TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145944790" 題型1單調(diào)性與最值 PAGEREF _Tc145944790 \h 1
\l "_Tc145944791" 題型2輔助角公式求最值 PAGEREF _Tc145944791 \h 8
\l "_Tc145944792" 題型 3一元二次函數(shù)與最值 PAGEREF _Tc145944792 \h 12
\l "_Tc145944793" 題型4sinx與csx和差求最值 PAGEREF _Tc145944793 \h 21
\l "_Tc145944794" 題型5分式型最值 PAGEREF _Tc145944794 \h 26
\l "_Tc145944795" 題型6絕對值型求最值 PAGEREF _Tc145944795 \h 31
\l "_Tc145944796" 題型7三角換元法求最值 PAGEREF _Tc145944796 \h 39
\l "_Tc145944797" 題型8三角換元法與向量求最值 PAGEREF _Tc145944797 \h 45
\l "_Tc145944798" 題型9三角換元法與根號型求最值 PAGEREF _Tc145944798 \h 56
\l "_Tc145944799" 題型10換元法求最值 PAGEREF _Tc145944799 \h 59
\l "_Tc145944800" 題型11距離與斜率型 PAGEREF _Tc145944800 \h 62
\l "_Tc145944801" 題型12參變分離 PAGEREF _Tc145944801 \h 67
\l "_Tc145944802" 題型13復(fù)合函數(shù)型 PAGEREF _Tc145944802 \h 68
題型1單調(diào)性與最值
【例題1】（多選）（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則整數(shù)的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】BC
【分析】利用整體思想與分類討論思想，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】當(dāng)時，，所以，得，
當(dāng)時，，所以，得，
選項BC是范圍內(nèi)的整數(shù).
故選：BC.
【變式1-1】1.（多選）（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，且在上有最大值，無最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．若，則
C．的最小正周期為4D．在上的零點個數(shù)最少為1012個
【答案】AC
【分析】根據(jù)題設(shè)及正弦型函數(shù)的對稱性有，假設(shè)B中解析式成立，由得，進而驗證解析式，令，，，作差求，進而求最小正周期，根據(jù)所得周期及正弦型函數(shù)的零點性質(zhì)判斷區(qū)間零點個數(shù).
【詳解】A，由題意在的區(qū)間中點處取得最大值，即，正確；
B，假設(shè)若，則成立，由A知，
而，故假設(shè)不成立，則錯誤；
C，，且在上有最大值，無最小值，
令，，，
則兩式相減，得，即函數(shù)的最小正周期，故正確；
D，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為506個周期，
當(dāng)，即，時，在區(qū)間上的零點個數(shù)至少為個，故錯誤.
故選：AC.
【變式1-1】2. （2021秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．是的極值點
C．在上有且僅有個零點D．的值域是
【答案】D
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；利用函數(shù)在上的單調(diào)性結(jié)合可判斷C選項；根據(jù)，再分類討論即可判斷D正確.
【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，
則，故函數(shù)為奇函數(shù)，A錯；
對于B選項，，
當(dāng)時，，此時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，不是函數(shù)的極值點，B錯；
對于C選項，由B選項可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，函數(shù)在上有且只有一個零點，C錯；
對于D選項，因為函數(shù)在上連續(xù)，，
所以當(dāng)時，且，，
當(dāng)時，且，，
又，所以函數(shù)的值域為，故D正確.
故選：D.
【變式1-1】3. （多選）（2020秋·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．若，則
C．在區(qū)間上的值域為
D．若函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對四個選項進行逐一分析解答即可，
對于選項A：當(dāng)時，可得，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，可得，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，最后作出判斷；
對于選項B：由在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，可得，進而作出判斷；
對于選項C：由三角函數(shù)線可知，所以，，進而作出判斷；
對于選項D：，可得，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得，進而可得出函數(shù)在上的單調(diào)性，最后作出判斷.
【詳解】， ，
當(dāng)時，，由三角函數(shù)線可知，
所以，即，所以，
所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，，所以，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項A正確；
當(dāng)時，，
所以，即，故選項B錯誤；
由三角函數(shù)線可知，所以，，
所以當(dāng)時，，故選項C正確；
對進行求導(dǎo)可得：
所以有，
所以，所以在區(qū)間上的值域為，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，
從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對于函數(shù)的性質(zhì)，可先求出其導(dǎo)數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)線的知識確定導(dǎo)數(shù)的符號，進而確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最后作出判斷，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題.
【變式1-1】4. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則 ．
【答案】4或10/10或4
【分析】根據(jù)可求出f(x)的一條對稱軸，根據(jù)該對稱軸可求出ω的表達式和可能取值，結(jié)合y＝sinx的圖像，根據(jù)在區(qū)間上有最小值無最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.
【詳解】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對稱軸，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
當(dāng)時，，
y＝sinx圖像如圖：
要使在區(qū)間上有最小值無最大值，則：
或，
此時ω＝4或10滿足條件；
區(qū)間的長度為：，
當(dāng)時，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.
綜上，ω＝4或10.
故答案為：4或10.
【變式1-1】5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a、b為實數(shù)，且，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值的差為1，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】討論的取值，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，即可求解.
【詳解】（?。┊?dāng)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)無最值，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，
不妨取，可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知，
且，則，則，
所以，即，
可得，即
①若，，則最大值和最小值的差為，符合題意；
②若，，
則，
因為，則，可得，
故，可得，
且，，則，可得；
③若，，
則，
因為，則，可得，
故，可得，
且，，則，可得；
綜上所述：；
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有最值，不妨取最大值1，最小值為0，
由圖象可知：不妨取，當(dāng)時，取到最大值；
當(dāng)時，取到最小值；
可得；
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：.

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面．一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤的選擇．
題型2輔助角公式求最值
【例題2】（2023·天津東麗·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)圖象的最小正周期是，則（ ）
① 的圖象關(guān)于點對稱
② 將的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱
③在上的值域為
④ 在上單調(diào)遞增
A．①②④B．①②③C．②④D．②③④
【答案】A
【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，即可得到函數(shù)的解析式，由正弦函數(shù)的對稱性可判斷①；由函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解可判斷③；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過解不等式可判斷④.
【詳解】因為，
函數(shù)的最小正周期是，∴，
∴，，
， ∴關(guān)于對稱，故①正確.
，∴關(guān)于軸對稱，故②正確.
當(dāng)時，有，則，所以，
∴，故③錯誤.
由，解得，
所以的一個單調(diào)增區(qū)間為，而，
∴在上單調(diào)遞增，故④正確.
故選：A.
【變式2-1】1．（2023·天津·三模）已知，，若對，，使得成立，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值不可能是.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意首先確定函數(shù)的值域，然后數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于的不等式，求解不等式可得的取值范圍，據(jù)此可得選項.
【詳解】，其中，
由題意可知：，即：，
則函數(shù)的值域為的子集，
設(shè)函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上的值域為，則：，
即：，解得.
結(jié)合選項可知實數(shù)的取值不可能是.
故選D.
【點睛】本題主要考查雙量詞問題的處理方法，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力
【變式2-1】2. （2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知值域，列式求解作答.
【詳解】依題意，，
由，得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
因為函數(shù)在上的值域為，則有，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
【變式2-1】3. （2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若，則函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換化簡，再應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域即可.
【詳解】
，
∴時，，得：.
故答案為：
【變式2-1】4. （2023·四川達州·統(tǒng)考二模）函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】化簡函數(shù)得，其中，，再利用函數(shù)在區(qū)間上的值域為，可得，從而得到，再結(jié)合，，利用三角恒等變換化簡即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可得
，其中，，
函數(shù)在區(qū)間上的值域為，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，或，則或，
，則，
，，，
，，則，
，
又，，
的取值范圍為：.
題型 3一元二次函數(shù)與最值
【例題3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再利用復(fù)合函數(shù)的值域，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，
設(shè)，，函數(shù)的對稱軸為
且，，，
因為函數(shù)在區(qū)間的值域為，所以在區(qū)間上能取得，但是不能小于0，
所以.
故選：C
【變式3-1】1. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．在上有4個零點D．的值域是
【答案】AB
【分析】對A，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可；對BCD，換元構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、零點的定義以及復(fù)合函數(shù)的值域，可得答案.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，
且，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；
對于B，當(dāng)時，.
令，由于函數(shù)在時單調(diào)遞減，
函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；
對于C，當(dāng)時，由，得或，
所以或或，所以偶函數(shù)在上有6個零點，C不正確；
對于D，當(dāng)時，.
因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.
由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)的值域為，D不正確.
故選：AB.
【變式3-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，.若方程在上有4個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】，令，則，由題意，原問題等價于在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程根的分布即可求解.
【詳解】解：，
令，則，
當(dāng)時，有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時，有且僅有一個實數(shù)根，
因為方程在上有4個不相等的實數(shù)根，
所以原問題等價于在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，
所以有，解得，
故答案為：.
【變式3-1】3. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點．
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)，是g（x）的兩個零點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由可得，然后令，則，再分或，和討論即可；
（2）函數(shù)g（x）有兩個零點，，令，則轉(zhuǎn)化為，為方程的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：．
由可得，
令，由可得，
故．
當(dāng)或，即或時，無解，
所以g（x）不存在零點；
當(dāng)，即時，有一解，此時x僅有一解，
所以g（x）只存在一個零點；
當(dāng)，即時，有兩解
，此時在各有一解，故g（x）有兩個零點．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
（2）證明：函數(shù)g（x）有兩個零點，，
令，則，為方程的兩根，
則，，所以，
兩邊平方得，因為，
所以，
所以，
由可得，所以，
則，因為在上單調(diào)遞減，
所以，即
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，第（2）問解題的關(guān)鍵是通過換元將問題轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)余弦函數(shù)的性質(zhì)可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)思想和計算能力，屬于難題.
【變式3-1】4. （2022秋·上海虹口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的值域；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求a的最大值；
(3)設(shè).方程的所有正實數(shù)解按從小到大的順序排列后，是否能構(gòu)成等差數(shù)列？若能，求所有滿足條件的u的值；若不能，說明理由.
【答案】(1)的值域為；
(2)a的最大值為；
(3)或滿足條件，理由見解析.
【分析】(1)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的值域；(2)由已知可得在上恒成立，通過換元及分離變量結(jié)合不等式與函數(shù)關(guān)系，可求a的最大值；(3)結(jié)合已知條件及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可求u的值；
【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，所以，所以的值域為；
（2）因為，，
所以，
化簡得，
因為函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，因為，所以，又，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最小值，最小值為，所以，所以a的最大值為；
（3）因為，，所以不等式可化為，
令，則，，作函數(shù)的圖象，
又當(dāng)時，，
由圖象可得當(dāng)或時，方程在上沒有解，方程沒有解；
當(dāng)時，方程的解為，則，方程的正實數(shù)解按從小到大的順序排列記為，如圖，
則，，，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列，
當(dāng)時，方程在內(nèi)有兩個解，設(shè)方程的解為，且，，作函數(shù)，，圖象如下，
方程和的正實數(shù)解按從小到大的順序排列記為，
設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，，則，所以，則，與矛盾，
當(dāng)時，方程在內(nèi)有一個解，設(shè)方程的解為，且，作函數(shù)，，圖象如下，
方程的正實數(shù)解按從小到大的順序排列記為，
設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，，則，所以，與矛盾，
若，則方程在內(nèi)的解為，所以，所以，所以方程的正實數(shù)解按從小到大的順序排列后所得數(shù)列為，該數(shù)列為等差數(shù)列，滿足條件；
當(dāng)時，方程在內(nèi)有兩個解，，由，可得，，由，可得或，，
所以方程的所有正實數(shù)解按從小到大的順序排列后滿足，，，所以，所以該數(shù)列為等差數(shù)列，
綜上所述，當(dāng)或時，方程的正實數(shù)解按從小到大的順序排列后所得數(shù)列為等差數(shù)列.
【變式3-1】5.（2022秋·廣東佛山·高三華南師大附中南海實驗高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng),，則的最大值為 ；
（2）若對任意、，都有，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】（1）化簡得出，由以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值；
（2）設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析二次函數(shù)在上的單調(diào)性，求出、，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，
，
因為，當(dāng)時，取最大值，即；
（2）函數(shù)，
設(shè)，則.
問題等價于對任意的、，都有，
即.
①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，
解得，此時，；
②當(dāng)時，即當(dāng)時，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
，
則有，
可得，解得，此時，；
③當(dāng)時，即當(dāng)時，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
，
則有，
可得，解得，此時，；
④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，
解得，此時，.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：（1）；（2）.
【點睛】方法點睛：“動軸定區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：
（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值進行分析；
（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.
題型4sinx與csx和差求最值
【例題4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)將的圖像向右平移個單位長度，得到的圖像，則（ ）
A．為的一個周期
B．的值域為[-1，1]
C．的圖像關(guān)于直線對稱
D．曲線在點 處的切線斜率為
【答案】B
【分析】由可判斷A；令，則，求出值域可判斷B；由三角函數(shù)的平移變化求出，由可判斷C；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.
【詳解】對于A，，故不為的一個周期，故A不正確；
對于B，令，且，
所以原函數(shù)變?yōu)椋?dāng)時，，當(dāng)時，，
又，所以，或，所以或，
所以的值域為[－1，1]，故B正確；
對于C，將的圖像向右平移個單位長度，得到的圖像，
則，
又，故為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線不對稱，故C不正確；
對于D， 所以故D不正確；
故選：B.
【變式4-1】1. （2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將原式化簡為，再令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域.
【詳解】解：
則且，
令，則，
則，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故的值域為.
故選：D.
【點睛】本題二次型三角函數(shù)的最值問題，考查換元法求函數(shù)值域，要注意新元的取值范圍，是中檔題.
【變式4-1】2. （2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，關(guān)于x的方程有三個不等的實根，求a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）當(dāng)時，令，則，得出函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，三種情況討論，即可求解.
【詳解】（1）解：當(dāng)時，函數(shù)，
由，可得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）解：當(dāng)時，可得，
令，則，
令，其圖象恒過和兩點，
①當(dāng)時，由（1）知有唯一根，
不合題意；
②當(dāng)時，可得的圖象開口向上，，方程存在兩根，
且，此時有（舍），故，則方程只有一個根，不合題意；
③當(dāng)時，可得的圖象開口向下，，方程存在兩根，且，
若要滿足題意，則，，
此時方程有一個根，有兩個不相等的根，
則有，解得，
綜上所述，a的取值范圍為．

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個數(shù)或研究不等式問題的策略：
1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與軸的交點的橫坐標(biāo)，方程的根據(jù)就是函數(shù)和圖象的交點的橫坐標(biāo)；
2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.
3、本題中合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系，進行換元構(gòu)造二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.
【變式4-1】3.（多選） （2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．在R上單調(diào)遞減D．最大值為
【答案】AB
【分析】對A、B：整理可得，構(gòu)建，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對B：取特值，代入檢驗；對D：令，整理可得，再令，整理得，結(jié)合三角函數(shù)以及對勾函數(shù)分析運算.
【詳解】因為，即，
對A、B：又a，b，，則，所以，，
故，在R上遞減，
由，
令，則在R上遞減，且，
所以，，
且，則對，恒成立，
可得，故A，B正確；
對C：取，，，則，所以C錯誤；
對D：令，
則
今，則，
且，
∵，則，
∴，故，
可得，
又∵在上單調(diào)遞增，且，
故，即，
所以，所以D錯誤．
故選：AB.
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于，可解借助于三角函數(shù)換元，令，這樣可以減少未知量，方便分析運算.
題型5分式型最值
【例題5】（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知,將的圖象向左平移個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫降膱D象，下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的個數(shù)為
①函數(shù)的周期為;②函數(shù)的值域為;③函數(shù)的圖象關(guān)于對稱;④函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】首先通過三角化簡得到且，通過平移變換得到且.再進一步求出的周期、奇偶、值域、對稱即可得到答案.
【詳解】，
.
即：且.
且.
①因為函數(shù)的周期為，因此①正確.
②因為，故因此②錯誤.
③令，得.故③正確
④因為.故圖象不是中心對稱圖形,故④錯誤..
綜上,正確的個數(shù)為.
故選：
【點睛】本題為三角函數(shù)的章內(nèi)綜合題，考查了三角函數(shù)的化簡、周期、奇偶、對稱、以及平移變換.屬于難題.
【變式5-1】1. （2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡函數(shù)得到，再根據(jù)定義域得到值域.
【詳解】
且當(dāng)且僅當(dāng)時，，
∴的值域為
故答案選A
【點睛】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的值域，考查推理論證能力
【變式5-1】2. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點對稱B．為的一個周期
C．的值域為D．在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【分析】化簡可得.求出的表達式，即可得出A項；求出的表達式，即可得出B項；由幾何意義，根據(jù)圖象，即可得出C項；求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的解集，即可得出D項.
【詳解】由已知可得.
對于A項，因為 ，所以點是的對稱中心，故A項正確；
對于B項， ，故不是的周期，故B項錯誤；
對于C項，設(shè)，則的大小等于點與點連線的斜率.
又點在圓上，
如圖，為圓的兩條切線，且，.
由圖象可知，當(dāng)與重合時，斜率最大，此時；
當(dāng)與重合時，斜率最小，此時，
所以的取值范圍為，即的值域為，故C項正確；
對于D項，由已知可得，
令，得，
根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可知，，故在上單調(diào)遞減，故D項正確.
故選：ACD.
【變式5-1】3. （多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．的圖像關(guān)于直線對稱
B．在上遞增
C．的值域是
D．若方程在上的所有實根按從小到大的順序分別記為，則
【答案】ACD
【分析】化簡函數(shù)，對A選項，利用軸對稱的意義驗證并判斷；對B，C選項，換元借助導(dǎo)數(shù)求解并判斷；對D選項，利用對稱性、周期性計算并判斷.
【詳解】依題意有，
對于A選項：，
即，的圖像關(guān)于直線對稱，A正確；
對于B選項：在上單調(diào)遞增，，，
，時，時，即在不單調(diào)，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在上不單調(diào)，即B錯誤；
對于C選項：令，則，，
在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，，，，
，的值域是，的值域是，C正確；
對于D選項：由已知得，
解得或(舍去)，
由得函數(shù)圖象在區(qū)間且確保成立的，
對稱軸為，在內(nèi)有11個根，
數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及關(guān)于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用對應(yīng)函數(shù)的對稱性是解決問題的關(guān)鍵.
【變式5-1】4. （2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】設(shè)，，得到為單位圓上的動點；令，根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)運算得到表示該單位圓上的點與點所在直線的斜率，將其轉(zhuǎn)化為過點的直線與單位圓有交點，設(shè)過點的直線方程為，聯(lián)立方程消得到關(guān)于的一元二次方程，令求得的范圍，從而求解.
【詳解】由題意得：，
設(shè)，，則，
所以為單位圓上的動點，且，
令，即表示該單位圓上的點與點所在直線的斜率.
如圖：

設(shè)過點的直線方程為，
即直線與單位圓有交點，
聯(lián)立，消整理得：，
所以，
化簡得：，解得：，
所以，
所以，
所以函數(shù)的值域為.
故答案為：.
題型6絕對值型求最值
【例題6】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中、.則下列說法中正確的有（ ）.
A．的最小值為
B．的最大值為
C．方程在上有三個解
D．在上單調(diào)遞減
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意，可得，由，求解出的取值范圍，根據(jù)對應(yīng)范圍內(nèi)的函數(shù)解析式，即可求出的最值，進而判斷A、B選項；令，分和兩種情況解方程，即可判斷C選項；取，求出此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，從而判斷在上的單調(diào)性，進而判斷D選項.
【詳解】，
即，其中，，.
由，即，，
所以當(dāng)時，，
即，，
所以當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時， ；
當(dāng)時，，
即，，
所以當(dāng)，即時，，
由于，所以無最小值.
綜上所述，的最小值為，最大值為，故A錯誤，B正確；
由，所以當(dāng)時，，
即，
即或， ，
所以或，.
當(dāng)時，，
即，
即或， ，
所以，，
綜上所述，方程在上有三個解，故C正確；
取時，，
令，即；
令，即；
由于，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上有增有減，則在上有增有減，故D錯誤.
故選：BC.
【變式6-1】1. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，分類討論當(dāng)，，三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出和的值，即可得出的值的集合.
【詳解】解：由題可知，不妨設(shè)，
對于，對任意實數(shù)，，方程有解，
當(dāng)時，方程可化為有解，
所以恒成立，所以；
當(dāng)時，同上；
當(dāng)時，方程可化為有解，所以，
綜上得：；
對于，對任意實數(shù)，，方程也有解，
當(dāng)時，方程可化為有解，所以；
當(dāng)時，同上；
當(dāng)時，方程可化為有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)，以及分類討論與的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類討論思想和邏輯分析能力.
【變式6-1】2. （2022·全國·高三專題練習(xí)）給出以下命題：
①若α、β是第一象限角且，則；
②函數(shù)有三個零點；
③函數(shù)是奇函數(shù)；
④函數(shù)的周期是；
⑤函數(shù)，當(dāng)時恒有解，則a的范圍是.
其中正確命題的序號為 .
【答案】④⑤
【分析】根據(jù)正切周期性，對①舉反例；根據(jù)與關(guān)系，可解零點；根據(jù)奇函數(shù)定義域，判斷是非奇非偶函數(shù).
【詳解】對于①，令，則①錯；
對于②，當(dāng)有恒成立，則無零點；又為奇函數(shù)，，也無零點；則只有一個零點，則②錯；
對于③，求定義域，則定義域為定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，則③錯誤；
對于④，函數(shù)是函數(shù)向下平移個單位，再沿軸將下方圖像翻折到軸上方，故，則④正確
對于⑤，
當(dāng)，，，
使恒有解，則恒有根
，，則⑤正確
故答案為：④⑤
【點睛】本題考查，正切函數(shù)周期性、奇偶性定義、翻折變換、三角函數(shù)有界性，綜合性較強，考查計算能力，有一定難度.
【變式6-1】3. （2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)在上的值域為，則的值為 ．
【答案】/2.5
【分析】先由絕對值、余弦函數(shù)的有界性以及求出，分類討論求出，即可求解.
【詳解】因為，，
所以當(dāng)且僅當(dāng)且時，
所以,
又，所以
所以，易知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，不滿足題意；
當(dāng)時，因為，所以，
注意到，且在單調(diào)遞增，
所以，所以
故答案為：.
【點睛】利用三角函數(shù)求值的關(guān)鍵：
（1）角的范圍的判斷；
（2）根據(jù)條件選擇合適的公式進行化簡計算；
（3）合理地利用函數(shù)圖像和性質(zhì).
【變式6-1】4. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．是以為周期的函數(shù)
B．直線是曲線的對稱軸
C．函數(shù)的最大值為，最小值為
D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有2023個零點，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)周期函數(shù)定義判斷A即可；根據(jù)函數(shù)對稱軸定義判斷B即可；由A知是以為周期的函數(shù)，所以根據(jù)求解在區(qū)間上的最大值即可判斷選項C，利用在區(qū)間上的零點個數(shù)即可判斷選項D.
【詳解】對于A，因為，
所以是以為周期的函數(shù)，故A正確；
對于B，有，故B錯誤；
對于C，由A知只需考慮在區(qū)間上的最大值，
當(dāng)時，令，
則，
易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，最小值為；
當(dāng)時，令，
則，
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的最大值為，最小值為，
綜合可知：函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；
對于D，因為是以為周期的函數(shù)，
可以先研究函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，易知，
當(dāng)時，令，解得或1，
因為，則，
則在區(qū)間上無解，
在區(qū)間上僅有一解，
當(dāng)時，令，解得或1，
因為，則，
則在區(qū)間上無解，
在區(qū)間上也無解，
綜合可知：函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，分別為和，
又因為是以為周期的函數(shù)，
所以若，則在區(qū)間上恰有個零點，
又已知函數(shù)在區(qū)間上恰有2023個零點，
所以，故D正確．
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查命題的真假判斷，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進行分類討論是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
【變式6-1】5.（2022春·新疆·高三校考階段練習(xí)）定義：設(shè)不等式的解集為A，若A中只有唯一整數(shù)，則稱A為“和諧解集”．若關(guān)于x的不等式在上存在“和諧解集”，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)定義解不等式即可.
【詳解】解：不等式可化為．
由函數(shù)得只有一個整數(shù)解，這唯一整數(shù)解只能是，
因為點是圖像上的點，所以．
所以數(shù)m的取值范圍為.
故選：A.
題型7三角換元法求最值
【例題7】（2023秋·廣東清遠·高三?？茧A段練習(xí)）若，那么的最大值為 .
【答案】
【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)有界性得函數(shù)的最大值.
【詳解】設(shè)，
所以
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】本題主要考查輔助角公式，考查三角函數(shù)的最值的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
【變式7-1】1. （2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)可得或，再利用三角變換公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的最大值.
【詳解】設(shè)，
故，所以，
所以或，
故或，
當(dāng)時，，
，
其中，，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最大值為.
當(dāng)時，，
，
其中，，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最大值為.
綜上，的最大值為.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：多變量的最值問題，注意根據(jù)方程的特征選擇三角換元來處理，后者可再結(jié)合三角變換公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)來求最值.
【變式7-1】2. （2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是 .
【答案】
【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進而可確定的范圍．
解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】解法一：，
，可得．
，
令，，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，
的取值范圍是．
解法二：由得，設(shè)，即，
則
令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【變式7-1】3. （2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由已知可得出，不妨設(shè)，，其中，可得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為、、均為正數(shù)且，則，
不妨設(shè)，，其中，
所以，
，
因為，則，令，
則，所以，，
所以，，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，
所以，.
故答案為：.
【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
【變式7-1】4. （2023·全國·高三專題練習(xí)）“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.在平面直角坐標(biāo)系中，點，的曼哈頓距離為.若點，Q是圓上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題利用圓的參數(shù)方程，設(shè)出，再根據(jù)題意得到，然后去絕對值分類討論即可.
【詳解】根據(jù)題意,是圓上任意一點,
設(shè)的坐標(biāo)為,，
則，
若，即時，則
，，
則當(dāng)時，即時，取得最大值，
當(dāng)時，即時，取得最小值，則有,
若,即時，則
，
則當(dāng)時，即時，取得最大值，
當(dāng)時，即時，，但此時無法取到，
綜上所述,
故選：B.
【點睛】本題為新文化試題，有關(guān)曼哈頓距離的問題曾經(jīng)考察過多次，是?？碱}的熱點問題之一，這類問題從數(shù)學(xué)家思想出發(fā)，一定要將他的概念理解清楚，這樣才能得到有關(guān)距離的函數(shù)，再進行分類討論即可.
【變式7-1】5.（2022·北京·高三強基計劃）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用待定系數(shù)法法結(jié)合基本不等式可求的最大值，也可以利用三角換元結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.我們也可以利用基本不等式把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，從而可求最大值.
【詳解】解法一 根據(jù)題意，有
，
其中，令，
解得，
于是，
等號當(dāng)時取得，因此所求最大值為．
解法二 令，其中，則

，
等號當(dāng)時取得，因此所求最大值為．
解法三 根據(jù)題意，有
，
等號當(dāng)，且即時取得，
因此所求最大值為．
故選：A.
題型8三角換元法與向量求最值
【例題8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方形的邊長為，動點在以為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、三角恒等變換、三角函數(shù)值域等知識求得的取值范圍.
【詳解】以點為圓心，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，圓的半徑為，
∴設(shè)，∴，
∴，
當(dāng)時，取最小值，
當(dāng)時，取最大值4.
故的取值范圍為．
故答案為：

【變式8-1】1. （2020·全國·高三專題練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點P在弧BC上運動，，則的最大值為 .
【答案】.
【分析】如圖所示：作平行四邊形，分別在上，故，計算得到，，，得到答案.
【詳解】如圖所示：作平行四邊形，分別在上，故.
故，設(shè)，
根據(jù)正弦定理：，，
故，，
故，
其中，當(dāng)時，有最大值為.
故答案為：.
【點睛】本題考查了正弦定理和三角恒等變換的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
【變式8-1】2. （2022·山東日照·統(tǒng)考一模）在，點M是外一點，BM=2CM=2，則AM的最大值與最小值的差為 ．
【答案】
【分析】取邊BC的中點為O，把（）?0轉(zhuǎn)化為?0，得出⊥，△ABC為等邊三角形，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以BC邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示得出AM的解析式，求出它的最大值與最小值即可．
【詳解】取邊BC的中點為O，則（），
又（）?0，∴?0，
∴⊥，∴△ABC為等腰三角形，
又∠A，∴△ABC為等邊三角形，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，以BC邊所在的直線為x軸，
建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；
并設(shè)BC＝2a（a），點M（x，y）；
則A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），
又BM＝2CM＝2，
所以（x+a）2+y2＝4
（x﹣a）2+y2＝1，
所以解方程組，
解得 或，
所以當(dāng)時，



，
令a2csθ，
則AM，
所以當(dāng)θ 時（AM）min＝1，
同理當(dāng)時，
AM，
所以當(dāng)θ時（AM）max＝3；
綜上可知：AM的取值范圍是[1，3]，
AM的最大值與最小值的差是2．
故答案為2．
【點睛】本題考查三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用，也考查了數(shù)形結(jié)合與邏輯推理以及計算能力的應(yīng)用問題，是難題，突破點是求最值三角換元的引入.
【變式8-1】3. （2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知外接圓的圓心為O，，，若有最大值，則參數(shù)t的值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)D是線段的中點，從而可求得，同理可得，再結(jié)合可求得，再根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖所示，設(shè)D是線段的中點，
由于O是外接圓的圓心，故，
所以，
同理可得，
由于，
故，即，
解得，
則，
由于，依題意有最大值，
令，設(shè)，
當(dāng)，即時，（舍去），
當(dāng)，即時，
，解得（舍去），
綜上可得.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出，，再結(jié)合，求出是解決本題的關(guān)鍵.
【變式8-1】4.（2022秋·新疆·高三兵團第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點，，，滿足，，動點，滿足，，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由題意可設(shè)，，，，再由，，可設(shè)，，，從而可表示，化簡后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.
【詳解】解：平面內(nèi)，，，
，，，
可設(shè)，，，，
動點，滿足，，
可設(shè)，，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
的最大值為．
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的坐標(biāo)運算，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知向量間的關(guān)系設(shè)點的坐標(biāo)，再由，，表示出的坐標(biāo)，從而可表示出的坐標(biāo)，進而可求出的最大值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.
【變式8-1】5.（2022秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，扇形AOB的圓心角為，半徑為1．點P是上任一點，設(shè)．
(1)記，求的表達式；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)題意求得，進而根據(jù)輔助角公式得到的表達式即可；
（2）根據(jù)題意可得，進而化簡得到，再代入可得，，進而結(jié)合三角函數(shù)的范圍求解即可
【詳解】（1）
由題意，以為坐標(biāo)原點，為軸正向建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則，.故，所以，即
（2）由（1），，即 ，故，解得，其中，故 ，即，，故，所以，故，即的取值范圍為
【變式8-1】6.（2022秋·天津?qū)氎妗じ呷？茧A段練習(xí)）已知邊長為的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，過B點的直線l與圓相交于M，N兩點，（1）若圓心O到直線l的距離為1，則 ；（2）若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】（1）利用圓的弦長公式即求；
（2）以B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，可得內(nèi)切圓方程為，可設(shè)，由條件可得，再利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】（1）∵邊長為的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，
由等邊三角形的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓的半徑為2，又圓心O到直線l的距離為1，
∴.
（2）如圖以B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，
內(nèi)切圓方程為，由題知點M在圓上，可設(shè)，
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
∵，∴.
故答案為：；.
【變式8-1】7. （多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長為4，E是BC中點，如圖，點P是以AB 為直徑的半圓上任意點，，則（ ）
A．最大值為1B．·最大值是8
C．最大值為D． 最大值是
【答案】AD
【分析】建系，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算結(jié)合三角函數(shù)的有界性逐項分析運算.
【詳解】如圖，以AB 的中點O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
可得，
則，
由題意可得，解得.
對于A：∵，且，可得當(dāng)，取到最大值1，
∴最大值為1，故A正確；
對于B：·，
∵，可得當(dāng)時，取到最大值1，
∴·最大值是，故B錯誤；
對于C：∵，其中，
由，則，
令，解得；令，解得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；
∴最大值是1，故C錯誤；
對于D： ，
∵，則，
則當(dāng)，即時，取到最大值1，
∴ 最大值是，故D正確；
故選：AD.
【點睛】方法定睛：1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運算來實現(xiàn)．
2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
題型9三角換元法與根號型求最值
【例題9】（2021秋·天津紅橋·高三統(tǒng)考期中）設(shè)，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】由題意，利用三角換元，令.則，化為討論的最小值即可.
【詳解】∵a?0,∴可令.
則，
化為
，
化為，
.當(dāng)時，即a=1時取等號.
因此的最小值是.
故答案為.
【點睛】本題主要考查三角換元與輔助角公式的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
【變式9-1】1. （2020春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t的取值范圍是
【答案】
【分析】首先求出的取值范圍，令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再根據(jù)三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】解：因為
所以解得，令，
則
所以，
因為，所以，所以
所以
故答案為：
【點睛】本題考查函數(shù)的值域的計算，換元法的應(yīng)用，三角函數(shù)及三角恒等變換公式的應(yīng)用，屬于中檔題.
【變式9-1】2. （2021秋·江西吉安·高三江西省萬安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則的最大值為 .
【答案】8
【解析】設(shè)，不妨設(shè)，再利用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可得答案.
【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，
則，故，所以，
可設(shè) ，，則
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
即的最大值為8.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用三角換元法及三角恒等變換中的輔助角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.
【變式9-1】3. （2021秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)r，滿足，則r的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】原方程可變形為，再設(shè)，，進而可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出r的范圍即可.
【詳解】將配方得，
設(shè)，，得：
，
又因為，，
所以.
故答案為：.
題型10換元法求最值
【例題10】（2008·重慶·高考真題）函數(shù)f(x)=()的值域是
A．[-]B．[-]
C．[-]D．[-]
【答案】C
【分析】由題意結(jié)合函數(shù)解析式的特征利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式的結(jié)論,求解函數(shù)的值域即可.
【詳解】令，則：，即：，
分類討論：
當(dāng)時，，則：，
函數(shù)的解析式換元為：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時函數(shù)的值域為；
當(dāng)時，，則：，
函數(shù)的解析式換元為：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時函數(shù)的值域為；
綜上可得：函數(shù)f(x)=( )的值域是,
故選：C
【變式10-1】1. （2022春·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先對原式進行變形，然后再利用換元法求函數(shù)的最值.
【詳解】由題知，
整理得，
令，易知，
所以知在時是單調(diào)遞減函數(shù)，
因為，
整理得，
解得，代入中有的最大值為，
即的最大值為.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，結(jié)合考查了函數(shù)最值問題，屬于難題.
【變式10-1】2.．（2022·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)弦化切化簡得，再將化簡為，換元后結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求得答案.
【詳解】由題意得，，且，，
∴，可得，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
故 ，令，，
則，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可知該函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，
故選：D
【變式10-1】3.（2020秋·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）
A． B．C．，0D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式和同角的基本關(guān)系化簡可得，再令，，可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，則
，
由，得，所以，
所以當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了二倍角公式、同角基本關(guān)系，以及換元法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，屬于中檔題.
題型11距離與斜率型
【例題11】（2020·江蘇鹽城·鹽城市第一中學(xué)校考二模）已知函數(shù)，若集合，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設(shè)，，，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡可得，利用線段差的幾何意義可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
設(shè)，，，
則，
如圖，
，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且在之間時等號成立，
又，故的最大值為.
因為集合，故，故.
故答案為：.
【點睛】本題考慮無理函數(shù)的最值，對于無理函數(shù)的最值問題，首選方法是利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，其次可利用幾何意義來求最值，本題屬于難題.
【變式11-1】1. （2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）.
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將轉(zhuǎn)化為點到點的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求得結(jié)果.
【詳解】因為 ，
所以，
故的最大值轉(zhuǎn)化為點到與的距離之差的最大值，
因為，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，
經(jīng)檢驗，此時，，
所以，即的最大值為.
故選：D.
【變式11-1】2. （2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓上兩點，滿足：，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先由數(shù)量積公式可得，再根據(jù)絕對值的幾何意義得表示兩點，分別到直線的距離之和，再以直線為軸重新建立直角坐標(biāo)系后，利用三角函數(shù)表示，根據(jù)角的范圍求值域.
【詳解】由，得.
設(shè)表示兩點，分別到直線的距離之和.
取直線為軸重新建立直角坐標(biāo)系后，則表示兩點，分別到軸的距離之和.
在新的直角坐標(biāo)系下，設(shè)，
則有.
由對稱性，不妨設(shè)點在軸上或上方，即.
所以，
時，，
得，則，
當(dāng)時，，
，此時
綜上得，
從而得.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解的幾何意義，并正確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，注意需討論角的范圍，寫出分段函數(shù)的形式.
【變式11-1】3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）存在實數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】首先利用三角函數(shù)化簡已知，轉(zhuǎn)化為，利用兩點間距離公式構(gòu)造幾何意義，求距離差的最大值，再根據(jù)存在問題求的取值范圍.
【詳解】
，
設(shè)，，，
則，
如圖，
，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且點在之間時等號成立，
又，故的最大值為，
因為存在實數(shù)使得
所以
即
故答案為：
【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，重點考查構(gòu)造函數(shù)的幾何意義求最值，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩點間距離公式，轉(zhuǎn)化幾何意義求最值.
【變式11-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】分別作，的圖象，取點，，則原式可看為兩圖象上各取一點的距離的平方，可轉(zhuǎn)化為圖象上點到圓心的距離減半徑的平方.計算結(jié)果即可.
【詳解】解：分別作，的圖象，
分別取點，，原式視為兩圖象上各取一點的距離的平方，
設(shè)為與的交點，
，即.
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.
故得的最小值為.
故答案為：.

【變式11-1】5. （2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)的值域為 .
【答案】[，]
【分析】先根據(jù)條件求出x的范圍，再令x﹣2=csθ，利用三角換元法結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求出結(jié)論.
【詳解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0?1≤x≤3.
令x﹣2=csθ 且θ∈[0，π]
∴
=，表示兩點（﹣3，﹣3）和（csθ，sinθ）的斜率，，故點在單位圓的上半部分.
如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率，，化簡得，由，解得 ，故切線的斜率為 .所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域為.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查含有根式的函數(shù)的值域的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
題型12參變分離
【例題12】（2021·全國·高三專題練習(xí)）不等式對于所有實數(shù)x都成立，求的取值范圍.
【答案】的取值范圍是 .
【分析】將原不等式按參數(shù)分離，利用判別式法可得，利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)解不等式可求的取值范圍.
【詳解】將原不等式按參數(shù)分離，得.
即.①
由“判別式法”可求得：.從而.
要使原不等式對一切都成立，當(dāng)且僅當(dāng)①對一切都成立，這又等價于，即，
，
∴的取值范圍是 .
【變式12-1】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的最大值和最小值分別是，則為( )
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】A
【分析】設(shè)，結(jié)合三角恒等變換得到，平方整理后結(jié)合一元二次不等式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得.
【詳解】設(shè)，，
，
，所以，
兩邊平方并化簡得（*），，
設(shè)關(guān)于的方程的兩根是，
則
而不等式（*）的解為：，即分別是函數(shù)的最小值和最大值，
所以.
故選：A
【點睛】本題解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)來構(gòu)造關(guān)于函數(shù)值的不等關(guān)系式，從而結(jié)合一元二次不等式的解法來求得最值的關(guān)系式.
題型13復(fù)合函數(shù)型
【例題13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時滿足，關(guān)于的方程有且僅有6個不同實根，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，作出的圖象，設(shè)，得到方程，設(shè)結(jié)合圖象，要使得方程有6個不同的根，則滿足或，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，
，
因為，可得，所以在單調(diào)遞增，，
又由時，為單調(diào)遞減函數(shù)，且，
因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，

設(shè)，則方程可化為，
由圖象可得：
當(dāng)時，方程有2個實數(shù)根；
當(dāng)時，方程有4個實數(shù)根；
當(dāng)時，方程有2個實數(shù)根；
當(dāng)時，方程有1個實數(shù)根；
要使得有6個不同的根，
設(shè)是方程的兩根，設(shè)，
①，當(dāng)時，可得，可得，
此時方程為，解得，不滿足，所以無解.
②，即，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.
【變式13-1】1. （2020·湖南岳陽·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，設(shè)關(guān)于有兩個不同的實數(shù)根、，可得知、，進而可知關(guān)于的二次方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根，利用二次方程根的分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù)的簡圖如圖，
令，要使關(guān)于的方程 有且僅有個不同的實根，
則方程有兩個不同的實數(shù)根、，且由圖知、，
設(shè)，則有，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.
【變式13-1】2. （2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式；
(2)若，關(guān)于的方程恰有兩個實根，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由圖象確定函數(shù)周期，由此求，代入特殊點坐標(biāo)求求出，即可求得解析式；
（2）令，根據(jù)一元二次方程的根于系數(shù)關(guān)系研究方程的解的個數(shù)及其范圍，結(jié)合函數(shù)圖象，求出的取值范圍.
【詳解】（1）觀察圖象可得為函數(shù)，的對稱軸，其中，
所以函數(shù)的周期，又，所以，
因為，在函數(shù)的圖象上，
所以①，②，
由②可得，又，
所以，因為，所以，
將代入①得，，
所以，即函數(shù)的解析式為；
（2）由(1) 可得，則
令，，則方程可化為
方程沒有實數(shù)解，則，即，此時方程在上無解，與條件矛盾，
若方程有且只有一個解，則，所以，
當(dāng)時，方程的解為，而有且只有一解，與已知矛盾，
當(dāng)時，方程的解為，而有且只有一解，與已知矛盾，
當(dāng)時，方程有兩個解，設(shè)其解為，則，，
故，觀察函數(shù)圖象可得，方程有且只有一個實數(shù)解，
由已知方程在恰有兩個實根，所以方程，有且只有一個實數(shù)解，觀察函數(shù)可得或，
所以，其中或，又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，
當(dāng)時，方程有兩個解，設(shè)其解為，，則，，
故，觀察函數(shù)圖象可得，方程有且只有一個實數(shù)解，
由已知方程在恰有兩個實根，所以方程，有且只有一個實數(shù)解，觀察函數(shù)可得，
所以，其中，又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，
綜上：當(dāng)時，方程恰有兩個實根.
1. （2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)()的最小正周期為，的圖像關(guān)于點對稱，．若在上存在最大值，則實數(shù)的最小值是 ．
【答案】
【分析】由周期求出，再根據(jù)對稱性求出，即可得到函數(shù)解析式，由的取值范圍，求出，即可得到，從而求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】，，，即，
又， ，
，
當(dāng)時，，因為在上存在最大值，
所以，解得，即．
故答案為：
2. （2022·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，任取，記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，設(shè)，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】考慮一個周期內(nèi)的情況，根據(jù)的取值，求得的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的值域，求該函數(shù)值域即可.
【詳解】因為，其中分別是指在區(qū)間上的最大值和最小值，
因為的周期，故在區(qū)間的圖象與在區(qū)間上的圖象完全相同，
故，故，即是周期為的函數(shù)，故的值域與時的值域相同；
又在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時 ；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時 ；
故在的函數(shù)圖象如下所示：
數(shù)形結(jié)合可知，的值域為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)值域的求解，涉及三角函數(shù)值域的求解；處理問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意，找到的周期，同時要對進行分類討論求的解析式，屬綜合困難題.
3. （多選）（2023·海南海口·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則以下說法中正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．的值域為
C．為奇函數(shù)D．若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為
【答案】BD
【分析】先化簡的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
，
的最小正周期為，故A錯誤；
因為，所以的值域為，故B正確；
，
令，定義域為，
，故C錯誤；
由，得，
即在上單調(diào)遞增，
令，得在上單調(diào)遞增；
時，都有；
由，得，
即在上單調(diào)遞減，
而，所以若在區(qū)間上單調(diào)，
則必有，所以的最大值為，故D正確.
故選：BD
4. （2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）已知點O是邊長為4的正方形的中心，點P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，，若．
（1）的取值范圍是 ；
（2）當(dāng)取得最大值時，
【答案】
【分析】建立以A為原點的坐標(biāo)系，可得P的軌跡方程，由P的軌跡方程可知，即，從而得第一問答案；將代入P的軌跡方程得，設(shè)，利用三角函數(shù)求得當(dāng)時，取最大值，代入即可得第二空答案.
【詳解】解：建立以A為原點的坐標(biāo)系，如圖所示：
由可得P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
設(shè)，則有，
所以，
又因為，
所以，
由P的軌跡方程可知，
即，所以，
所以的范圍為：；
將代入，得，
所以點在圓上，
設(shè)，
則，
所以當(dāng)時，取最大值，此時，
所以，
所以，
所以.
故答案為：；
【點睛】方法點睛：對于較復(fù)雜的平面向量中涉及范圍的問題，通過建模，將問題轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運算，從代數(shù)角度出發(fā)進行解答，從而降低難度.
5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.
【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.
故選：C．
6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數(shù)，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
7．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)是
A．奇函數(shù)，且最大值為2B．偶函數(shù)，且最大值為2
C．奇函數(shù)，且最大值為D．偶函數(shù)，且最大值為
【答案】D
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時，取最大值.
故選：D.
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因為，（，）
所以最小正周期，因為，
又，所以，即，
又為的零點，所以，解得，
因為，所以當(dāng)時；
故答案為：
利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解對應(yīng)區(qū)間的最值問題
通過輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，進而求解對應(yīng)區(qū)間的最值問題
類比一元二次函數(shù)，求解最值
利用的關(guān)系，通過換元可以進行代數(shù)式的化簡
1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=（或者cs x換成sinx）.
2.可以用輔助角：上下同名型：g（x）=（或者cs x與sinx互換）.
絕對值型需要進行分類討論，再進行分析
1.二次型雙變量可以三角換元.
2.橢圓型，或者雙變量型，可以適當(dāng)選擇多項式三角函數(shù)換元.
向量中的三角換元原理之一，就是源于=R，實質(zhì)是圓，所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換
無理單根號，雙根號等等三角換元的數(shù)字特征.
1.單根號，一般是齊次關(guān)系.
2.雙根號，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x.
3.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約.

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點題型突破練習(xí)專題18 三角函數(shù)中w取值范圍問題八大題型匯總（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點題型突破練習(xí)專題18 三角函數(shù)中w取值范圍問題八大題型匯總（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點題型突破練習(xí)專題18三角函數(shù)中w取值范圍問題八大題型匯總原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點題型突破練習(xí)專題18三角函數(shù)中w取值范圍問題八大題型匯總解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共68頁， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)練習(xí)重難點23 與圓有關(guān)的最值與范圍問題【十大題型】（原卷版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)練習(xí)重難點23 與圓有關(guān)的最值與范圍問題【十大題型】（原卷版），共10頁。

高考數(shù)學(xué)練習(xí)重難點10 三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題【七大題型】（原卷版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)練習(xí)重難點10 三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題【七大題型】（原卷版），共10頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點突破01ω的取值范圍與最值問題(六大題型)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點突破01ω的取值范圍與最值問題(六大題型)(原卷版+解析)
2025屆一輪復(fù)習(xí)：高考數(shù)學(xué)重難點匯總重難點專題17 三角函數(shù)最值與取值范圍問題十三大題型匯總

2025屆一輪復(fù)習(xí)：高考數(shù)學(xué)重難點匯總重難點專題17 三角函數(shù)最值與取值范圍問題十三大題型匯總
【講通練透】重難點突破01 ω的取值范圍與最值問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破精講

【講通練透】重難點突破01 ω的取值范圍與最值問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破精講
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破講義 重難點專題17 三角函數(shù)最值與取值范圍問題十三大題型匯總-【劃重點】（新高考通用）

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破講義 重難點專題17 三角函數(shù)最值與取值范圍問題十三大題型匯總-【劃重點】（新高考通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部