【題型精講】
【題型一 統(tǒng)計(jì)概率和函數(shù)綜合】
例1 （2022·華師大二附中高三練習(xí)）體檢時(shí)，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對(duì)其血液采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬?duì)于 份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式:一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn) 次.二是混合檢驗(yàn)，將 份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這 份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了﹔如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這 份血液究竟哪些為陽(yáng)性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則 份血液檢驗(yàn)的次數(shù)共為 次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為 ，而且各體檢人是否患該疾病相互獨(dú)立.
（1）若 ，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率;
（2）某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:
方案一:采用混合檢驗(yàn);
方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗(yàn).
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問(wèn)方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”?請(qǐng)說(shuō)明理由.
例2 為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：
減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中．
（1）若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)分層抽樣的方法抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求至少有2件一級(jí)品的概率；
（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：
①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；
②從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種型號(hào)的減排器平均利潤(rùn)率較大？
【題型精練】
1. （2022·貴州省思南中學(xué)高三月考）黨中央，國(guó)務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測(cè)工作，中央應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會(huì)議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測(cè)范圍，著力提升檢測(cè)能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為.現(xiàn)有6例疑似病例，分別對(duì)其取樣?檢測(cè)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性.若混合樣本呈陽(yáng)性，則需將該組中備用的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無(wú)需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：6個(gè)樣本逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：6個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：6個(gè)樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測(cè)能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.
（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽(yáng)性的概率；
（2）若，現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，當(dāng)方案三比方案二更“優(yōu)”時(shí)，求的取值范圍.
2．（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）象棋屬于二人對(duì)抗性游戲的一種，在中國(guó)有著悠久的歷史，由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢(shì)，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標(biāo)系 ，棋盤的左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，馬每一步從 移動(dòng)到 或 .
（1）若棋盤的右上角為 ，馬從 處出發(fā)，等概率地向各個(gè)能到達(dá)（不離開(kāi)棋盤）的方向移動(dòng)，求其4步以內(nèi)到達(dá)右上角的概率.
（2）若棋盤的右上角為 ，馬從 處出發(fā)，每一步僅向 方向移動(dòng)，最終到達(dá)棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段 上次數(shù) 的數(shù)學(xué)期望.
【題型二 統(tǒng)計(jì)概率和導(dǎo)數(shù)綜合】
例3 （2022·四川模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．
（1）若，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望；
（2）若整輪比賽下來(lái)，甲隊(duì)只勝一場(chǎng)的概率為，求的最大值．
例4 （2022·武昌模擬）中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國(guó)制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無(wú)人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國(guó)制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.
①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；
②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.
【題型精練】
1．（2022·石家莊模擬）某種疾病可分為、兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人數(shù)占男性病人的，女性患型病的人數(shù)占女性病人的.
（1）若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？
（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)來(lái)研發(fā)此疾病的治療藥物.兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各至多安排個(gè)接種周期進(jìn)行試驗(yàn).甲團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次接種花費(fèi)元，每個(gè)周期至多接種3次，第一個(gè)周期連續(xù)次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進(jìn)入第二個(gè)接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進(jìn)入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗(yàn)，否則需依次接種至至試驗(yàn)結(jié)束：乙團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費(fèi)元，每個(gè)周期接種次，每個(gè)周期必須完成次接種，若一個(gè)周期內(nèi)至少出現(xiàn)次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)接種周期，假設(shè)兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立.當(dāng)，時(shí)，從兩個(gè)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，試證明該公司選擇乙團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)的決策是正確的.
附：，
2. （2022·臨沂二模）某醫(yī)療研究所新研發(fā)了一款醫(yī)療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專家檢測(cè)儀器的可靠性，已知每位專家評(píng)估過(guò)程相互獨(dú)立．
（1）若安排兩位專家進(jìn)行評(píng)估，專家甲評(píng)定為“可靠”的概率為，專家乙評(píng)定為“可靠”的概率為，只有當(dāng)兩位專家均評(píng)定為“可靠”時(shí)，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現(xiàn)隨機(jī)抽取4臺(tái)儀器，由兩位專家進(jìn)行評(píng)估，記評(píng)定結(jié)果不可靠的儀器臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）為進(jìn)一步提高該醫(yī)療儀器的可靠性，研究所決定每臺(tái)儀器都由三位專家進(jìn)行評(píng)估，若每臺(tái)儀器被每位專家評(píng)定為“可靠”的概率均為p（），且每臺(tái)儀器是否可靠相互獨(dú)立．只有三位專家都評(píng)定儀器可靠，則儀器通過(guò)評(píng)估．若三位專家評(píng)定結(jié)果都為不可靠，則儀器報(bào)廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺(tái)儀器評(píng)估費(fèi)用為100元，若回研究所返修，每臺(tái)儀器還需要額外花費(fèi)300元的維修費(fèi)．現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢儀器為100臺(tái)，研究所用于評(píng)估和維修的預(yù)算是3.3萬(wàn)元，你認(rèn)為該預(yù)算是否合理？并說(shuō)明理由．
【題型三 統(tǒng)計(jì)概率和數(shù)列綜合】
例5 （2022·唐山二模）足球是一項(xiàng)大眾喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.
(1)為了解喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?
(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；
（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．
例6 （2022·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開(kāi)學(xué)考試）為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見(jiàn)》，完善學(xué)校體育“健康知識(shí)＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競(jìng)賽－校級(jí)聯(lián)賽－選拔性競(jìng)賽－國(guó)際交流比賽”為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國(guó)家五級(jí)學(xué)校體育競(jìng)賽制度．某校開(kāi)展“陽(yáng)光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛(ài)．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為 ，乙每次踢球命中的概率為 ，且各次踢球互不影響．
（1）經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為 ，求 的數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過(guò) 輪踢球，用 表示經(jīng)過(guò)第 輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②規(guī)定 ，且有 ，請(qǐng)根據(jù)①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式．
【題型精練】
1．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．
2.（2022·廣東高三模擬）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從年高考開(kāi)始，高考物理、化學(xué)等六門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).
某校級(jí)學(xué)生共人，以期末考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換了本校的等級(jí)成績(jī)，為學(xué)生合理選科提供依據(jù)，其中物理成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下
（1）從物理成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取名，求恰好有名同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于的概率;
（2）待到本級(jí)學(xué)生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機(jī)抽取學(xué)生，直到抽到名同學(xué)的物理高考成績(jī)等級(jí)為或結(jié)束(最多抽取人)，設(shè)抽取的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(注: ).
綜合得分的范圍
減排器等級(jí)
減排器利潤(rùn)率
一級(jí)品
二級(jí)品
三級(jí)品
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)
不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計(jì)
80
120
200
成績(jī)
93
91
90
88
87
86
85
84
83
82
人數(shù)
1
1
4
2
4
3
3
3
2
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