2021北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題（共10個(gè)小題，每題4分，共40分）1．（4分）角的終邊落在射線上，則的值為　　A． B． C． D．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，且．把角的終邊繞端點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)弧度，這時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角是，則　　A． B． C． D．3．（4分）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，向量，向量，那么中點(diǎn)坐標(biāo)為　　A． B． C． D．4．（4分）若，則　　A．， B．， C．， D．，5．（4分）下列結(jié)論正確的是　　A．若，則或 B．若，，則 C．若，，則或 D．若，其中，則6．（4分）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則它的一條對(duì)稱軸方程為　　A． B． C． D．7．（4分）如圖，函數(shù)的圖象是由正弦曲線或余弦曲線經(jīng)過(guò)變換得到的，則的解析式可以是　　A． B． C． D．8．（4分）已知，，，則，　　A．1 B． C．0 D．9．（4分）已知函數(shù)，，，則“是偶函數(shù)”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）已知向量，，滿足，且，則，，中最小的值是　　A． B． C． D．無(wú)法確定二、填空題（共5個(gè)小題，每題3分，共15分）11．（3分）　 　．12．（3分）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么　　；若，則　　．13．（3分）若函數(shù)值不恒為常數(shù)）滿足以下兩個(gè)條件：①為偶函數(shù)；②對(duì)于任意的，都有．則其解析式可以是　　（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的解析式即可）14．（3分）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表如下：200200則　　，　　．15．（3分）長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（ⅰ）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間，；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是 　　．三、解答題（共6個(gè)小題，共45分）16．（6分），是單位圓上的點(diǎn)，點(diǎn)是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限．記且．（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）求的值．17．（7分）已知向量，向量．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量平行？并說(shuō)明它們是同向還是反向．18．（8分）已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．（8分）將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）用“五點(diǎn)法”做出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖像．20．（8分）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件．（Ⅰ）確定的解析式：（Ⅱ）若圖象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間，上，求的取值范圍．條件①：的最小值為；條件②：圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，；條件③：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．21．（8分）定義：若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且存在非零常數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則稱為線周期函數(shù)，為的線周期．（Ⅰ）下列函數(shù)，①，②，③，（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），是線周期函數(shù)的是　　（直接填寫(xiě)序號(hào)）；（Ⅱ）若為線周期函數(shù)，其線周期為，求證：函數(shù)為周期函數(shù)；（Ⅲ）若為線周期函數(shù)，求的值．
參考答案一、選擇題（共10個(gè)小題，每題4分，共40分）1．【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：角的終邊落在射線，上，時(shí)，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意任意角三角函數(shù)的定義的合理運(yùn)用．2．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：由題意，可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)，，，，由題意可知，，解得，，，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，是基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正切圖象，即可求解．【解答】解：由圖象可知，當(dāng)，時(shí)，，正切函數(shù)的圖象周期為，當(dāng)，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正切圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由共線向量的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于，模相等，當(dāng)方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則與不一定平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)與不一定相等，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行向量的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由題意利用余弦函數(shù)的周期性求出，再利用它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，，故，令，，求得，令，可得它的一條對(duì)稱軸方程為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的周期性以及圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)周期先求出的值，排除，，然后在通過(guò)，進(jìn)行排除即可．【解答】解：函數(shù)的周期，即，則，排除，，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，不滿足條件．排除，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合條件利用排除法是解決本題的關(guān)鍵．8．【分析】將兩邊平面，由向量的運(yùn)算性質(zhì)可求得，由向量夾角的運(yùn)算即可求解，．【解答】解：因?yàn)?/span>，，，所以，即，解得，所以，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量夾角的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】先求出函數(shù)是偶函數(shù)的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若為偶函數(shù)，則， “是偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)題意，可利用坐標(biāo)法給出三個(gè)特殊向量，然后分別計(jì)算，，，然后求解．【解答】解：由向量，，滿足，且，則，，，所以，，，因?yàn)?/span>，所以，整理得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，以及學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．二、填空題（共5個(gè)小題，每題3分，共15分）11．【分析】直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)求值，考查計(jì)算能力．12．【分析】可畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形可得出，，從而求出的值；然后得出，進(jìn)而可求出的值．【解答】解：如圖，，，，又，根據(jù)平面向量基本定理，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的特點(diǎn)，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，平面向量基本定理，向量數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由條件可得滿足是偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可考慮三角函數(shù)，可得結(jié)論．【解答】解：對(duì)于任意的，都有，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，考慮函數(shù)，滿足，即為偶函數(shù)；又，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的解析式的求法，以及函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性，考查定義法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表得：，且，解得，，從而，由此能求出結(jié)果．【解答】解：由“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表得：，且，解得，，，，，，．故答案為：，0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)題意得到，的定義域?yàn)?/span>，，值域?yàn)?/span>，，對(duì)任意的，成立且在，上單調(diào)遞增，由此對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一的分析判斷即可．【解答】解：由聯(lián)合調(diào)度要求可知，的定義域?yàn)?/span>，，值域?yàn)?/span>，，對(duì)任意的，恒成立且在，上單調(diào)遞增．①在，上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；②在，上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>，，又因?yàn)?/span>對(duì)任意的，恒成立，所以對(duì)任意的，恒成立，故選項(xiàng)②正確；③對(duì)任意的，不恒成立，比如，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；④在，上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>，，令，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，則單調(diào)遞減，又，，所以在，上恒成立，故對(duì)任意的，恒成立，故選項(xiàng)④正確．故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題（共6個(gè)小題，共45分）16．【分析】（Ⅰ）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)．（Ⅱ）由題意利用誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，，即點(diǎn)坐標(biāo)為：，．（Ⅱ）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可；（Ⅱ）由向量共線性質(zhì)得到的方程，解之即可．【解答】解：（Ⅰ），；（Ⅱ），由向量與向量共線可得，解得，代入得，即兩個(gè)向量同向．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量模的坐標(biāo)計(jì)算，向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）將已知等式兩邊平方利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，結(jié)合范圍，可得，進(jìn)而可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，兩邊平方得，整理得．，由知，，又，，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)的圖象變換求解即可；（Ⅱ）確定關(guān)鍵的“五點(diǎn)”的坐標(biāo)，作出函數(shù)圖象即可．【解答】解：（Ⅰ）將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，所以；（Ⅱ）五點(diǎn)為：，作出一個(gè)周期的圖象如圖所示．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象的作法，解題的關(guān)鍵是確定關(guān)鍵的“五點(diǎn)”，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（Ⅰ）先根據(jù)已知求出的最小正周期，即可求解，再根據(jù)所選條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解和的值，從而可得的解析式；（Ⅱ）由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得關(guān)于的不等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由于函數(shù)圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期，．此時(shí)．選條件①②：因?yàn)?/span>的最小值為，所以．因?yàn)?/span>圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)，所以．選條件①③：因?yàn)?/span>的最小值為，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，．因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以．選條件②③：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)．所以．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，，所以，所以．（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>圖象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間，上，所以，得，所以的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）根據(jù)新定義判斷即可，（Ⅱ）根據(jù)新定義證明即可，（Ⅲ）為線周期函數(shù)，可得存在非零常數(shù)，對(duì)任意，．即可得到，解得驗(yàn)證即可．【解答】解：（Ⅰ）對(duì)于①，故不是線周期函數(shù)對(duì)于②，故不是線周期函數(shù)對(duì)于③，故是線周期函數(shù)故答案為：③（Ⅱ）證明：為線周期函數(shù)，其線周期為，存在非零常數(shù)，對(duì)任意，恒成立．，．為周期函數(shù)．（Ⅲ）為線周期函數(shù)，存在非零常數(shù)，對(duì)任意，．．令，得；令，得；①②兩式相加，得．，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．存在非零常數(shù)，對(duì)任意，，為線周期函數(shù)．綜上，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受與應(yīng)用能力，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．

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