TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188547390" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc188547391" 02知識導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc188547392" 03考點(diǎn)突破·考法探究
\l "_Tc188547393" 考點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc188547394" 考點(diǎn)二 直線與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc188547395" 考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc188547397" 考點(diǎn)四 與切線有關(guān)的知識
\l "_Tc188547398" 考點(diǎn)五 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
\l "_Tc188547399" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc188547400" 命題點(diǎn) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
\l "_Tc188547401" ?題型01 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc188547402" ?題型02 直線與圓的最值問題
\l "_Tc188547403" ?題型03 直線與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc188547404" ?題型04 圓與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc188547405" ?題型05 利用切線的性質(zhì)求解
\l "_Tc188547406" ?題型06 證明某直線是圓的切線（有明確的交點(diǎn)）
\l "_Tc188547407" ?題型07 證明某直線是圓的切線（無明確的交點(diǎn)）
\l "_Tc188547408" ?題型08 切線的性質(zhì)與判定綜合
\l "_Tc188547409" ?題型09 作圓的切線
\l "_Tc188547410" ?題型10 應(yīng)用切線長定理求解或證明
\l "_Tc188547411" ?題型11 由三角形外接圓求值
\l "_Tc188547412" ?題型12 由三角形內(nèi)切圓求值
\l "_Tc188547413" ?題型13 三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用
\l "_Tc188547414" ?題型14 三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合
\l "_Tc188547415" ?題型15 圓位置關(guān)系與函數(shù)綜合
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc188517220" 03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外，如下表所示：
已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，
【注意】掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
1．（2024·云南怒江·一模）平面內(nèi)，⊙O的半徑為10 cm，若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可以是（ ）
A．8cmB．10 cmC．12 cmD．14 cm
【答案】A
【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑判斷作答即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，
∴OPr=1，則點(diǎn)A在⊙O外，
故選：A．
3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P在⊙O外，已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（ ）
A．a(chǎn)+b2B．a(chǎn)?b2C．a(chǎn)D．b
【答案】B
【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分類的思想及對點(diǎn)P到圓上最大距離、最小距離的認(rèn)識．
點(diǎn)P在圓外時，直徑為最大距離與最小距離的差，即可求解．
【詳解】解：由題意得，P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，
∴圓的直徑是a?b，因而半徑是a?b2，
故選：B．
4．（2024長春市三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn) B在⊙A外時，r的值可能是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，熟知⊙A的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有∶①點(diǎn)P在圓外②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論
【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=AB2?BC2=102?82=6，
∵當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時，
∴6CM，
∴點(diǎn)B在圓M外，
∴甲圖四點(diǎn)不共圓；
如乙圖中，取AC中點(diǎn)N，連接DN，BN，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴DN=AN=CN=BN，
∴點(diǎn)D、A、C、B是以點(diǎn)N為圓心，AN為半徑的圓上，
∴乙圖四點(diǎn)共圓，
綜上，甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)共圓，
故選：C．
QUOTE QUOTE QUOTE ?題型02 直線與圓的最值問題
已知點(diǎn)P為⊙O上動點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB上動點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O為點(diǎn)C
圖示：
結(jié)論：當(dāng)O，P，Q三點(diǎn)共線且為垂線段時，PQ取最小值，最小值為PQ的長.
1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為
【答案】27
【分析】記直線y=x+4與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2?QM2，由QM=2，則當(dāng)PM最小時，PQ最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時PM最小值為KM，由勾股定理求得PM的最小值，從而求得結(jié)果．
【詳解】解：記直線y=x+4與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接QM，PM，KM，
當(dāng)x=0，y=4，當(dāng)y=0，即x+4=0，
解得：x=?4，
即K(0,4)，A(?4，0)；
而M4,0，
∴OA=OK=OM=4，
∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，
∴∠AKO=∠MKO=45°，
∴∠AKM=90°，
∵QP與⊙M相切，
∴∠PQM=90°，
∴PQ=PM2?QM2，
∵QM=2，
∴當(dāng)PQ最小時即PM最小，
∴當(dāng)PM⊥ AK時，取得最小值，
即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時PM最小值為KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=OM2+OK2=42，
∴PQ=32?4=27，
∴PQ最小值為27．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；
（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長．

【答案】（1）43?4；（2）4047.91m
【分析】
（1）連接OP，OM，過點(diǎn)O作OM'⊥AB，垂足為M'，則PM≥OM?4≥OM'?4，由直角三角形的性質(zhì)得出OM'=AM'?tan30°=43，則可得出答案；
（2）分別在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．證出四邊形BB'ON是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得出BN=B'O．當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圓心O'在B'E上，半徑r=30(m)，作O'M'⊥AB，垂足為M'，并與A'B'交于點(diǎn)H．證明△B'O'H∽△B'EA'，由相似三角形的性質(zhì)得出O'HEA'=B'HB'A'，求出O'H的長可得出答案．
【詳解】
解：（1）如圖①，連接OP，OM，過點(diǎn)O作OM'⊥AB，垂足為M'，

則OP+PM≥OM．
∵⊙O半徑為4，
∴PM≥OM?4≥OM'?4，
∵OA=OB．∠AOB=120°，
∴∠A=30°，
∴OM'=AM'?tan30°=12tan30°=43，
∴PM≥OM'?4=43?4，
∴線段PM的最小值為43?4；
（2）如圖②，分別在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，

連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON=BB'，
∴四邊形BB'ON是平行四邊形．
∴BN=B'O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E?r，
∴當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時，BN+PE取得最小值．
作⊙O'，使圓心O'在B'E上，半徑r=30(m)，
作O'M'⊥AB，垂足為M'，并與A'B'交于點(diǎn)H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴ O'HEA'=B'HB'A'，
∵⊙O'在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界），
∴當(dāng)⊙O'與FD相切時，B'H最短，即B'H=10000?6000+30=4030(m)．
此時，O'H也最短．
∵M(jìn)'N'=O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H=EA'?B'HB'A'=(10000?30)×403010000=4017.91(m)，
∴O'M'=O'H+30=4047.91(m)，
∴此時環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長為4047.91m．
【點(diǎn)睛】
本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
?題型03 直線與圓的位置關(guān)系
判定直線與圓的位置關(guān)系通常有以下兩種方法：
1）根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個數(shù)判斷；
①若直線與圓有兩個交點(diǎn)，則直線與圓相交；
②若直線與圓有一個交點(diǎn)，則直線與圓相切；
③若直線與圓有沒有交點(diǎn)，則直線與圓相離.
2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷.
設(shè)半徑為r，直線到圓心的距離為d
①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.
1．（2022·山東青島·模擬預(yù)測）已知等邊三角形ABC的邊長為4cm，以點(diǎn)A為圓心，以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．外離
【答案】A
【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的關(guān)系：圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交．過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一求得BD的值，再利用勾股定理可求得AD的長，把AD與圓的半徑比較大小，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解．
【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
根據(jù)等腰三角形三線合一得：BD=12BC=2cm，
根據(jù)勾股定理得：AD=AB2?BD2=42?22=23cm，
∵232=12,3.52=12.25,
∴23

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