一、選擇題：本題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的。
1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知二次函數(shù) ，則其二次項(xiàng)系數(shù) a，一次項(xiàng)系數(shù) b，常數(shù)項(xiàng) c 分別是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3.二次函數(shù) 的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.二次函數(shù) 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
5.用配方法解方程 時(shí)，此方程可變形為（ ）
A. B. C. D.
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6.點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)對稱，則 的值為（ ）
A.-1 B.1 C.-2024 D.2024
7.如果函數(shù) 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，那么 k 的值是（ ）
A.1 或 2 B.0 或 2 C.2 D.0
8.某商品原售價(jià)為 200 元，連續(xù)兩次降價(jià) 后售價(jià)為 100 元，下面所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知實(shí)數(shù) a，b 分別滿足 ， ，且 ，則 的值是（ ）
A.7 B.-7 C.11 D.-11
10. 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，當(dāng) x 的取值范圍是 時(shí)，y 在 時(shí)取得最大值，則
實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分。
11.已知關(guān)于 x 的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是 m，n，則 ______.
12.一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較大的根是______.
13.如圖所示，在正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于點(diǎn) O， 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°后與 重合，
，則四邊形 BEOF 面積是______.
14.有 m 支球隊(duì)要進(jìn)行籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），共比賽了 10 場，則 ______.
15.二次函數(shù) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象解析式為______.
16.拋物線 的對稱軸為直線 ，圖象過 點(diǎn)，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①
；② ；③ ；④若點(diǎn) ， 均在拋物線上，則 ；
⑤ .其中正確的序號有______.
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三、計(jì)算題：本大題共 1 小題，共 4 分。
17.解方程： .
四、解答題：本題共 8 小題，共 68 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
18.（本小題 4 分）
已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) ， ，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.
19.（本小題 6 分）
如圖， 中， .
（1）將 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°得到 ，連接 ， （保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形 是菱形.
20.（本小題 6 分）
已知關(guān)于 x 的方程 .
（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；
（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為 1 時(shí)，求 a 的值及方程的另一根.
21.（本小題 8 分）
如圖所示，拋物線 與直線 相交于點(diǎn) A， .
（1）直接寫出實(shí)數(shù) m，n 的值，并求出點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)；
（2）若 ，請直接寫出 x 的取值范圍.
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22.（本小題 10 分）
水果店王阿姨在水果批發(fā)市場以 20 元/kg 的價(jià)格購進(jìn)一種水果，若這種水果的銷售量 ykg 與銷售單價(jià) x 元/kg
的滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
（1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式.并在不虧錢的情況下直接寫出自變量 x 的取值范圍；
（2）請你幫王阿姨拿個(gè)主意，將這種水果的銷售單價(jià)定為多少時(shí)，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
23.（本小題 10 分）
如圖所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn) ， ， ，它的對稱軸為直線 .
（1）求 的面積；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點(diǎn) P 是該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作直線 的垂線，垂足為點(diǎn) D，點(diǎn) E 是直線 上的點(diǎn)，若以點(diǎn) P，
D，E 為頂點(diǎn)的三角形與 全等，求滿足條件的點(diǎn) P，點(diǎn) E 的坐標(biāo).
24.（本小題 12 分）
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如圖， 中， ，將 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 ，點(diǎn) D 落在線段 上，連
接 .
（1）求證： 平分 ；
（2）試判斷線段 與線段 的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若 ，請你求出 的度數(shù).
25.（本小題 12 分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，拋物線 E： 的頂點(diǎn) P 在拋物線 F：
上，直線 與拋物線 E，F(xiàn) 分別交于點(diǎn) A， .
（1）求 a 的值；
（2）將 A，B 的縱坐標(biāo)分別記為 ， ，設(shè) ，若 s 的最大值為 4，則 m 的值是多少？
（3） 是 x 軸的正半軸上一點(diǎn)，且 的中點(diǎn) M 恰好在拋物線 F 上.試探究：此時(shí)無論 m 為何負(fù)值，在 y
軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn) G，使 總為直角？若存在，請求出點(diǎn) G 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：選項(xiàng) A、B、C 均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°后與原來的圖形重合，所
以不是中心對稱圖形；
選項(xiàng) D 能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.
故選：D.
根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可.
2.【答案】D
【解析】【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.
【解答】
解：∵函數(shù) 是二次函數(shù)，
整理得： ，
∴二次項(xiàng)系數(shù) ，一次項(xiàng)系數(shù) ，常數(shù)項(xiàng) .
故選 D.
3.【答案】C
【解析】解：∵二次函數(shù) ，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線 ，頂點(diǎn)為 ，
故選項(xiàng) C 符合，
故選：C.
利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
4.【答案】A
【解析】解：二次函數(shù) 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
故選：A.
對于二次函數(shù) ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，據(jù)此求解即可.
5.【答案】B
【解析】解： ，
移項(xiàng)得： ，
配方得： ，即 .
故選 B.
將方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊都加上 16，左邊化為完全平方式，即可得到結(jié)果.
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6.【答案】B
【解析】解：∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴ ， ，
則 .
故選：B.
直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出 a，b 的值，即可求出答案.
7.【答案】D
【解析】【分析】
依據(jù)二次函數(shù)的定義可知 ， ，從而可求得 k 的值.
【解答】
解：∵函數(shù) 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，
∴ ， .
解得 .
8.【答案】B
【解析】解：當(dāng)商品第一次降價(jià) 時(shí)，其售價(jià)為 （元）.
當(dāng)商品第二次降價(jià) 后，其售價(jià)為 （元）.
∴ .
故選：B.
9.【答案】A
【解析】【分析】
根據(jù)已知兩等式得到 a 與 b 為方程 的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出 與 的值，所
求式子通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用完全平方公式變形，將 與 的值代入計(jì)算即
可求出值.
【解答】解：根據(jù)題意得：a 與 b 為方程 的兩根，
∴ ， ，
則原式 .
故選 A.
10.【答案】B
【解析】解：第一種情況：
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當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸不在 內(nèi)時(shí)，此時(shí)，對稱軸一定在 的右邊，函數(shù)方能在這個(gè)區(qū)域取得
最大值，
，即 ，
第二種情況：
當(dāng)對稱軸在 內(nèi)時(shí)，對稱軸一定是在區(qū)間 的中點(diǎn)的右邊，因?yàn)槿绻谥悬c(diǎn)的左邊的話，就
是在 的地方取得最大值，即：
，即 （此處若 a 取 5 的話，函數(shù)就在 1 和 3 的地方都取得最大值）
綜合上所述 .
故選：B.
由于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)不能確定，故應(yīng)分對稱軸不在 和對稱軸在 內(nèi)兩種情況進(jìn)行解答.
11.【答案】1
【解析】解：∵關(guān)于 x 的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是 m，n，
∴ ，
故答案為：1.
根據(jù)一元二次方程 的根與系數(shù)的關(guān)系 得出結(jié)論.
12.【答案】6
【解析】解：∵ 或 ，
∴ ， ，
∴原方程較大的根為 6.
故答案為 6.
原方程轉(zhuǎn)化為 或 ，然后解兩個(gè)一次方程即可得到原方程較大的根.
13.【答案】1
【解析】解：∵ 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°后與 重合，
∴ ，
∴ ，
∴四邊形 面積 ，
故答案為：1.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 ，由面積和差關(guān)系可求解.
14.【答案】5
【解析】解：依題意得： ，
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整理得： ，
解得： ， （不合題意，舍去）.
故答案為：5.
根據(jù)賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），共比賽了 10 場，列出一元二次方程，解之取符合題意的
值即可.
15.【答案】
【解析】解； 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故變換后的拋物線為 ，
故答案為： .
根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的特點(diǎn)，可得答案.
16.【答案】②③⑤
【解析】解：①∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故①錯(cuò)誤.
②∵拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴ ，故②正確.
③∵拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)是 ，對稱軸是 ，
∴拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)是 ，
∴ ，故③正確.
④∵點(diǎn) 在拋物線上，對稱軸為 ，
∴ 也在拋物線上，
∵-1.5>-2，且 ， 都在對稱軸的左側(cè)，
∴ ，故④錯(cuò)誤.
⑤∵拋物線對稱軸為 ，且經(jīng)過 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴⑤正確.
故正確的判斷是②③⑤.
故答案為②③⑤.
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①根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知：① ， ， ，據(jù)此判斷即可；
②根據(jù)拋物線與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合一元二次方程根的判別式判斷即可；
③由圖象可知拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)是 ，對稱軸為 ，進(jìn)而確定另一個(gè)交點(diǎn)，然后判斷即可；
④結(jié)合二次函數(shù)對稱軸確定其增減性判斷即可；
⑤ 根 據(jù) 對 稱 軸 為 可 得 ， 進(jìn) 而 可 得 ， ，
.
17.【答案】【解答】
解：因式分解得， ，
∴ 或 ，
解得 ， .
【解析】【分析】
將等號左邊寫成兩個(gè)一次因式的積，分別令每個(gè)因式等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)一元
一次方程，得到方程的解.
18.【答案】解：依題意，得 ，
解得 ，
所以二次函數(shù)表達(dá)式為 .
【解析】把兩已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入 得到關(guān)于 b、c 的方程組.然后解方程組求出 b、c 的值即
可.
19.【答案】（1）解：如圖所示.
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（2）證明：∵ 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 ，
∴ ， ，
∴四邊形 是平行四邊形，
∵ ，∴ ，
∴四邊形 是菱形.
【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的判定證明即可.
20.【答案】解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴ ，
解得： .
∴ 的取值范圍是 ；
（2）設(shè)方程的另一根為 ，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
，
解得： ，
則 的值是-1，該方程的另一根為-3
【解析】（1）關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即判別式 .即可得
到關(guān)于 的不等式，從而求得 的范圍.
（2）設(shè)方程的另一根為 ，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出 a 的值和方程的另一根.
21.【答案】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
∴ ，
∵直線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
∴ ，
解方程組 得 或 ，
∴ ， ；
（2）若 ， 的取值范圍為 .
【解析】（1）利用拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 5 確定 m 的值，利用直線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定 n 的值，然后
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解方程組 得點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)；
（2）利用函數(shù)圖象，寫出拋物線在一次函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.
22.【答案】解：（1）設(shè)所求關(guān)系式為 ，
由圖得：
解得： ，
∴所求關(guān)系式： ；
（2）設(shè)這種水果的利潤為 w 元，
依題意： ，
∴這種水果定價(jià) 30 元/kg 時(shí)，可獲最大利潤 1100 元.
【解析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由 ， ，即可求解.
23.【答案】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）由題意得： ，
則 ，
解得： ，
則所求解析式： ；
（3）∵拋物線： ，對稱軸直線 ，
∴即直線 為直線 ，
∵ ， ，
∴等腰 中 ，
∵ 與 全等； 直線 ，
∴ 且點(diǎn) D、E 在直線 上，
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設(shè) ，則 ，
∴當(dāng) 時(shí)， ，即 ，
∴當(dāng) 時(shí)， ，即 ，
∵ 直線 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，點(diǎn) D，E 在直線 上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， .
【解析】（1）由 ，即可求解；
（2）由待定系數(shù)法的即可求解；
（3）等腰 中 ，而 與 全等， 直線 ，得到 且
點(diǎn) D、E 在直線 上，設(shè) ，則 ，進(jìn)而求解.
24.【答案】（1）證明：∵將 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴ 平分 .
（2）解： ，
理由：由旋轉(zhuǎn)得 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：如圖， ，
∵ ，∴ ，
由（1）、（2）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的度數(shù)是 72°.
【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)得 ， ，則 ，所以 ，即可證明
平分 ；
（2）由旋轉(zhuǎn)得 ，則 ，由 ， ，
得 ， ， 所 以 ， 則
，所以 ；
（ 3） 由 （ 1） 、 （ 2） 得 ， 因 為 ， 所 以
，則 ，于是得
，求得 .
25.【答案】解：（1）由題意可知，拋物線 E： 的頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ，
∵點(diǎn) P 在拋物線 F： 上，
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∴ ，∴ .
（2）∵直線 與拋物線 E，F(xiàn) 分別交于點(diǎn) A，B，
∴ ， ，
∴ ，
∵-3

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