TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc189331104"
\l "_Tc189331105" ?題型01 利用弧長公式求弧長
\l "_Tc189331106" ?題型02 由弧長公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
\l "_Tc189331107" ?題型03 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動路徑長度
\l "_Tc189331108" ?題型04 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
\l "_Tc189331109" ?題型05 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
\l "_Tc189331110" ?題型06 求弓形面積
\l "_Tc189331111" ?題型07 求其它不規(guī)則圖形面積
\l "_Tc189331112" ?題型08 求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線
\l "_Tc189331113" ?題型09 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角
\l "_Tc189331114" ?題型10 圓錐的實(shí)際問題
\l "_Tc189331115" ?題型11 圓錐側(cè)面上最短路徑問題
\l "_Tc189331116"
\l "_Tc189331117"
?題型01 利用弧長公式求弧長
1．（2023·山東東營·二模）如圖，用一個(gè)半徑為12cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了150°，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升的高度為 cm．（結(jié)果保留π）
【答案】10π
【分析】本題考查求弧長，根據(jù)題意，得到重物上升的高度為半徑為12cm，圓心角為150°的弧長，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意：重物上升的高度為半徑為12cm，圓心角為150°的弧長，
150π180×12=10π（cm）；
故答案為：10π．
2．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊AB=2，將正方形ABCD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形AB'C'D'（旋轉(zhuǎn)角小于90°），B'C'與CD相交于點(diǎn)E．若點(diǎn)B'恰好落在邊AB的垂直平分線上，則圖中CC'的長度為 ．
【答案】223π
【分析】連接BB'，AC'，AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=AC'，AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB'=BB'，從而可得△ABB'是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAB'=60°，從而可得∠BAB'=∠CAC'=60°，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=2，∠ABC=90°，從而可得AC的長，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：如圖，連接BB'，AC'，AC，
由旋轉(zhuǎn)得：AC=AC'，AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，
∵點(diǎn)B'恰好落在邊AB的垂直平分線上，
∴AB'=BB'，
∴AB=AB'=BB'，
∴△ABB'是等邊三角形，
∴∠BAB'=60°，
∴∠BAB'=∠CAC'=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=2AB=22，
∴CC'?的長度是nπR180=60×22π180=223π，
故答案為：223π．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）以AB為直徑的⊙O上三點(diǎn)A、B、C，作∠BAC的平分線AD交⊙O于D點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長線于E點(diǎn)，交AB的延長線于F點(diǎn)，若AB=4

（1）若∠ADE=3∠F，則CD的弧長為 ．
（2）若DF=23，則tan∠ADE= ．
【答案】 4π5 3
【分析】（1）連接OC，OD，設(shè)∠F=x，則∠ADE=3x，根據(jù)垂直定義可得∠E=90°，從而可得∠EAF=90°?x，然后利用角平分線的定義可得∠DAE=12∠EAF=45°?12x，從而可得∠ADE=45°+12x，最后列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計(jì)算，可求出∠DAE=36°，從而利用圓周角定理可得∠COD=72°，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義可得AE∥OD，從而可得∠ODF=∠E=90°，然后在Rt△ODF中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得tanF=33，從而可得∠F=30°，進(jìn)而可得∠EAF=60°，再利用角平分線的定義可得∠EAD=30°，從而可得∠ADE=60°，即可解答．
【詳解】解：（1）連接OC，OD，

設(shè)∠F=x，
∵∠ADE=3∠F，
∴∠ADE=3x，
∴DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠EAF=90°?∠F=90°?x，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=12∠EAF=12(90°?x)=45°?12x，
∴∠ADE=90°?∠DAE=45°+12x，
∴45+12x=3x，
解得：x=18°，
∴∠DAE=45°?12x=36°，
∴∠COD=2∠DAE=72°，
∵AB=4，
∴OD=12AB=2，
∴CD的弧長=72°×π×2180°=4π5，
故答案為：4π5；
（2）∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠ODF=∠E=90°，
在Rt△ODF中，OD=2，DF=23，
∴tanF=ODDF=223=33，
∴∠F=30°，
∴∠EAF=90°?∠F=60°，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=12∠EAF=30°，
∴∠ADE=90°?∠EAD=60°，
∴tan∠ADE=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
?題型02 由弧長公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）扇形的弧長為6π，半徑是12，該扇形的圓心角為 度．
【答案】90
【分析】設(shè)此扇形的圓心角為x°，代入弧長公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：設(shè)此扇形的圓心角為x°，
由題意得，12πx180=6π，
解得，x=90，
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長的公式l=nπr180是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）一個(gè)扇形的面積為10π，弧長為10π3，則該扇形的圓心角的度數(shù)為 ．
【答案】100°/100度
【分析】根據(jù)弧長和扇形面積關(guān)系可得S=12lR，求出R，再根據(jù)扇形面積公式求解.
【詳解】∵一個(gè)扇形的弧長是10π3，面積是10π，
∴S=12lR，即10π=12×10π3R，解得：R=6，
∴S=10π=nπ×62360，解得：n=100°，
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算；弧長的計(jì)算．熟記公式，理解公式間的關(guān)系是關(guān)鍵.
6．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知扇形的面積是43π，圓心角120°，則這個(gè)扇形的半徑是 ．
【答案】2
【分析】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，設(shè)該扇形的半徑是r，再根據(jù)扇形的面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑是r，則
43π=120?π?r2360，
解得r=2．
故答案為：2．
?題型03 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動路徑長度
7．（2023·遼寧大連·一模）如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A'OB'，AA'與OB'交于點(diǎn)C，若∠AOB=15°，OA=3，則AC的長為 ．
【答案】π2/12π
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A'OB'=∠AOB=15°，∠AOA'=45°，∠AOC=∠AOA'?∠B'OA'=30°，根據(jù)弧長公式即可求解．
【詳解】解：∵將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A'OB'，∠AOB=15°，
∴ ∠A'OB'=∠AOB=15°，∠AOA'=45°，
∴ ∠AOC=∠AOA'?∠B'OA'=30°，
∴ AC的長為30π×3180=π2．
故答案為：π2．
8．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，正三角形的高是3厘米，正方形的邊長是正三角形的2倍，木塊從圖①的位置開始，沿著木樁的邊緣滾動，滾動過程如圖②，圖③所示，木塊滾動一周后回到原位置，那么正三角形正中心的點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長度為 π=3．
【答案】44
【分析】本題考查了弧長的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．找出點(diǎn)A軌跡是解題的關(guān)鍵．利用弧長公式，可以解決問題．
【詳解】解：如圖，
∵A1和A2都是正三角形的中心，
∴∠A1OC=∠A2OD=12×60°=30°，
∴∠A1OA2=120°，四個(gè)角上的弧所對圓心角為∠A3OA2=210°，OA1=OA2=23×3=2，
第1次滾動，點(diǎn)A運(yùn)動軌跡是以圓心O、圓心角150°，AO為半徑的弧A1A2，
第2次滾動，是以圓心O'、圓心角為210°，O'A2半徑的弧A2A3接下來運(yùn)動類似，
如圖中虛線，
∴A點(diǎn)運(yùn)動的路徑長度=4120π×2180+210π?2180=443π≈44．
故答案為：44．
9．（2023·北京東城·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0,A5,0，B4,?3．
(1)作出△OAB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△OA1B1（點(diǎn)A與點(diǎn)A1對應(yīng)），并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
(2)將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA2B2，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為B2，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA2B2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)B經(jīng)過的路徑BB2的長．
【答案】(1)圖見解析；點(diǎn)B1的坐標(biāo)為4,3；
(2)圖見解析；點(diǎn)B2的坐標(biāo)為?3,?4；
(3)點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長BB2為52π
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)，弧長的計(jì)算公式，解決本題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，理解旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為弧形．
（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找到A、B的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1，連接O、A1、B1即可，觀察圖象直接得到B1的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到A、B的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2，連接O、A2、B2即可，觀察圖象直接得到B2的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BB2，求得弧BB2的半徑計(jì)算弧長即可．
【詳解】（1）解：△OAB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△OA1B1如圖所示；
點(diǎn)B1的坐標(biāo)為4,3；
（2）解：旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA2B2如圖所示；
點(diǎn)B2的坐標(biāo)為?3,?4；
（3）解：由題可得OB=32+42=5，
∴ lBB2=90π×5180=52π，
∴點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長BB2為52π．
?題型04 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
10．（2023·浙江溫州·一模）若扇形的圓心角為150°，半徑為4，則該扇形的面積為 ．
【答案】203π
【分析】此題考查了扇形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，難度一般．
直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】由題意得，n=150°,r=4，
故可得扇形的面積S=nπr2360°=150°×π×42360°=203π．
故答案為：203π．
11．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAE的面積為 ．

【答案】23π
【分析】本題考查扇形的面積，解直角三角形，矩形的性質(zhì)等知識，解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面積公式求解．解題的關(guān)鍵是求出∠CBE的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∵BA=BE=2，BC=3，
∴CE=BE2?BC2=1，則sin∠CBE=ECBE=12，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=90°?30°=60°，
∴S扇形BAE=60?π?22360=23π，
故答案為：23π．
12．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測）小明用長為4m鐵絲均分后圍成如圖所示的模型，該模型由四個(gè)形狀、大小完全一樣的扇環(huán)組成，O為圓心．
（1）若∠O=60°，A為OB的中點(diǎn)，則AB長為 m；
（2）若使得模型的面積最大，則AB的值為 m.
【答案】 1π+2 14/0.25
【分析】本題為二次函數(shù)應(yīng)用題，主要考查扇形的周長和面積的計(jì)算，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．
（1）由1=2r+60×πr180+60×π×2r180，即可求解；
（2）每個(gè)扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，由S=π360?θ?R2?r2，即可求解．
【詳解】解：（1）設(shè)每個(gè)扇環(huán)的周長為L，則L=1，設(shè)OA=AB=rm，
則1=2r+60×πr180+60×π×2r180，
解得：r=1π+2，
故答案為：1π+2；
（2）每個(gè)扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，設(shè)每個(gè)扇環(huán)的周長為L，則L=1，設(shè)OB=CO=R，OD=r，
根據(jù)題意得：L=θπR180+θπr180+2R?r，
則θ=180L?2R?rπR+r，
∴S=π360?θ?R2?r2
=π360?180L?2R?rπ（R?r）?R2?r2
=12L?2R?r×R?r
=?[R?r?L4]2+L216
?1

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