（考試時間120分鐘，滿分150分）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).
2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.
3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案用0.5毫米的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.
4.考試結(jié)束后將本試題和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.
1. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)計算可得的值.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，
則，所以.
故選：C.
2. 已知雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，且滿足，則的離心率為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的傾斜角的關(guān)系可求兩條漸近線的傾斜角，結(jié)合離心率公式可得答案.
【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程分別為，易知.
又，解得.所以，
所以的離心率為.
故選：D.
3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. 188B. 189C. 190D. 191
【答案】B
【解析】
【分析】由通項(xiàng)公式結(jié)合分組求和、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解；
【詳解】因?yàn)?br>，
所以.
故選：B.
4. 過點(diǎn)向圓可以作兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得點(diǎn)在圓外，由此列出不等式求出范圍.
【詳解】依題意，得點(diǎn)在圓外，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
5. 當(dāng)時，設(shè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，且滿足，若，則（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)得是常數(shù)，再由得，即可得函數(shù)解析式，進(jìn)而求函數(shù)值.
【詳解】由，即，即，
所以是常數(shù)，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，得.
故選：D
6. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列的片斷和成等比數(shù)列求解．
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以也成等比數(shù)列，且公比為，
所以，即，
所以.
故選：B.
7. 已知點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】直線與拋物線相切時，切點(diǎn)到直線的距離即為最小值，由此可求解．
【詳解】設(shè)直線與拋物線相切于點(diǎn)Px0,y0，顯然切點(diǎn)位于第一象限，
在第一象限內(nèi)，由，得，則，
所以，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即.
故選：A
8. 已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出，分離參數(shù)可求答案.
【詳解】由，得，求導(dǎo)得，
因?yàn)?，所以恒成?
令，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，所以，即最小值為1.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知直線，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)直線與直線平行時，
B. 當(dāng)直線與直線垂直時，
C. 直線與軸正半軸和正半軸圍成的三角形面積的最小值是
D. 直線和圓相交于兩點(diǎn)，則最小值是4
【答案】AD
【解析】
【分析】由直線方程易知過定點(diǎn)且斜率為，根據(jù)直線平行、垂直時斜率關(guān)系判斷A、B；求直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，應(yīng)用三角形面積公式及基本不等式求最值判斷C；根據(jù)已知分析有直線與直線垂直時最小，再應(yīng)用圓中弦長的幾何求法求判斷D.
【詳解】由直線，得斜率為，且過定點(diǎn)，
對于，直線的斜率為，當(dāng)直線與直線平行時，正確；
對于B，當(dāng)直線與直線垂直時，由，得，錯誤；
對于C，由題意得，當(dāng)時，當(dāng)時，
所以三角形面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，錯誤；
對于D，由題意得，當(dāng)直線與直線垂直時最小，
此時，所以，正確.
故選：AD
10. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，第一象限的點(diǎn)在上，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合，若直線與直線的斜率分別為，則下列命題中正確的是（ ）
A. 存在點(diǎn)，使
B. 存在點(diǎn)，使
C. 對任意點(diǎn)，均有
D. 對任意點(diǎn)，均有
【答案】BC
【解析】
【分析】求出左右頂點(diǎn)、 坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)式表示出斜率，對于A，由，得，代入雙曲線方程，得方程無實(shí)數(shù)根，則A錯誤；對于B，由，得，代入雙曲線方程，解得，則B正確；對于C，由雙曲線方程，得，可得，則C正確；對于D，由，則得，代入雙曲線方程，得，則只存在一個點(diǎn)滿足題意，則D錯誤.
【詳解】
由題意，得左頂點(diǎn)A?2,0，右頂點(diǎn)，
設(shè)Pm,nm>2,n>0，則，
所以.
對于A，由，得，
所以.
若，則，即，
代入，得，顯然此方程無實(shí)數(shù)根，故A錯誤；
對于B，，若，則，
解得，代入，解得，故B正確；
對于C，由，得，
所以，故C正確；
對于D，，
若，則，即，代入，得，顯然只存在一個點(diǎn)滿足題意，故D錯誤.
故選：BC.
11. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 是的極小值點(diǎn)B.
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由二倍角正弦公式得，對函數(shù)求導(dǎo)并研究其區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)定義、單調(diào)性判斷A、B、C；首先得到，再根據(jù)區(qū)間單調(diào)性，及對稱性判斷D.
【詳解】由，
得.
所以，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增
對于A，顯然是的極小值點(diǎn)，正確；
對于B，顯然，而在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，正確；
對于C，當(dāng)時，，故.
由，得，即，錯誤；
對于D，由，
得
所以，
因?yàn)?，而在?nèi)單調(diào)遞增，
所以，即，正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D，注意首先確定函數(shù)的對稱性有為關(guān)鍵.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由拋物線的解析式求出，即可求解.
【詳解】拋物線即，其圖象是由拋物線的圖象向上平移一個單位得到，
由，得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.
故答案為：.
13. 已知直線與曲線相切，則______.
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，代入可得，即可求解.
【詳解】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
曲線在處的切線方程為，
將代入，得，解得，則.
故答案為：2
14. 在數(shù)學(xué)中連加符號是“”，這個符號就是連續(xù)求和的意思，把滿足“”這個符號下面條件的所有項(xiàng)都加起來，例如：.類似的在數(shù)學(xué)中連乘符號是“”，這個符號就是連續(xù)求積的意思，把滿足“”這個符號下面條件的所有項(xiàng)都乘起來，例如：.已知數(shù)列滿足：，則__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系有，且，再結(jié)合運(yùn)算定義分別求出，即可得結(jié)果.
【詳解】可得，
即，
故
；
又由，可得，
故
，
故.
故答案為：1.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由列出等式求得公比，即可求解；
（2）由錯位相減法即可求解；
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.
因?yàn)椋?，解?
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
由（1）得，，所以，
則.
所以，
則，
兩式相減，得
所以
16. 已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，過向軸作垂線段，垂足為，記垂線段的中點(diǎn)為.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則的坐標(biāo)為，代入拋物線方程計算即可；
（2）聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及，求得，進(jìn)而利用弦長求得面積.
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在拋物線上，所以，化簡得，
所以點(diǎn)軌跡方程為
【小問2詳解】
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
由，得，
由，得，
，
所以，
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，即，
所以，解得，或（舍去）.
所以，
又原點(diǎn)到直線距離為，
所以的面積.
17. 如圖，在三棱柱中，平面，.
（1）若，求證：平面；
（2）若二面角的余弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
分析】（1）連接，設(shè)，連接，利用線線平行可證線面平行；
（2）可證，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量是，求得平面平面的一個法向量，利用向量法可得的方程，求解即可.
【小問1詳解】
連接，設(shè)，連接，
則在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，
又，所以是的中點(diǎn)，
所以，
又平面平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>又平面，所以平面，
又平面，所以.
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，
故，
，
設(shè)平面的法向量是，所以
即，取，得，
所以，
易知平面的法向量是.
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?br>所以，
解得.
18. 已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求證：的內(nèi)心在一條定直線上.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得，求解可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的斜率分別為，計算可得恒成立，進(jìn)而可得結(jié)論.
【小問1詳解】
因?yàn)闄E圓兩個焦點(diǎn)為，所以，則，
又點(diǎn)在橢圓上，所以.即，
兩式聯(lián)立，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
則，得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
設(shè)直線的斜率分別為.
所以，
因?yàn)椋?br>所以恒成立，則直線的傾斜角互補(bǔ)，即的平分線總垂直于軸，
所以的內(nèi)心在定直線上.
19. 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為.若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.
（1）求曲線在上與軸圍成的封閉圖形的面積；
（2）當(dāng)時，求證：；
（3）求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和題中新定義的含義計算即可.
（2）先由新定義的運(yùn)算得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證明結(jié)論.
（3）先證明時，再利用結(jié)論，得，累加法可得答案.
【小問1詳解】
由，得.
由題意可得所求面積.
令，則是常數(shù)）
所以，
即曲線在上與軸圍成的封閉圖形的面積為.
【小問2詳解】
令，可得（是常數(shù)），
所以，
要證，只需證，
令，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，
所以，即.
【小問3詳解】
由（2）得，當(dāng)時，.
因?yàn)?，所?
即.
所以.
.
.
.
累加可得
，
即，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)證明，進(jìn)而得到，利用累加法得出答案.

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