TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145949086" 題型1單調(diào)性與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949086 \h 1
\l "_Tc145949087" 題型2圖像平移伸縮與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949087 \h 5
\l "_Tc145949088" 題型3對稱軸與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949088 \h 9
\l "_Tc145949089" 題型4對稱中心與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949089 \h 12
\l "_Tc145949090" 題型5零點與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949090 \h 15
\l "_Tc145949091" 題型6最值與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949091 \h 23
\l "_Tc145949092" 題型7極值與 取值范圍問題 PAGEREF _Tc145949092 \h 27
\l "_Tc145949093" 題型8新定義 PAGEREF _Tc145949093 \h 30
題型1單調(diào)性與 取值范圍問題
【例題1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）規(guī)定：設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】（注：可以用不等關(guān)系表示）
【分析】討論和的條件，時，，根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即可.
【詳解】函數(shù)，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
時，，在上單調(diào)遞增，
則有或，
解得，當(dāng)時，有解；
或，當(dāng)時，有解.
實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【變式1-1】1. （2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】有函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點可知，由在上單調(diào)遞增可求出的取值范圍，然后聯(lián)立即可求出答案.
【詳解】解：由題意得：
函數(shù)在上恰有兩個零點，
，
解得：①，
又在上單調(diào)遞增，
，解得：②，
由①②式聯(lián)立可知的取值范圍是.
故選：B
【變式1-1】2. （2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性及已知區(qū)間單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.
【詳解】當(dāng)時，，
因為在上單調(diào)遞增，所以，解得.
當(dāng)時，，
因為，所以.
因為在上單調(diào)遞減，所以且，解得，
又，所以的取值范圍是.
故選：A
【變式1-1】3. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，化簡，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù) ，
令，解得，且，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為且，
要使得在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則滿足，解得，其中，
又由，解得，因為，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【變式1-1】4. （2023春·安徽阜陽·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時，恒成立，列出不等關(guān)系，通過賦值，并結(jié)合的本身范圍進行求解.
【詳解】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因為函數(shù)在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因為，當(dāng)時，由①②可知：，解得；
當(dāng)時，由①②可知：，解得.
所以的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整體范圍滿足組對應(yīng)的單調(diào)性或者對應(yīng)的條件關(guān)系，羅列出等式或不等式關(guān)系，幫助我們進行求解.
題型2圖像平移伸縮與 取值范圍問題
【例題2】（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，，為的導(dǎo)函數(shù)，且，若當(dāng)時，的取值范圍為，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得，結(jié)合可求得；利用整體代換的方式，結(jié)合余弦型函數(shù)的值域可求得結(jié)果.
【詳解】，，
，，
，，又，，
；
當(dāng)時，，
，，解得：.
故選：D.
【變式2-1】1. （2022秋·河北石家莊·高三石家莊市第十五中學(xué)校考期中）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由三角函數(shù)圖象平移規(guī)則求得函數(shù)，再利用正弦曲線的零點即可求得的取值范圍
【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，得到
再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)
由函數(shù)在上沒有零點，則，則
由，可得
假設(shè)函數(shù)在上有零點，
則，則
由，可得
又，則
則由函數(shù)在上沒有零點，且，可得
故選：A
【變式2-1】2. （2023秋·山西運城·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，化簡函數(shù)，結(jié)合圖象平移求出函數(shù)，進而求出單調(diào)遞增區(qū)間，再列出不等式求解作答.
【詳解】函數(shù)，
因此，，
由，解得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是，即，
解得，由，得，而，即或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的取值范圍為.
故答案為：
【變式2-1】3. （2023春·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把圖象上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移變換，寫出函數(shù)的解析式，再由函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，列出不等式組求出的取值范圍即可
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象,
再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)的圖象，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，解得，①
又，
所以，解得，②
由①②可得，
故答案為: .
【變式2-1】4. （2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有5個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得，求解即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，
再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.
時，，
在軸右方的零點為
因為函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有5個零點，
所以，解得.
故選:D.
題型3對稱軸與 取值范圍問題
【例題3】（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若定義在上的函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有5條對稱軸，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程為，，原題等價于有5個整數(shù)k符合，解不等式即得解.
【詳解】由已知，，
令，，得，，
依題意知，有5個整數(shù)k滿足，即，
所以，則，故，
故選：A．
【變式3-1】1. （2022秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，則下列四個結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點
B．的最小正周期可能是
C．的取值范圍是
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】C
【分析】根據(jù)已知，利用整體代換技巧以及三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解判斷.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，
令，則，
所以有4個整數(shù)符合，
由得，，，
則，所以，所以，故C正確；
對于A，當(dāng)，，因為，所以，
當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點，
當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點，故A錯誤；
對于B，周期，因為，則，所以，
因為，故B錯誤；
對于D，當(dāng)，，因為，
所以，因為，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：C.
【變式3-1】2. （2023·廣東深圳·?？家荒＃⒑瘮?shù)的圖像上所有點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?，所得函?shù)的圖像在區(qū)間上有且僅有兩條對稱軸和兩個對稱中心，則的值為 ．
【答案】2
【分析】先求函數(shù)的解析式，畫出大致圖像，再結(jié)合已知條件即可求出的值.
【詳解】由題可知．
因為，所以．
所以的圖像大致如圖所示，
要使的圖像在區(qū)間上有且僅有兩條對稱軸和兩個對稱中心，
則，解得，
因為，所以．
故答案為：2
【變式3-1】3. （2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個零點和3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整體換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】函數(shù) ．
當(dāng)時，令，則，
若在有且僅有3個零點和3條對稱軸，
則在有且僅有3個零點和3條對稱軸，
則，解得.
故選：A．

題型4對稱中心與 取值范圍問題
【例題4】（2020秋·陜西寶雞·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，且，則的最小值為
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由函數(shù)圖象的對稱中心為列方程，由整理出方程并求解，聯(lián)立方程組表示出，結(jié)合及得到的范圍，從而求解．
【詳解】因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心為所以，整理得：，
所以，
又即：，
所以或
由得：，
由得：，
所以的最小值為
故選A
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)，及解三角方程，注意及這個要求
【變式4-1】1. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)得出，繼而由周期公式得出.
【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩
個對稱中心之間的距離為，知，，
又因為，所以，即，則．
故選：B．
【變式4-1】2. （2022·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若存在實數(shù)，使得函數(shù)(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性進行求解即可.
【詳解】由于函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，所以，所以，
由于，則，
因為，所以可得：，
故選：C
【變式4-1】3. （2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心可求出結(jié)果.
【詳解】
,
當(dāng)時，為常數(shù)，不合題意，
當(dāng)， 時， ，
要使在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，
則，即，
當(dāng)， 時，，
要使在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，
則，即.
故答案為：.
題型5零點與 取值范圍問題
【例題5】（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，若，且在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式和求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.
【詳解】由題意的最小正周期為T，則，
又，可得，即，
又，所以，
在區(qū)間上恰有3個零點，
當(dāng)時，，
結(jié)合函數(shù)的圖象如圖所示：

則在原點右側(cè)的零點依次為，，，，…，
所以，解得，即的取值范圍為．
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求解是解題關(guān)鍵.
【變式5-1】1. （2023秋·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由得，根據(jù)題意得，進而可得的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
因為在上沒有零點，所以，解得.
又因為，所以.
故選：B
【變式5-1】2. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，）在區(qū)間上單調(diào)，且滿足.
（1）若，則函數(shù)的最小正周期為 .
（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】（1）由題可得對稱中心，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件判斷的大概取值范圍，再結(jié)合條件可得函數(shù)的對稱軸即可得到的值從而得出最小正周期；
（2）根據(jù)函數(shù)的對稱中心及的大概取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可得，從而解出.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，
∴對稱中心為，
代入可得，，①
∵在區(qū)間上單調(diào)，且對稱中心為，
又∵，，
∴在區(qū)間上單調(diào)，
∴， ，即，
∴.
（1）∵，
∴關(guān)于對稱，代入可得，，②
①－②可得，，即，，又，
∴，；
（2）∵對稱中心為，∴，
∵在區(qū)間上恰有5個零點，
∵相鄰兩個零點之間的距離為，五個零點之間即，六個零點之間即，
∴只需即可，
所以，又∵，
∴.
故答案為：；.
【變式5-1】3. （2022秋·山東臨沂·高三?？计谀┤艉瘮?shù)在上恰有三個零點，則（ ）
A．的取值范圍為
B．在上恰有兩個極大值點
C．在上有極大值點
D．在上單調(diào)遞增
【答案】AD
【分析】利用整體代換先求出在區(qū)間上的取值范圍，再根據(jù)零點個數(shù)可求得的取值范圍，可判斷A；根據(jù)極值點定義可得在的極值點個數(shù)是由的取值決定的，可能有一個也可能有兩個即可判斷B；同理在上可能有極大值點，也可能沒有，即C錯誤；由時，，可得在上單調(diào)遞增可判斷D.
【詳解】由題可知，時，，
若函數(shù)在上恰有三個零點，根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知解得，即選項A正確；
由可知，當(dāng)時，，此時在上只有1個極大值點，
當(dāng)時，，在上恰有兩個極大值點；所以B錯誤；
當(dāng)時，，
不妨取，此時，即當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知在上沒有極大值點；即C錯誤；
當(dāng)時，，而，
所以當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，即D正確；
故選：AD.
【變式5-1】4. （2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為
【答案】
【分析】利用的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)的零點，再利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系且，從而求出結(jié)果.
【詳解】因為，由，得到，
所以或，
所以或，
又因為存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，所以
且，即且，解得.
故答案為：
【變式5-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)．若在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象有三個交點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可求得在上單調(diào)遞增這個條件的范圍，再根據(jù)函數(shù)與的圖象有三個交點，則在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，從而可得第二個條件下的的范圍，取交集即可得出答案，注意說明時，函數(shù)與的圖象只有一個交點.
【詳解】解：當(dāng)時，，
因為在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
又因函數(shù)與的圖象有三個交點，
所以在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，
即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
所以，解得，
當(dāng)時，
當(dāng)時，令，
由，
當(dāng)時，，
此時，，
結(jié)合圖象，所以時，函數(shù)與的圖象只有一個交點，
綜上所述，.
故選：B.
【變式5-1】6.（2020·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，且，，若的圖像在內(nèi)與軸無交點，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】∵的圖像在內(nèi)與軸無交點
∴
∵
∴
∵由對稱中心可知
∴
∵假設(shè)在區(qū)間內(nèi)存在交點，可知
∴當(dāng)時，
∴以上并集在全集中做補集，得
故答案為
點睛：本題采用了正難則反的策略把無交點問題轉(zhuǎn)化為有交點的問題，利用補集思想得到最終的結(jié)果，對于否定性問題經(jīng)常這樣思考.
【變式5-1】7.（2022秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的兩相鄰零點之間的距離小于，為函數(shù)的極大值點，且，則實數(shù)的最小值為 .
【答案】13
【分析】利用輔助角公式化簡的表達式，確定，結(jié)合求得以及的表達式，結(jié)合其平方和為1求得m的值，即可求得，從而可得的表達式，繼而求得答案.
【詳解】由題意得，（為輔助角），
由題意知，
為函數(shù)的極大值點，故，
即，故，
即，
因為，
故，即，
所以，
由于，故，
解得（），故，
則或，
即或，
則實數(shù)的最小值為13，
故答案為：13
【點睛】方法點睛：解答此類有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)類的題目，要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)，比如周期，最值以及對稱性等，求得參數(shù)的通式，再結(jié)合其他性質(zhì)即可求解答案.
題型6最值與 取值范圍問題
【例題6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值點和一個最小值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在區(qū)間上的最值點個數(shù)等價于在上的最值點個數(shù)．利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果即可．
【詳解】因為在區(qū)間上恰有一個最大值點和一個最小值點，
所以，所以．
令，當(dāng)時，，
于是在區(qū)間上的最值點個數(shù)等價于在上的最值點個數(shù)．
由知，，，
因為在上恰有一個最大值點和一個最小值點，
所以解得．
答案：B.
【變式6-1】1. （2023秋·福建三明·高三三明一中校考開學(xué)考試）已知在上存在唯一實數(shù)使，又，且，則實數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)式，利用條件得出的最大值，從而求得值，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)根據(jù)題中唯一解的條件求得的范圍．
【詳解】 ，∴，
又，∴的最大值是，
所以，又，所以，
∴，
時，又，∴，，
，是唯一的，因此有，解得．
故選：A．
【變式6-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考開學(xué)考試）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)列式求解作答.
【詳解】依題意，，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，
由，而，得，
因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，
于是，則，解得，
由，且，解得，又，從而或，
當(dāng)時，得，又，即有，當(dāng)時，得，
所以的取值范圍是.
故選：B
【變式6-1】3. （2023·河南信陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化簡函數(shù)的解析式，再依據(jù)題意列出關(guān)于的不等式組，即可求得的取值范圍.
【詳解】
由，可得
由在區(qū)間上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解之得
綜上，的取值范圍是
故選：B
【變式6-1】4. （2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在軸上的截距為，且在區(qū)間上沒有最值，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】先求出，根據(jù)條件求出周期確定的大致范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式確定的具體范圍.
【詳解】由題意可知，，且，則，又在區(qū)間上沒有最值，，即；
先考慮在區(qū)間上存在最值，則，
即，又，即 ，即可取1，2，得；
由在區(qū)間上沒有最值，可得；
故答案為：.
題型7極值與 取值范圍問題
【例題7】（2023秋·湖南長沙·高三湘府中學(xué)校考開學(xué)考試）若函數(shù)在單調(diào)，且在存在極值點，則的取值范圍為
【答案】
【解析】先通過函數(shù)在存在極值點，求出的范圍，再根據(jù)在單調(diào)，求出和之間的不等關(guān)系，再結(jié)合已求出的的范圍，得最終的范圍.
【詳解】解：因為函數(shù)在存在極值點，所以，即，
當(dāng)，又在單調(diào)，
所以，即，
解得，只能取，即，
綜上，，
故答案為：.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，關(guān)鍵是要建立關(guān)于和之間的不等關(guān)系，是中檔題.
【變式7-1】1. （2021春·山東日照·高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù)，已知集合為的極值點，，若存在實數(shù)，使得集合中恰好有個元素，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先理解集合的含義，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的周期進行求解．
【詳解】集合表示函數(shù)在橢圓的內(nèi)部或邊界上的最值點的集合，
而最值點一定在直線上，且當(dāng)時，
由得，
的周期，
因為存在實數(shù)，使得集合中恰好有個元素，
故，解得，
故選：A.
【點睛】思路點睛：對于三角函數(shù)有關(guān)的恒成立與有解問題，應(yīng)根據(jù)問題的特征將前者轉(zhuǎn)化為周期的性質(zhì)來處理.
【變式7-1】2. （2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點和一個極值點，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】依題意首先求出的大致范圍，進而確定的范圍，根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)可得，即可求出ω的取值范圍.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，
由正弦型函數(shù)可知：兩個零點之間必存在極值點，兩個極值點之間必存在零點，
則，則，
注意到，解得，
∵，則，
由題意可得：，解得，
故的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)估算的范圍；
（2）求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列式求解.
【變式7-1】3. （2023秋·四川綿陽·高三三臺中學(xué)校考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)題意得出函數(shù)，當(dāng)時，，要使在上有且僅有3個極值點，需滿足，解不等式即可.
【詳解】由題可知，，當(dāng)時，．
因為在上有且僅有3個極值點，所以，解得，
所以的取值范圍為：．
故選：C.
【變式7-1】4. （2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）記函數(shù)（）的最小正周期為T，給出下列三個命題：
甲：；
乙：在區(qū)間上單調(diào)遞減；
丙：在區(qū)間上恰有三個極值點．
若這三個命題中有且僅有一個假命題，則假命題是 （填“甲”、“已”或“丙”）；的取值范圍是 ．
【答案】 甲
【分析】甲，利用三角函數(shù)的周期性求出；乙，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出；丙，利用函數(shù)的極值點定義求出，結(jié)合已知可知甲是假命題，進而求解.
【詳解】對于甲，，即，解得；
對于乙，，，
由正弦函數(shù)的單調(diào)性得，解得，
又，故，又，則，故，且，
對于丙，，，
由正弦函數(shù)的極值點得，解得；
由這三個命題中有且僅有一個假命題，
假設(shè)乙是假命題，則甲、丙是真命題，但顯然甲、丙矛盾，故該假設(shè)不成立；
假設(shè)丙是假命題，則甲、乙是真命題，但顯然甲、乙矛盾，故該假設(shè)不成立；
所以假命題是甲，則乙、丙是真命題，取交集的取值范圍是.
故答案為：甲，.
題型8新定義
【例題8】（2021·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域存在，使成立，則稱該函數(shù)為“互補函數(shù)”.若函數(shù)在上為“互補函數(shù)”，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】先化簡得，再根據(jù)“互補函數(shù)”存在，，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上存在兩個極大值點求解，易知，進而分，，三類情況討論求解.
【詳解】解：，
由“互補函數(shù)”的定義得：存在，，
所以令，則函數(shù)在區(qū)間上存在至少兩個極大值點，
則，得.
當(dāng)時，即，顯然符合題意；
當(dāng)時，分以下兩種情況討論，
當(dāng)，即時，，即，所以；
當(dāng)，即時，，即，所以.
綜上，的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)“互補函數(shù)”的定義將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上存在兩個極大值點，進而分類討論求解.考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是難題.
【變式8-1】（2023春·北京海淀·高三人大附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)函數(shù)定義域為，對于區(qū)間，如果存在、，，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保區(qū)間”.
（1）給出下面3個命題：
①是函數(shù)的“保區(qū)間”；
②是函數(shù)的“保區(qū)間”；
③是函數(shù)的“保區(qū)間”.
其中正確命題的序號為 .
（2）若是函數(shù)的“保區(qū)間”，則的取值范圍為 .
【答案】 ③
【分析】（1）利用“保區(qū)間”的定義判斷①②③，可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)定義和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知存在、使得，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于的不等式（組），綜合可得出正實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）對于①，對任意的，，
對任意的、，則，①錯；
對于②，當(dāng)時，，
不妨設(shè)、且，即，
所以，，則，②錯；
對于③，假設(shè)存在、且，
使得，可得，
可取，滿足條件，③對；
（2）當(dāng)且，則，
若存在、且使得，則，
所以，存在、使得，
不妨設(shè)，即，
因為，所以，，所以，，
即在區(qū)間上存在兩個不同的整數(shù).
①當(dāng)時，即當(dāng)時，區(qū)間上必存在兩個相鄰的整數(shù)，合乎題意；
②當(dāng)時，，而、為偶數(shù)，則、，
當(dāng)時，則，解得，
當(dāng)時，則，解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：（1）③；（2）.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問根據(jù)新定義求的取值范圍，在討論時，要確定、的取值，進而可得出關(guān)于的不等式組，進而求解.
1.（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中，若函數(shù)滿足以下條件：
①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；②對任意恒成立；
③經(jīng)過點的任意直線與函數(shù)恒有交點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的周期為，由②得到是函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合①可知，，再結(jié)合②和③即可求解.
【詳解】由函數(shù)可知，函數(shù)的周期為，
由條件②對任意恒成立，可知是函數(shù)的一條對稱軸，
結(jié)合條件①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則有
，又，解得，即，
又因為，故，解得，又，
從而或.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
由②對任意恒成立，，則，由③經(jīng)過點的任意直線與函數(shù)恒有交點，得，解得，易知，，，
此時由，可得，從而，
由或，得或，
所以或，
故選：A.
【點睛】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸求參數(shù)，研究三角函數(shù)的性質(zhì)基本思想將函數(shù)看成的形式，根據(jù)整體思想來研究相關(guān)性質(zhì).
2. （2023·全國·河南省實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在上存在對稱軸，求出對稱軸方程，建立不等式組求解即可.
【詳解】已知，
令，解得
則函數(shù)對稱軸方程為
函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，
，解得，
又由，且，得，
故僅當(dāng)時，滿足題意.
故選：C.
3. （2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，至多有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)為任意實數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在任意一個長度為的區(qū)間上的零點問題，求出函數(shù)在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點處的零點，得到相鄰四個零點之間的最大距離為，相鄰五個零點之間的距離為，根據(jù)相鄰四個零點之間的最大距離不大于，相鄰五個零點之間的距離大于，列式可求出結(jié)果.
【詳解】因為為任意實數(shù)，故函數(shù)的圖象可以任意平移，從而研究函數(shù)在區(qū)間上的零點問題，即研究函數(shù)在任意一個長度為的區(qū)間上的零點問題，
令 ，得，則它在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點處的零點分別為，，，，，，
則它們相鄰兩個零點之間的距離分別為，，，，，
故相鄰四個零點之間的最大距離為，相鄰五個零點之間的距離為，
所以要使函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，至多有4個零點，則需相鄰四個零點之間的最大距離不大于，相鄰五個零點之間的距離大于，
即，解得.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解復(fù)雜問題時，要善于將問題進行簡單化，本題中的以及區(qū)間是干擾因素，所以排除干擾因素是解決問題的關(guān)鍵所在.
4. （2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，在上有且僅有2個極小值點，則實數(shù)的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化簡的解析式，根據(jù)極小值點與三角函數(shù)最小值點的對應(yīng)關(guān)系求得正確答案.
【詳解】，
由于，所以，
要使在上有且僅有2個極小值點，
則，即．
故選：D
5. （2023·云南昆明·云南省昆明市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象過點，且在區(qū)間內(nèi)不存在最值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先將點代入，求得，由在區(qū)間內(nèi)不存在最值，得是單調(diào)區(qū)間的真子集，利用數(shù)軸法得到不等式組，解之即可得到的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)過點，
所以，即，故，
因為，所以，故，
由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
同理：的單調(diào)遞增區(qū)間為，
因為在區(qū)間內(nèi)不存在最值，所以是單調(diào)區(qū)間的真子集，
當(dāng)?時，有，解得，即，
又因為，，顯然當(dāng)時，不等式成立，且；
當(dāng)?時，有，解得，即，
又因為，，顯然當(dāng)時，不等式成立，且；
綜上：或，即
故選：D.
6. （2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由零點個數(shù)求出，再用整體法得到不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】因為，，其中，解得：，
則，要想保證函數(shù)在恰有三個零點，
滿足①，，令，解得：；
或要滿足②，，令，解得：；
經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足條件，
綜上：的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】三角函數(shù)相關(guān)的零點問題，需要利用整體思想，數(shù)形結(jié)合等進行解決，通常要考慮最小正周期，確定的范圍，本題中就要根據(jù)零點個數(shù)，先得到，從而求出，再進行求解.
7. （2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有3個極值點，2個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的取值范圍.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間恰有3極值點，2個零點，
在恰有3個零點，
又函數(shù)在區(qū)間恰有2零點，
由于，則，
故問題轉(zhuǎn)化為在上有3個零點，在上有2個零點，
結(jié)合正余弦函數(shù)圖象可得：，故.
故選：C.
.
.
8. （2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（其中，）.T為的最小正周期，且滿足.若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個極值點，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得為的一條對稱軸，即可求得，再以為整體分析可得，運算求解即可得答案.
【詳解】由題意可得：的最小正周期，
∵，且，則為的一條對稱軸，
∴，解得，
又∵，則，
故，
∵，則，
若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個極值點，則，解得，
故的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)問題的三種意識
(1)轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整體意識：類比y＝sinx的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．
①令ωx＋φ＝，可求得對稱軸方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對稱中心的橫坐標(biāo)．
③將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號．
(3)討論意識：當(dāng)A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論A>0，A

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