2022-2023學年河南省商丘市部分學校高二下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：A2．已知隨機變量的分布列為01 則實數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機變量的分布列性質(zhì)概率之和為1可得.【詳解】由題意：，可得：.故選：D.3．冬季某服裝店銷售a，b，c，d，e五種不同款式的羽絨服，甲、乙、丙三人每人任意選擇一款羽絨服購買，則不同的購買選擇有（    ）A．15種 B．60種 C．125種 D．243種【答案】C【分析】用分步乘法原理計算.【詳解】每人有5種不同的購買選擇，總的購買選擇有種.故選：C.4．已知圓與直線相切，則實數(shù)（    ）A．5 B．10 C．25 D．100【答案】D【分析】利用直線與圓相切，建立方程，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得：.故選：D5．已知函數(shù)（其中是的導函數(shù)），則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】由題意可得：解之得：，所以.故選：B6．如圖，在三棱錐中，，，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量線性運算將用，，表示即可.【詳解】如圖：故選：C.7．若定義域為的函數(shù)及其導函數(shù)滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可代入數(shù)值，比較大小.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即單調(diào)遞增，所以，即，化簡為.故選：A8．有包含甲在內(nèi)的4名同學參加演講比賽，由7名評委進行不記名投票，每名評委投1票，獲得票數(shù)最多且領(lǐng)先第二名不少于2票的同學可直接獲得冠軍，則甲直接獲得冠軍的投票結(jié)果有（    ）A．13種 B．16種 C．17種 D．20種【答案】C【分析】由題意得，甲直接獲得冠軍的得票數(shù)可能為4票，5票，6票，7票.分別求出每種得票數(shù)的結(jié)果總數(shù)，再相加即可得到答案.【詳解】因為獲得票數(shù)最多且領(lǐng)先第二名不少于2票的同學可直接獲得冠軍，所以甲直接獲得冠軍的得票數(shù)可能為4票，5票，6票，7票.當甲的得票數(shù)為4票時，其余3名同學得票總數(shù)為3票，若其中有1名同學得票數(shù)為2票，有1名同學得票數(shù)為1票，其余同學得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；若其中每名同學的得票數(shù)均為1票，則投票結(jié)果共有種；所以，當甲的得票數(shù)為4票時，投票結(jié)果共有種.當甲的得票數(shù)為5票時，其余3名同學得票總數(shù)為2票，若其中有1名同學得票數(shù)為2票，其余同學得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；若其中有2名同學的得票數(shù)均為1票，其余同學得票數(shù)為0票，則投票結(jié)果共有種；所以，當甲的得票數(shù)為5票時，投票結(jié)果共有種.當甲的得票數(shù)為6票時，其余3名同學得票總數(shù)為1票，此時投票結(jié)果共有種.當甲的得票數(shù)為7票時，其余3名同學得票總數(shù)為0票，此時投票結(jié)果共有種.所以，則甲直接獲得冠軍的投票結(jié)果共有種.故選：C. 二、多選題9．設(shè)A，B為兩個隨機事件，若，，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．若，則 B．若，則A，B相互獨立C．若A與B相互獨立，則 D．若A與B相互獨立，則【答案】BD【分析】根據(jù)并事件的概率的計算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨立事件及對立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨立事件的并事件的概率公式即可判斷C.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，因為，，所以，所以A，B相互獨立，故B正確；對于C，A與B相互獨立，則也相互獨立，則，故C錯誤；對于D，A與B相互獨立，則也相互獨立，所以，故D正確.故選：BD.10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為．若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由已知可得公差為正數(shù)，從而逐一可判定各選項正誤.【詳解】由已知，故，即公差.，故A正確；又，故B錯誤；而，故C正確;由已知無法判定的符號，故D不一定正確.故選：AC11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓C上一動點，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．的面積的最大值為B．以線段為直徑的圓與直線相切C．恒成立D．若，，為一個直角三角形的三個頂點，則點P的縱坐標為【答案】BCD【分析】對A，根據(jù)面積表達式得到點位于上下頂點時三角形面積最大，對B，利用幾何法即可判斷直線與圓的關(guān)系，對C，設(shè)，寫出向量數(shù)量積的表達式即可判斷，對D，分類討論即可.【詳解】對A，，則，由圖得，顯然當點位于橢圓上下頂點時，的面積的最大值，最大值為，故A錯誤；對B，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；對C，設(shè)，則，且，則，，，則，故C正確；對D，由C選項知，則，則，若，令，則有，解得，同理若，令，則有，解得，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，且，，則（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】選項A可以通過分析法，變形分析兩者大?。?/span>選項B可以通過冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性引入中間值進行比較；選項C可以通過函數(shù)單調(diào)性進行比較；選項D因,不在一個單調(diào)區(qū)間中，可以通過符號比較,【詳解】函數(shù)，所以.令得，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減.對于A，要證，只需證，只需證因為， ，所以，即證，所以A正確.對于B，，所以B錯誤.對于C，由A知，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知.對于D，，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；，所以，所以D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：指數(shù)對數(shù)比較大小，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性進行綜合考慮，從底數(shù)、冪、真數(shù)是否相同入手.函數(shù)值的大小直接比較困難時，需要利用函數(shù)的單調(diào)性. 三、填空題13．已知等差數(shù)列的公差為1，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列，建立方程求首項，即可求解通項公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差，因為，所以，得，即.故答案為：14．已知，則______．（用數(shù)字作答）【答案】252【分析】首先利用換元，轉(zhuǎn)化二項展開式，再利用二項式定理，求的值.【詳解】設(shè)，則，即，是前的系數(shù)，即.故答案為：25215．若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值點，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，由，得或，則在區(qū)間和上單調(diào)遞增，由，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，要使函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，又，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，直線（）與軸交于點，若A為右支上的一點，且，則的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】利用定義化簡條件可得，根據(jù)建立不等關(guān)系，化簡可得a，c關(guān)系，由此可求離心率范圍.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，對于直線，令，解得，即，∵A為右支上的一點，則，即，則，整理得，注意到，可得，整理得，由雙曲線可知，所以的離心率的取值范圍為.故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求實數(shù)，的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)，(2)最大值為11，最小值為 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)和，求出，的值；（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的在上的單調(diào)性，求出最值.【詳解】（1）由已知得，因為在處取得極值，所以，解得，又因為，所以.（2）由（1）知，，令，解得或．當x變化時，，的變化情況如下表所示： +00+  單調(diào)遞增極大值 單調(diào)遞減極小值 單調(diào)遞增11 所以在區(qū)間上的最大值為11，最小值為．18．已知數(shù)列滿足且．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記，若數(shù)列滿足，求的值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出，求出、的值，將等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)可得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】（1）解：聯(lián)立，解得，因為，所以．所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）得，所以，所以．由得，兩邊平方可整理得，兩邊平方整理得，解得或（舍去），故．19．如圖，在直三棱柱中，，是面積為的正方形，且與平面所成的角為．(1)求三棱柱的體積；(2)若為棱上靠近的三等分點，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)由線面垂直得到與平面所成的角為，從而求出的值，再用三棱柱的體積公式即可求出答案；(2) 建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，代入夾角的余弦值公式即可求出答案.【詳解】（1）在直三棱柱中，，，，平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的角，即．因為是面積為的正方形，所以，則，， 所以三棱柱的體積為．（2）以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則；設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則．設(shè)平面與平面夾角的大小為，則．20．已知橢圓的上、下焦點分別為，，點滿足直線，的斜率之積為，點是上任意一點，．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由斜率之積可得橢圓半焦距，再利用橢圓定義即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)圓的性質(zhì)知，再利用韋達定理及判別式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為．因為直線，的斜率之積為，所以，解得c=1．因為，利用橢圓定義可得橢圓長軸，解得，則．所以C的方程為．（2）由已知得過點且滿足題意的直線l的斜率存在，不妨設(shè)，聯(lián)立消去y得，令，解得．設(shè)，，則，，因為以DE為直徑的圓經(jīng)過點O，所以，即，，所以，即，所以，整理可得，解得，滿足，所以直線l的方程為．21．某外國語高中三個年級的學生的人數(shù)相同，現(xiàn)按人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法從三個年級中隨機抽取90位同學，調(diào)查他們外語詞匯量（單位：個）掌握情況，統(tǒng)計結(jié)果如下：      詞匯量頻數(shù)高一年級16220高二年級8842高三年級6884 (1)求，，的值；(2)在這90份樣本數(shù)據(jù)中，從詞匯量位于區(qū)間的高三學生中隨機抽取2人，記抽取的這2人詞匯量位于區(qū)間的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(3)以樣本數(shù)據(jù)中詞匯量位于各區(qū)間的頻率作為學生詞匯量位于該區(qū)間的概率，假設(shè)該學校有的學生外語選修日語，且選修日語的學生中有的人詞匯量位于區(qū)間．現(xiàn)從該學校任選一位學生，若已知此學生詞匯量位于區(qū)間，求他外語選修的是日語的概率．【答案】(1)，，(2)分布列見解析，數(shù)學期望為(3) 【分析】（1）由條件可知，三個年級的樣本人數(shù)都是30，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，列式求解；（2）利用超幾何分布求概率，再根據(jù)分布列求期望；（3）利用條件概率求解.【詳解】（1）由題意，得，解得；（2）由題意可知，詞匯量位于區(qū)間的高三學生有12人，位于區(qū)間的高三學生有8人，則X的所有可能取值為0，1，2，，，，所以隨機變量X的概率分布列為：X012P 所以．（3）由題知，詞匯量位于區(qū)間的概率為，從該學校任選一位學生，外語選修日語且詞匯量位于區(qū)間的概率為，根據(jù)條件概率的公式，在已知此學生詞匯量位于區(qū)間的條件下，他外語選修的是日語的概率為．22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不同的實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）對求導，分類討論和時的正負，即可得出的單調(diào)性；（2）解法一：“方程有兩個不同的實數(shù)根”等價于“函數(shù)有兩個零點”．對求導，討論的單調(diào)性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，對求導，得出的單調(diào)性和最值即可得出答案.【詳解】（1）由條件知，，當時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）解法一：由方程得，“方程有兩個不同的實數(shù)根”等價于“函數(shù)有兩個零點”．，．①當時，，在上是增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意； ②當時，由得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減．（ⅰ）若，則，最多只有一個零點； （ⅱ）若，因為，且，，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點．令函數(shù)，則，．當時，，在上是增函數(shù)；當時，，在上是減函數(shù).所以，故．所以，又，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點．綜上可知：當時，有兩個零點，即方程有兩個不同的實數(shù)根，故a的取值范圍為．解法二：由方程得．設(shè)函數(shù)，則，．令，得，設(shè)，則當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以的極大值也就是最大值為，且當，x趨近于0時，趨近于負無窮，當趨近于正無窮時，，且趨近于0．方程有兩個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知a的取值范圍是． 

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