考法一 體積與表面積
【例1-1】（2023·山東威海·統(tǒng)考一模）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，O是底面ABCD的中心，若異面直線(xiàn)OB1與CC1所成角的余弦值為，則該四棱臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．12B．
C．D．9
考法二 平行與垂直
【例2-1】（2023云南）設(shè)是兩不同的直線(xiàn)，是兩不同的平面，則下列命題正確的是
A．若，，，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【例2-2】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【例2-3】（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)平面
B．直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，直線(xiàn)平面
C．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，直線(xiàn)平面
D．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，直線(xiàn)平面
【例2-4】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法三 空間角
【例3-1】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，平面ABC，且，，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與PC所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知正方體，則（ ）
A．直線(xiàn)與所成的角為B．直線(xiàn)與所成的角為
C．直線(xiàn)與平面所成的角為D．直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為
【例3-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知四棱錐的頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為的球面上，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，則（ ）
A．
B．
C．直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AB所成角的大小為
D．直線(xiàn)PC與平面PAB所成角的大小為
考法四 空間距離
【例4-1】（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_________．
【例4-2】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)FC到平面的距離為_(kāi)_____．
【例4-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模）（多選）長(zhǎng)方體中，，，，則（ ）
A．到平面的距離為
B．到平面的距離為
C．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為
D．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為
考法五 外接球與內(nèi)切球
【例5-1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中， 平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，則該幾何體外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【例5-4】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【例5-5】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
考法六 實(shí)際生活中的應(yīng)用
【例6-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某車(chē)間需要對(duì)一個(gè)圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個(gè)半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計(jì)為（ ）
A． B． C．4D．5
【例6-3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）盲盒是一種深受大眾喜愛(ài)的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠(chǎng)商準(zhǔn)備將棱長(zhǎng)為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長(zhǎng)最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（ ）
A．B．C．D．
【例6-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）糧食是關(guān)系國(guó)計(jì)民生和國(guó)家經(jīng)濟(jì)安全的重要戰(zhàn)略物資，也是人民群眾最基本的生活資料，糧食安全是“國(guó)之大者”．如圖為某農(nóng)場(chǎng)的糧倉(cāng)，中間部分可近似看作是圓柱，圓柱的底面直徑為8m，上、下兩部分可以近似看作是完全相同的圓錐，圓柱的高是圓錐高的6倍，且這兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)相距10m，則該糧倉(cāng)的體積約為（ ）
A．B．C．D．
【例6-5】（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱(chēng)為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：
在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【例6-6】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
考法七 截面或軌跡長(zhǎng)度
【例7-1】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）在正方體中，，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)，，作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且，球體O表面上動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【例7-3】（2023·全國(guó)·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知正四棱柱的上下底面的邊長(zhǎng)為3，高為4，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段和上，且滿(mǎn)足，下底面ABCD的中心為點(diǎn)O，點(diǎn)P，Q分別為線(xiàn)段和MN上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【例7-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知點(diǎn)P為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為DD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．過(guò)A1，C1，E三點(diǎn)的平面截該四棱柱所得截面的面積為
B．過(guò)C1，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截該四棱柱所得的截面為五邊形
C．若平面A1C1E，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D．若動(dòng)點(diǎn)P到棱BB1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
考法八 最值問(wèn)題
【例8-1】（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面積為，高為，若圓錐可在某球內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則該球的體積最小值為（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知某長(zhǎng)方體的上底面周長(zhǎng)為16，與該長(zhǎng)方體等體積的一個(gè)圓柱的軸截面是面積為16的正方形，則該長(zhǎng)方體高的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【例8-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例8-4】．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)均在半徑為2的球的O球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐P－ABC的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則（ ）
A．1B．C．D．
【例8-5】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）三棱錐中，平面，．若，，則該三棱錐體積的最大值為（ ）
A．2B．C．1D．.
【例8-6】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2023秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)l是直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
2．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知空間四條直線(xiàn)a，b，m，n和兩個(gè)平面，滿(mǎn)足，，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若且，則
C．若且，則
D．若且，則
4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
6（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（ ）
A．B．AB與平面所成的角為
C．D．與平面所成的角為
7．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱(chēng)之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知直線(xiàn)a，b與平面α，β，γ，能使的充分條件是（ ）
A．，，B．，
C．，D．，，
9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線(xiàn)段上，有下列四個(gè)結(jié)論：
①；
②點(diǎn)到平面的距離為；
③二面角的余弦值為；
④若四面體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為.
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的外接球體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
12（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，，，，，分別是，， 的中點(diǎn)，則下面說(shuō)法中正確的有（ ）
A．平面
B．
C．直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為
D．點(diǎn)到平面的距離為
13．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B．平面平面ABN
C．直線(xiàn)GB與AM是異面直線(xiàn)D．直線(xiàn)GB與平面AMD無(wú)公共點(diǎn)
14．（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）已知球O的半徑為2，圓錐內(nèi)接于球O，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱柱的棱長(zhǎng)都相等，為棱的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·陜西咸陽(yáng)·校考一模）如圖，中，，為的中點(diǎn)，將沿折疊成三棱錐，則該棱錐體積最大值為（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點(diǎn)為G，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是矩形，，分別是棱 的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·四川·校聯(lián)考一模）四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，則該四棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．4C．D．8
21．（2023·四川·校聯(lián)考一模）在長(zhǎng)方體中，已知異面直線(xiàn)與，與AB所成角的大小分別為和，則直線(xiàn)和平面所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類(lèi)似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）沙漏是我國(guó)古代的一種計(jì)時(shí)工具，是用兩個(gè)完全相同的圓錐頂對(duì)頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個(gè)圓錐中裝滿(mǎn)沙子，放在上方，沙子就從頂點(diǎn)處漏到另一個(gè)圓錐中，假定沙子漏下來(lái)的速度是恒定的．已知一個(gè)沙漏中沙子全部從一個(gè)圓錐中漏到另一個(gè)圓錐中需用時(shí)1小時(shí)．當(dāng)上方圓錐中沙子的高度漏至一半時(shí)，所需時(shí)間為（ ）
A．小時(shí)B．小時(shí)C．小時(shí)D．小時(shí)
24．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A．23B．24C．26D．27
27．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）三棱錐中，點(diǎn)A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，點(diǎn)D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，，則此三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線(xiàn)段
B．存在Q點(diǎn)，使得平面
C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大
D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
29．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┍砻娣e為的球內(nèi)有一內(nèi)接四面體，其中平面平面，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則四面體PABC體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
31（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點(diǎn)，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知長(zhǎng)方體中，點(diǎn)P，Q，M，N分別是棱AB，BC，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
34．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，在正方體中，E?F?G分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．與所成角為
C．D．平面
35．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）（多選）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則（ ）
A．平面
B．直線(xiàn)平面所成角為45°
C．三棱錐的體積是正方體體積的
D．點(diǎn)到平面的距離為
36．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（ ）
A．B．
C．D．
37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，在正方體中，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．平面B．平面
C．異面直線(xiàn)與所成的角為60°D．直線(xiàn)與平面ABCD所成角的正弦值為
38．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在長(zhǎng)方體中，直線(xiàn)與平面、平面所成的角均為，則（ ）
A．
B．
C．直線(xiàn)與平面所成的角為
D．直線(xiàn)與所成的角為
39．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．CD⊥A1DB．平面A1DC⊥平面ABB1A1
C．平面A1BC1D．
40．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
41．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的有（ ）
A．B．平面
C．與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為2
42．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）（多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P滿(mǎn)足，，，則( )
A．當(dāng)時(shí)，的最小值為
B．當(dāng)時(shí)，有且僅有一點(diǎn)P滿(mǎn)足
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一點(diǎn)P滿(mǎn)足到直線(xiàn)的距離與到平面ABCD的距離相等
D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AP與所成角的大小為定值
43．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）（多選）已知平面平面，B，D是l上兩點(diǎn)，直線(xiàn)且，直線(xiàn)且．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有（ ）
A．若，，且，則ABCD是平行四邊形
B．若M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，則
C．若，，，則CD在上的射影是BD
D．直線(xiàn)AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等
44．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）折扇在我國(guó)已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫(huà)的形式集中體現(xiàn)了我國(guó)文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺(tái)（ ）
A．高為B．表面積為
C．體積為D．上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為
45．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）（多選）三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．球心O在三棱錐的外部
C．球心O到底面ABC的距離為2D．球O的體積為
46．（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，垂足為點(diǎn)O，，E為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．平面
C．平面平面D．平面平面
47．（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）（多選）已知正方體過(guò)對(duì)角線(xiàn)作平面交棱于點(diǎn)，交棱于點(diǎn)F，則（ ）
A．平面分正方體所得兩部分的體積相等
B．四邊形一定是菱形
C．四邊形的面積有最大值也有最小值
D．平面與平面始終垂直
48（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
49．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）（多選）棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面記為平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．平面截正方體外接球所得圓的面積為
D．正方體的表面上與點(diǎn)E的距離為的點(diǎn)形成的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度為
50．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）（多選）如圖，正四棱柱中，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，且.則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)平面
B．當(dāng)時(shí)，的最小值為
C．若直線(xiàn)與所成角為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為
D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球半徑的取值范圍是
51．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線(xiàn)是異面直線(xiàn)B．平面截正方體所得截面的面積為
C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為
52．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面
53．（2023·全國(guó)·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中，其邊長(zhǎng)分別為3，4，5，分別以它的邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積之和為_(kāi)_____．
54．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，是面積為的正三角形，平面平面，若三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)_____．
55．（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P在平面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)_____.
56．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）正三棱錐的高為為中點(diǎn)，過(guò)作與棱平行的平面，將三棱錐分為上下兩部分，設(shè)上?下兩部分的體積分別為，則__________.
57．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在半徑為1的球中作一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_________.
58．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則下列命題中正確的序號(hào)為_(kāi)_________.
①與共面；
②三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)；
③當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為；
④時(shí)，.
59．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，是等邊三角形，，在該三棱柱的外接球內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)在三棱柱內(nèi)的概率為_(kāi)____________.
60．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體ABCD中，，，．若四面體ABCD的體積為，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為_(kāi)_____．
61（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）設(shè)棱錐的底面為正方形，且，，如果的面積為1，則能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為_(kāi)__________.
62．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的表面積為_(kāi)_____．

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