若其中有1名同學(xué)得票數(shù)為2票，有1名同學(xué)得票數(shù)為1票，其余同學(xué)得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；
若其中每名同學(xué)的得票數(shù)均為1票，則投票結(jié)果共有種；
所以，當(dāng)甲得票數(shù)為4票時(shí)，投票結(jié)果共有種.
當(dāng)甲的得票數(shù)為5票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為2票，
若其中有1名同學(xué)得票數(shù)為2票，其余同學(xué)得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；
若其中有2名同學(xué)的得票數(shù)均為1票，其余同學(xué)得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；
所以，當(dāng)甲的得票數(shù)為5票時(shí)，投票結(jié)果共有種.
當(dāng)甲的得票數(shù)為6票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為1票，此時(shí)投票結(jié)果共有種.
當(dāng)甲的得票數(shù)為7票時(shí)，其余3名同學(xué)得票總數(shù)為0票，此時(shí)投票結(jié)果共有種.
所以，則甲直接獲得冠軍的投票結(jié)果共有種.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則A，B相互獨(dú)立
C. 若A與B相互獨(dú)立，則D. 若A與B相互獨(dú)立，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)并事件的概率的計(jì)算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件及對立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的并事件的概率公式即可判斷C.
【詳解】對于A，若，則，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，?br>所以，所以A，B相互獨(dú)立，故B正確；
對于C，A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，
則，故C錯(cuò)誤；
對于D，A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，
所以，故D正確.
故選：BD.
10. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為．若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知可得公差為正數(shù)，從而逐一可判定各選項(xiàng)正誤.
【詳解】由已知，故，即公差.
，故A正確；
又，故B錯(cuò)誤；
而，故C正確;
由已知無法判定的符號，故D不一定正確.
故選：AC
11. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 的面積的最大值為
B. 以線段為直徑的圓與直線相切
C. 恒成立
D. 若，，為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A，根據(jù)面積表達(dá)式得到點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)三角形面積最大，對B，利用幾何法即可判斷直線與圓的關(guān)系，對C，設(shè)，寫出向量數(shù)量積的表達(dá)式即可判斷，對D，分類討論即可.
【詳解】對A，，則，
由圖得，
顯然當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，的面積的最大值，最大值為，故A錯(cuò)誤；
對B，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；
對C，設(shè)，則，且，則，
，，
則
，故C正確；
對D，由C選項(xiàng)知，
則，則，
若，令，則有，解得，
同理若，令，則有，解得，故D正確.
故選：BCD.
12. 已知函數(shù)，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A可以通過分析法，變形分析兩者大??；
選項(xiàng)B可以通過冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性引入中間值進(jìn)行比較；
選項(xiàng)C可以通過函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較；
選項(xiàng)D因,不在一個(gè)單調(diào)區(qū)間中，可以通過符號比較,
【詳解】函數(shù)，所以.
令得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
對于A，要證，只需證，只需證
因?yàn)椋?，所以，即證，所以A正確.
對于B，，所以B錯(cuò)誤.
對于C，由A知，由函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減可知.
對于D，，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；，所以，所以D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
指數(shù)對數(shù)比較大小，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行綜合考慮，從底數(shù)、冪、真數(shù)是否相同入手.函數(shù)值的大小直接比較困難時(shí)，需要利用函數(shù)的單調(diào)性.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知等差數(shù)列的公差為1，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列，建立方程求首項(xiàng)，即可求解通項(xiàng)公式.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，
因?yàn)?，所以，得?br>即.
故答案為：
14. 已知，則______．（用數(shù)字作答）
【答案】252
【解析】
【分析】首先利用換元，轉(zhuǎn)化二項(xiàng)展開式，再利用二項(xiàng)式定理，求的值.
詳解】設(shè)，則，
即，
是前的系數(shù)，即.
故答案為：252
15. 若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值點(diǎn)，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>由，得或，則在區(qū)間和上單調(diào)遞增，
由，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
要使函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，又，
則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
16. 已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線（）與軸交于點(diǎn)，若A為右支上的一點(diǎn)，且，則的離心率的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用定義化簡條件可得，根據(jù)建立不等關(guān)系，化簡可得a，c關(guān)系，由此可求離心率范圍.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，
對于直線，令，解得，即，
∵A為右支上的一點(diǎn)，則，即，
則，整理得，
注意到，可得，整理得，
由雙曲線可知，所以的離心率的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)在處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1），
（2）最大值為11，最小值為
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)和，求出，的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在上的單調(diào)性，求出最值.
【小問1詳解】
由已知得，
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得，
又因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
由（1）知，，
令，解得或．
當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示：
所以在區(qū)間上的最大值為11，最小值為．
18. 已知數(shù)列滿足且．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）記，若數(shù)列滿足，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出，求出、的值，將等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)可得出關(guān)于的方程，解之即可.
【小問1詳解】
解：聯(lián)立，解得，
因，所以．
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
解：由（1）得，所以，所以．
由得，兩邊平方可整理得，
兩邊平方整理得，
解得或（舍去），故．
19. 如圖，在直三棱柱中，，是面積為的正方形，且與平面所成的角為．
（1）求三棱柱的體積；
（2）若為棱上靠近的三等分點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由線面垂直得到與平面所成的角為，從而求出的值，再用三棱柱的體積公式即可求出答案；
(2) 建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入夾角的余弦值公式即可求出答案.
【小問1詳解】
在直三棱柱中，，，，
平面，平面，
所以平面，
所以是與平面所成的角，即．
因?yàn)槭敲娣e為的正方形，
所以，則，，
所以三棱柱的體積為．
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，．
設(shè)平面的法向量為，則
，
解得，
取，則；
設(shè)平面的法向量為，則
，
解得，
取，則．
設(shè)平面與平面夾角的大小為，則
．
20. 已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由斜率之積可得橢圓半焦距，再利用橢圓定義即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)圓的性質(zhì)知，再利用韋達(dá)定理及判別式可得結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓C的半焦距為．
因?yàn)橹本€，的斜率之積為，
所以，解得c=1．
因?yàn)?，利用橢圓定義可得橢圓長軸，解得，
則．
所以C的方程為．
【小問2詳解】
由已知得過點(diǎn)且滿足題意的直線l的斜率存在，不妨設(shè)，
聯(lián)立消去y得，
令，
解得．
設(shè)，，則，，
因?yàn)橐訢E為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)O，所以，即，，
所以，
即，
所以，
整理可得，
解得，滿足，
所以直線l的方程為．
21. 某外國語高中三個(gè)年級的學(xué)生的人數(shù)相同，現(xiàn)按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中隨機(jī)抽取90位同學(xué)，調(diào)查他們外語詞匯量（單位：個(gè)）掌握情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
（1）求，，的值；
（2）在這90份樣本數(shù)據(jù)中，從詞匯量位于區(qū)間的高三學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記抽取的這2人詞匯量位于區(qū)間的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）以樣本數(shù)據(jù)中詞匯量位于各區(qū)間的頻率作為學(xué)生詞匯量位于該區(qū)間的概率，假設(shè)該學(xué)校有的學(xué)生外語選修日語，且選修日語的學(xué)生中有的人詞匯量位于區(qū)間．現(xiàn)從該學(xué)校任選一位學(xué)生，若已知此學(xué)生詞匯量位于區(qū)間，求他外語選修的是日語的概率．
【答案】（1），，
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
（3）
【解析】
【分析】（1）由條件可知，三個(gè)年級的樣本人數(shù)都是30，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，列式求解；
（2）利用超幾何分布求概率，再根據(jù)分布列求期望；
（3）利用條件概率求解.
【小問1詳解】
由題意，得，解得；
【小問2詳解】
由題意可知，詞匯量位于區(qū)間的高三學(xué)生有12人，位于區(qū)間的高三學(xué)生有8人，
則X的所有可能取值為0，1，2，
，，，
所以隨機(jī)變量X的概率分布列為：
所以．
【小問3詳解】
由題知，詞匯量位于區(qū)間的概率為，
從該學(xué)校任選一位學(xué)生，外語選修日語且詞匯量位于區(qū)間的概率為，
根據(jù)條件概率的公式，在已知此學(xué)生詞匯量位于區(qū)間的條件下，
他外語選修的是日語的概率為．
22. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，分類討論和時(shí)的正負(fù)，即可得出的單調(diào)性；
（2）解法一：“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”．對求導(dǎo)，討論的單調(diào)性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性和最值即可得出答案.
【小問1詳解】
由條件知，，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
解法一：由方程得，“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”．
，．
①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
（?。┤?，則，最多只有一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）若，因?yàn)?，且，?br>所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．
令函數(shù)，則，．
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù).
所以，故．
所以，又，
所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
故a的取值范圍為．
解法二：由方程得．
設(shè)函數(shù)，則，．
令，得，設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值也就是最大值為，
且當(dāng)，x趨近于0時(shí)，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，，且趨近于0．
方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合函數(shù)圖象可知a的取值范圍是．
0
1
+
0
0
+

單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
11
詞匯量
頻數(shù)
高一年級
16
2
2
0
高二年級
8
8
4
2
高三年級
6
8
8
4
X
0
1
2
P

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這是一份2022-2023學(xué)年河南省商丘市部分學(xué)校高二下學(xué)期6月摸底考試數(shù)學(xué)試題含答案，共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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《河南省商丘市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)》

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河南省商丘市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

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