考法一 零點(diǎn)（交點(diǎn)）的個(gè)數(shù)
【例1-1】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【例1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)若直線是曲線的一條切線，求a的值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
考法二 零點(diǎn)（交點(diǎn)）個(gè)數(shù)求參
【例2-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【例2-2】（2023·四川南充·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)
(1)若是的極小值點(diǎn)，且，求的取值范圍；
(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍
考法三 零點(diǎn)之間的關(guān)系的證明
【例3-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【例3-2】（2022秋·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)市湖濱中學(xué)?？计谥校┮阎陀邢嗤淖畲笾?（）
(1)求的值；
(2)求證：存在直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)且，使得成等比數(shù)列.
【例3-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求實(shí)數(shù)；
(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，證明：.
考法四 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【例4-1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求的極值；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
考法五 利用導(dǎo)數(shù)解（能）恒成立
【例5-1】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【例5-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，判斷的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【例5-3】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
考法六 利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量
【例6-1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【例6-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．
(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合
(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍
②證明：．
【例6-3】（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明．
考法七 根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)
【例7-1】（2023·新疆·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).
(1)若，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；
(2)若存在極小值，求的取值范圍.
【例7-2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)設(shè)函數(shù).若至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考法八 切線的相關(guān)問(wèn)題
【例8-1】（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若過(guò)原點(diǎn)O可作三條直線與的圖像相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【例8-2】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.
(1)求a的取值范圍；
(2)若在和處的切線交于點(diǎn)，求證：.
1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)和函數(shù)有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求證：.
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；
②．
4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a，.
(1)當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若存在，使，求a的取值范圍.
5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)吋，.
6．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
7．（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：.
8．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，記的導(dǎo)函數(shù)為．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．
9．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)對(duì)于任意正整數(shù)n，，求t的最小正整數(shù)值．
10．（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中且．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”求函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；
(3)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).
(1)求的極值；
(2)若有4個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
13．（2023·廣西柳州·二模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域；
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
14．（2022·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)校考一模）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求正數(shù)a的取值范圍．
15．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，
①若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)的值；
②若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若，其中，證明：.
16．（2022·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)求證：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
17．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知，
(1)不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；
(2)當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求證：.
18．（2023·陜西商洛·?？既＃┮阎?
(1)若恒有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，證明.
19．（2022·廣東韶關(guān)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.
20（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）證明：（……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
21．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
22．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，若方程有三個(gè)不同的解，求a的取值范圍.
23．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，求證：
(1)存在唯一零點(diǎn)；
(2)不等式恒成立．
24．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點(diǎn)．
(1)求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在x軸上的截距；
(2)求c與a的函數(shù)關(guān)系；
(3)當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點(diǎn)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立．求實(shí)數(shù)k的最值．
25（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
26．（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，證明：．
27．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).
(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，證明：.
28．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程的根為、，且，求證：．
29．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，
①證明：；
②方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的最小值，并證明方程有三個(gè)不等實(shí)根；
(2)設(shè)(1)中方程的三根分別為，，且，證明：．

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