考法一 數(shù)列常規(guī)方法
【例1-1】（2022·陜西）已知等比數(shù)列的前n項和為．
(1)求實數(shù)k的值，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)令，設(shè)為數(shù)列的前n項和，求．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
因為是等比數(shù)列，
所以，即，解得．
綜上，k的值為4，數(shù)列的通項公式為．
(2)因為，
所以
．
【例1-2】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因為，所以，
，…，所以．
又，所以，所以．又，也符合上式，所以．
(2)結(jié)合（1）得，所以
，①
，②
①②，得，所以．
【例1-3】（2022·湖北）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．
(1)求出，的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．
【答案】(1)，；(2)證明見解析
【解析】(1)由，得．又，
則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，
∴，，…，，累加得，
∴．
數(shù)列滿足，①
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，②
由①－②可得，當(dāng)時，也符合上式，故數(shù)列的通項公式為．
(2)由（1）可得，
則
，故成立．
【例1-4】（2022·全國1卷高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)(2)見解析
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
考法二 裂項相消大合集
【例2-1】（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為Sn，，，且
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5
【解析】(1)由題意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），
又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差為2的等差數(shù)列，則an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；
由題知，則
由得，解得，所以n的最大值為5．
【例2-2】（2022·廣東·佛山市）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.
【答案】(1)；
(2)，證明見解析.
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項是.由，可得.
由，可得，所以，所以；
(2)證明：因為，
所以.
又，所以.
【例2-3】（2022·遼寧）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡得，
即，所以．
(2)由（1）得，所以
所以..
【例2-4】（2022·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)正項數(shù)列的前項和為且，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因為，當(dāng)，且時，
，所以，
則是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，
即，所以，
所以；
(2)解：由（1）可得，
所以．
【例2-5】（2022·安徽·）在①，，成等比數(shù)列，②，③中選出兩個作為已知條件，補充在下面問題中，并作答．
設(shè)為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和，已知___．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).
【解析】(1)若選①②作為條件，
設(shè)|的公差為d，由成等比數(shù)列可知，所以，
整理得． 由得，整理得，
當(dāng)時，不合題意，
所以，則，解得，故．
若選①③作為條件．
設(shè)的公差為d，
由成等比數(shù)列可知，
所以
整理得．
由得，
整理得，
所以，解得或，
當(dāng)時，，不合題意，
所以，則，
故；
若選②③作為條件．
設(shè)的公差為d，
由得，
整理得，
由得，
整理得，
由兩式聯(lián)立得，
故；
(2)由（1）得，
所以，
故數(shù)列的前n項和
．
【例2-6】（2022·浙江金華·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，其中為等差數(shù)列，且滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：
【答案】(1)，(2)證明見解析
【解析】(1)由數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，
當(dāng)時，可得，即，解得；
因為是等差數(shù)列，所以，
所以，所以，
所以
所以.
(2)由（1）得，
所以
.
【例2-7】（2022·浙江·三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，數(shù)列滿足，，其中．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由得，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，作差得，
即，則，
因此，所以，又滿足．
所以，對任意的，，
所以，則，
所以，當(dāng)時，，
也滿足，
所以，對任意的，.
(2)由（1）知，
所以.
【例2-8】（2022·天津南開）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)（）；（）
(2)（）
【解析】（1）或，
又，則，∴（）．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，，
即，所以（）．
（2）由（1）知，則
∴
故（）.
考法三 分段數(shù)列
【例3-1】（2022·江蘇南通）已知數(shù)列滿足：
(1)求的值；
(2)設(shè)，求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由題意得：.
因為，所以是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，
所以.
因為，所以，所以，
所以是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以
綜上所述：數(shù)列的通項公式為.
【例3-2】（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項和為，且滿足
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)由題：，
∵，即得：，即
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，兩式相減整理得，
即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列∴
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，
當(dāng)n為偶數(shù)時，
，
兩式相減得：
得：
【例3-3】（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．
(1)求和的通項公式；
(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)（）；（）
(2)（）
(3)（）
【解析】（1）或，
又，則，∴（）．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，，
即，所以（）．
（2）解：時，，
∴
．
時，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
（3）由（1）知，則
∴
故（）.
考法四 插項數(shù)列
【例4-1】（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值．
【答案】(1)；(2)142.
【解析】(1)設(shè)的公差為d，由已知，．
解得，d＝2．所以；
(2)因為與之間插入個1，
所以在中對應(yīng)的項數(shù)為
，
當(dāng)k＝6時，，當(dāng)k＝7時，，
所以，，且．
因此
.
【例4-2】（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，.
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項和.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)證明：因為時，，
則，
即，，·
因為，·
則?????????①，
所以?????????②，
則①②得，
即，·
所以為等差數(shù)列.
(2)由（1）可得的首項為，公差為，所以，
所以，
所以，則，
記的前n項和為，
則?????????①，
所以?????????②，
則①②得，·
所以，·
所以.·
【例4-3】（2022·廣東汕頭·三模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項和為，滿足．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項的和．
【答案】(1)，(2)11522
【解析】(1)由得：
∵是首項，公差為2的等差數(shù)列∴
又當(dāng)時，得
當(dāng)，由…①…②由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故；
(2)依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項：，，……，，含有數(shù)列的前41項：，，，……，；∴．
考法五 數(shù)列中存在性問題
【例5-1】．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，所以，
所以，又，所以，所以，所以，
（2）因為，，成等比數(shù)列，
所以，，
，由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對于任意的恒成立，
所以對于任意的恒成立，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，由，可得
當(dāng)時，，
又所以
【例5-2】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列，其前n項和，滿足.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達式；
(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.
【答案】(1)證明見解析，
(2)不存在，理由見解析
【解析】（1）中令得：，
故正項數(shù)列中，，即，
當(dāng)時，，即，
整理得，又，
因此，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
則，因為是正項數(shù)列，即，所以.
當(dāng)時，，又滿足此式，
即，都有；
（2）不存在，理由如下：
由（1）中可得：，
假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列，
則，即，
兩邊平方，得，即，
整理得：，即，顯然不成立，因此假設(shè)是錯誤的，
所以數(shù)列中不存在使構(gòu)成等差數(shù)列的連續(xù)三項
考法六 數(shù)列與概率綜合
【例6-1】（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計劃．已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是．一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為．
(1)求；
(2)證明：為等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前n項和，并說明的實際意義．
【答案】(1)(2)證明見解析
(3)；實際意義見解析
【解析】(1)由題意得
(2)由題意得，，
所以
又，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
(3)由（2）知，所以
從而
由于可以理解為第次航班平均被熔斷的次數(shù)，所以表示前次航班一共被熔斷的次數(shù)．
【例6-2】（2023四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．
①試證明：為等比數(shù)列；
②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?br>【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)①證明見解析 ；②
【解析】（1）方法一：的所有可能取值為，
在一次撲球中，撲到點球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，
門將在前三次撲到點球的個數(shù)可能的取值為，易知，
所以，
故的分布列為：
所以的期望．
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
則當(dāng)時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，
則，
即，又，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列．
②由①可知，所以，
所以，故．
考法七 數(shù)列與三角函數(shù)綜合
【例7-1】（2022·安徽）已知函數(shù)的最小正周期為6．
(1)已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求數(shù)列的前2022項和．
【答案】(1)2；(2).
【解析】(1)，
因為的最小正周期為6，故可得，，解得，故，
因為，，故可得，又，則，；
因為，故可得，又，則或，或，
因為，則，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意，舍去；
由正弦定理可得：.
(2)
根據(jù)（1）中所求可得：，
故
.
即數(shù)列的前2022項和.
【例7-2】（2022·河南）已知數(shù)列{}滿足
(1)求數(shù)列{}的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和，并求的最大值.
【答案】(1)
(2)，最大值
【解析】(1)由得，又，所以，由得
從而，因此數(shù)列和數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差都等于.
所以即當(dāng)n為奇數(shù)時，；
即當(dāng)n為偶數(shù)時，
綜上，數(shù)列{}的通項公式為
(2)由（1）可得
所以
當(dāng)n為奇數(shù)時，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，且隨著n的增大，在減小，
所以當(dāng)時，取得最大值.
【例7-3】（2022·安徽）已知函數(shù)，
(1)求的解析式，并求其單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上的根按從小到大的順序依次記為求數(shù)列的通項公式及其前n項和．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由題意得，，
則，
，解得Z)，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為Z，
(2)由，得，
有或Z，
解得或，Z，
得方程的根從小到大排列依次為
，
所以
則數(shù)列的通項公式為，
故數(shù)列的偶數(shù)項是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
奇數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
綜上，.
考法八 數(shù)列與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合
【例8-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列中是否存在最大項與最小項？若存在，求出最大項與最小項；若不存在，說明理由.
【答案】(1)；
(2)最大項，最小項.
【解析】（1）因為當(dāng)時，，所以，
令，則，，又，所以，，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項為2，
所以，所以.
（2）由（1）知，得，
，
當(dāng)時，，，即；
當(dāng)時，，，即，
所以數(shù)列是先增后減，最大項為，
因為當(dāng)時，且數(shù)列是單調(diào)遞增；當(dāng)時，
所以數(shù)列的最小項為．
【例8-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列對于任意的均有；數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令 ，為數(shù)列的前n項和，且恒成立，求λ的最大值.
【答案】(1)，.
(2)10
【解析】（1）因為①,
當(dāng)時，；
當(dāng)時，②.,
①-②可得,
所以時.
經(jīng)檢驗，符合上式，所以.
對于{}，由題意可得，，當(dāng)，所以，
時，，則，
即，，因為，所以，
所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
則，
恒成立，等價于，
化簡得，即即可.
令，
若，則，
即時，數(shù)列單調(diào)遞增；又因為，所以，
即，可得的最大值為10.
【例8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)與數(shù)列滿足，其中是方程的實數(shù)根，滿足可導(dǎo)，且.
(1)證明：；
(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)單調(diào)減數(shù)列，證明見解析
【解析】（1）由是方程的實數(shù)根，則，由，則單調(diào)遞增，
由，則，， 以此類推，對于任意，都有.
（2）由，則令，求導(dǎo)可得，
即函數(shù)單調(diào)遞減，
由（1）可知當(dāng)時，，則當(dāng)時，，
由（1）可知，則，即數(shù)列單調(diào)遞減.
1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由題意知，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，由，，得，
即，
所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列.
所以.
（2）解：由題意知，，
所以


，
所以.
2．（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個數(shù)字（其中任意兩個數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項.
(1)求數(shù)列的通項公式，并求的前項和；
(2)若，記的前項和，求證.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【解析】（1）解：由題意，選出3個數(shù)字組成的等差數(shù)列的前三項為：，，，
所以，，
所以.
（2）證明：
.
因為，所以，
所以
3．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，，．
(1)求的取值范圍；
(2)記是在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前m項和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）因為，，即，
所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，
所以，
同理可得，
所以；
（2）因為，設(shè)，則，
又，是連續(xù)六個正整數(shù)構(gòu)成的集合，
則對于給定的m，數(shù)列恰有兩項屬于集合，即，
故．
4．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足，，且，．
(1)若為等比數(shù)列，求值；
(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)或
(2)
【解析】(1)由題
∵為等比數(shù)列，設(shè)公比為q
則
∴，
∴，即，解得或
當(dāng)時，，即
又，
∴成以3為首項，以為公比的等比數(shù)列
當(dāng)時，即
又，
∴成以3為首項，以1為公比的等比數(shù)列
綜上：或
(2)由（1）得，
∴
∴
5．（2022·廣東廣州·一模）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
(1)寫出，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，，，
(2)
【解析】
【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義和表格中數(shù)據(jù)，得到，，，
即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故.
(2)因為
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，
綜上所述，
6．（2022·廣東茂名·一模）已知數(shù)列，滿足，，且，
(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列，的通項公式．
【答案】(1)，，證明見解析
(2)，
【解析】(1)∵∴，.
∵，∴＝
∴
∴是為首項，為公比的等比數(shù)列
(2)由（1）知是為首項，為公比的等比數(shù)列.
∴，∴
∵，∴
∴當(dāng)時，
.
當(dāng)時，也適合上式
所以數(shù)列的通項公式為
數(shù)列的通項公式為.
7（2022·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，是的前n項和．
(1)求；
(2)若為數(shù)列的前n項和，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】(1)∵，∴，，…．
由上述個等式相加得，∴，
∴，；
(2)，
，
∴.
9．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)在與之間插入個2，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前110項的和.
【答案】(1)(2)244
【解析】（1）設(shè)公差為，，由題意得，
化簡得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知在與之間插入個2，所以當(dāng)忽略數(shù)列中的項，則當(dāng)有次插入新數(shù)，共有個項，
當(dāng)時，有62個數(shù)；
當(dāng)時，共有126個數(shù)，所以110項應(yīng)該介于和之間，即，
表示共有104個2和原先中前6項之和，
所以.
10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，
又，化簡得．則，，
所以的通項公式為．
（2）因為與之間插入，所以在數(shù)列中有10項來自，10項來自，
所以．
11．（2022·河南）已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前n項和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】(1)當(dāng)時，，即.
當(dāng)時，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以數(shù)列為常數(shù)列，
所以，即.
(2)證明：由（1）得，
所以，
.
12．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記正項數(shù)列的前n項積為，且．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前2n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）由題意得，又，
所以，即，所以．
當(dāng)n＝1時，，所以，解得＝3，
故是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，，
所以，
所以．
13．（2023·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）某校為了合理配置校本課程資源，教務(wù)部門對學(xué)生們進行了問卷調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計，其中的學(xué)生計劃只選擇校本課程一，另外的學(xué)生計劃既選擇校本課程一又選擇校本課程二．每位學(xué)生若只選擇校本課程一，則記1分；若既選擇校本課程一又選擇校本課程二，則記2分．假設(shè)每位選擇校本課程一的學(xué)生是否計劃選擇校本課程二相互獨立，視頻率為概率．
(1)從學(xué)生中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)從學(xué)生中隨機抽取n人，記這n人的合計得分恰為分的概率為，求．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【解析】（1）由題意知，每位學(xué)生計劃不選擇校本課程二的概率為，
選擇校本課程二的概率為，
則X的可能取值為3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
所以．
（2）因為這n人的合計得分為分，則其中只有1人計劃選擇校本課程二，
所以，
設(shè)，
則，
由兩式相減得，
即，
所以.
14．（2023江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）在下面兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.①；②.已知為數(shù)列的前項和，滿足，，______.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【解析】（1）解：選①，當(dāng)時，則有，即，解得；
對任意的，因為，則，
故，即，
因，，所以為定值，
故數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，
所以.
選②，因為，故，
所以，故數(shù)列是常數(shù)列，
所以，故.
（2）解：知，，故，
對任意的，，
所以，即為數(shù)列的前項和，
因為，故數(shù)列為等差數(shù)列，
所以.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，，且數(shù)列是等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2).
【解析】（1）因為，，所以，
所以數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以.
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，也滿足上式，所以.
（2）由（1）知，，
當(dāng)，時，
，
當(dāng)，時，
.
所以.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項和為，數(shù)列滿足，求證：
(1)數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)數(shù)列中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，
所以數(shù)列的公差為，，
則，又，
，故數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）證明：假設(shè)數(shù)列中存在不同三項構(gòu)成等比數(shù)列，
不妨設(shè)、、（、、均不相等）成等比數(shù)列，即，
由數(shù)列的通項公式可得，
將此式展開可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化簡整理得，，與假設(shè)矛盾，
故數(shù)列中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列.
17．（2023河南）已知是數(shù)列的前項和，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式
(2)記數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出實數(shù)的值若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【解析】（1）因為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則，因此，
當(dāng)時，，則有，
因此，即，數(shù)列是常數(shù)列，有，
所以數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）知，，
則，
于是得，
兩式相減得：，
因此，
有，，，若數(shù)列成等差數(shù)列，則，解得，
當(dāng)時，，則，從而數(shù)列成等差數(shù)列，
所以存在，使得數(shù)列成等差數(shù)列．
18（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）時，；
時，，
，作差得，整理得，，故為等比數(shù)列，
（2）由（1）得，，，
在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，
得，，
，設(shè)為數(shù)列的前項和，
，
，
作差得，
，
19．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是首項為0的遞增數(shù)列，前n項和為滿足（，）．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)（，），對任意的正整數(shù)k，將集合{，，}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）由，
當(dāng)時，則，化簡得，
∵數(shù)列（）是嚴格遞增數(shù)列，所以，
∴，
故數(shù)列是首項為0，公差的等差數(shù)列，則.
（2）由（1）可知（，），則，，，
∵，且，
即，且，則，，排成一個遞增的等差數(shù)列，
所以，滿足為常數(shù)，
所以數(shù)列為等比數(shù)列.
20．（2023河南南陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，是其前n項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的最大項．
【答案】(1)
(2)最大項為
【解析】（1）當(dāng) 時，，解得：或，
因為，故．
因為，所以，
即 ，解得 或 ，
又，即可得．
（2）由（1）知，，故，
∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng) 時，，
故數(shù)列的最大項為．
21．（2023春·河南鄭州·高三鄭州四中?？茧A段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由兩式相減得，
，故，
當(dāng)時，且，故，得（舍去），
，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以.
（2），
，
22．（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的周期為圖象的一條對稱軸為，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)解析式；
(2)若數(shù)列，試求其前項和為.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）函數(shù)周期為，所以，
因為該圖象的一條對稱軸為，所以，得，
又因為，解得，故，
將函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）后，
得到的圖象，再將的圖象向左平移個單位后，
得到函數(shù)，故.
（2）因為，.
，
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
綜上所述，.
23．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)數(shù)列與中的所有項分別構(gòu)成集合，，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前20項和
【答案】(1)，
(2)270
【解析】（1）∵數(shù)列為等差數(shù)列，且，,
∴，即，∴，即,
∵數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴,
即.
（2）由（1）知，∴數(shù)列的元素是由數(shù)列中去除數(shù)列
∴數(shù)列中去掉2，4，8，16，
,.
24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足．
(1)證明：對一切正整數(shù)n成立；
(2)令，判斷數(shù)列單調(diào)性．
【答案】(1)證明見解析
(2)單調(diào)遞減，理由見解析
【解析】（1）當(dāng)時，，
假設(shè)時，成立，
則當(dāng)時有，
∴成立，
綜上，由數(shù)學(xué)歸納法知對一切正整數(shù)n成立；
（2）由，
∴
∴數(shù)列單調(diào)遞減．
25．（2023·高三課時練習(xí)）若數(shù)列滿足．
(1)求，，及的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前n項和為．
①求；
②對于任意正整數(shù)n，均有恒成立，求m的最小值．
【答案】(1)；；，
(2)①；②最小值是．
【解析】（1）取n＝1時，由，得；
取n＝2時，由，得；
取n＝3時，由，得．
當(dāng)時，由，得，
兩式相減得，整理得；
當(dāng)n＝1時，也適合上式．綜上，．
（2）①由（1）知，得
，，
兩式相減得，
整理得．
②由題意對于任意正整數(shù)n，均有恒成立，則，即恒成立．
設(shè)，由，則
當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．
于是的最大值為，所以，即m的最小值是．
26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和記為，且數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由和已知條件得（），
從而，即.
∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，∴，
，
兩式相減得，由數(shù)列的各項均為正數(shù)，知，
由，由，解得，
于是，從而數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，故.
（2）數(shù)列是遞增數(shù)列，則，
對恒成立，
于是對恒成立，
而單調(diào)遞增，，.
27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列成等差數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項和．
(3)若對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
(3)或
【解析】（1）證明：由題意知，．
∵，∴，，
∴，
∴數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列.．
（2）解：由（1）可得，則，．
∴，
于是，
兩式相減得：
，
∴．
（3）解：∵，．
∴當(dāng)時，．當(dāng)時，，即．
∴當(dāng)或2時，取最大值．
又對一切正整數(shù)n恒成立，∴，
即，得或．
28．（2023遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項和分別為，且分別滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項公式.
(2)將數(shù)列，的各項按，，，…，順序排列組成數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時，
【解析】（1）由條件： 知：
，
，
當(dāng) 時， 符合，
所以；
， 是等比數(shù)列，
又 ；
（2）當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時，
；
當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， .
29．（2023秋·天津北辰·高三?？计谀┮阎獮榈炔顢?shù)列，為等比數(shù)列，．
(1)求和的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和；
(3)記．是否存在實數(shù)，使得對任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)見解析
【解析】（1）若的公差為，結(jié)合題設(shè)可得：，又，故，
∴，
若的公比為且，結(jié)合題設(shè)可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上兩式相減，得：，
∴.
（3）由題設(shè)，，要使任意恒有，
∴，則恒成立
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，而，故當(dāng)且時，存在使其成立；
當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，而，故當(dāng)且時，存在使其成立；
綜上，存在實數(shù)，使得對任意的，恒有.
30．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且為等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
【解析】（1）由題設(shè)且，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，則；
由，故，
所以是首項、公差均為1的等差數(shù)列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，則，
若，即，則，
在上，遞增，上，遞減，
所以在有最大值，又，
對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
綜上，，故存在或使恒成立.0
1
2
3
0
1
2
3
第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8
第一列
第二列
第三列
第一列
3
2
3
第二列
4
6
5
第三列
9
12
8
X
3
4
5
6
P

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