一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)一元二次方程求出集合，最后根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.
【詳解】解：由，即，解得，所以，
由，即，解得，所以，
所以
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】，
所以z的共軛復(fù)數(shù)為，
故選：B.
3. 采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過(guò)對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國(guó)2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為（）
A. 2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮
B. 2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張
C. 2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮
D. 2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到答案.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，且在2022年6月PMI超過(guò)，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
4. 人們用分貝(dB)來(lái)劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)d(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度(單位:)滿足d(x)＝9lg.一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為54 dB，在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級(jí)約為63 dB，那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（）
A. 1倍B. 10倍
C. 100倍D. 1 000倍
【答案】B
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.
【詳解】設(shè)老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度，一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，
根據(jù)題意得＝，解得，，解得，所以
因此，老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍.
故選: B.
5. 已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算，再考慮和兩種情況，得到傾斜角范圍.
【詳解】，則，
設(shè)直線的傾斜角為，故，
所以當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角；
當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角；
綜上所述：直線的傾斜角
故選：B
6. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦的和差公式對(duì)原式進(jìn)行展開(kāi)，平方后再利用，，去進(jìn)行整理可得.
【詳解】因?yàn)?，所以，平方后可得，整理得，所?
故選：D.
7. 若，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷a,b,c的范圍，即可比較大小，可得答案.
【詳解】由函數(shù)為增函數(shù)可知，
由為增函數(shù)可得，由由為增函數(shù)可得，
，
，
故選:D
8. 設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.
詳解】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.
9. 若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.
【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，
即，與函數(shù)的圖像重合
即，
故
∴，
所以的最小值為.
故選：B.
10. 已知某校高三（1）班有8位同學(xué)特別優(yōu)秀，從他們中隨機(jī)選取若干位參加市里舉辦的百科知識(shí)競(jìng)賽，選取的方法是，由班主任和教務(wù)主任兩位老師各隨機(jī)給其中4位同學(xué)投票，被兩位老師都投票的同學(xué)參加競(jìng)賽，則恰有3人參加競(jìng)賽的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出兩位老師每人從8人中選4人的情況，再分步考慮恰有3人參加競(jìng)賽的情況即可求出.
【詳解】由題，兩位老師每人從8人中選4人，共有種，
恰有3人參加競(jìng)賽，則先從8人中選3人，則一位老師從剩下的5人中選1人，另一位老師再?gòu)氖Ｏ碌?人中選一人，則共有種，
所以恰有3人參加競(jìng)賽的概率為.
故選：A
11. 如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在上底面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐外接球表面積的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.
【詳解】因?yàn)闉榈妊苯侨切?，?br>所以的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，則平面，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得在上，
設(shè)，，外接球的半徑為，
因?yàn)?，所以?br>即，又，則，
因?yàn)?，所?br>所以三棱錐外接球表面積的最大值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)幾何體的外接球半徑求法：
（1）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球半徑為；
（2）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，則其外接球的半徑為；
（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球的半徑為.
12. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)作與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若三角形（為原點(diǎn)）的面積，則雙曲線的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，聯(lián)立直線與漸近線方程得出的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與準(zhǔn)線方程得出的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積得出，再結(jié)合，，可解得結(jié)果.
【詳解】由得，所以，
所以直線，拋物線的準(zhǔn)線為：，
聯(lián)立可得，所以，
聯(lián)立可得，所以，
所以，
所以，所以，即，
又，，
所以，所以，所以，
所以雙曲線的方程為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了三角形的面積，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
第II卷非選擇題（90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 若直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行得到，解得，再代入檢驗(yàn)即可；
【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，直線與，兩條直線重合，故舍去.
當(dāng)時(shí)，直線與，符合題意.
故答案為：
14. 若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，則正整數(shù)n的值為_(kāi)__________.
【答案】4
【解析】
【分析】由題可得，然后利用通項(xiàng)公式即得.
【詳解】∵，
∴其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，
故n為偶數(shù)，解得.
故答案為：4.
15. 已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______________________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)有，列方程求參數(shù)a即可.
【詳解】由題設(shè)，
所以，可得.
故答案為：1
16. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的有__________.
①存在點(diǎn)，使得平面平面；
②分別是在平面，平面上的正投影圖形的面積，存在點(diǎn)，使得；
③對(duì)任意的點(diǎn)，都有；
④對(duì)任意的點(diǎn)的面積都不等于.
【答案】①②③
【解析】
【分析】當(dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷①正確；設(shè)根據(jù)面積可解得即可判斷②正確；利用線面垂直判定定理可證明當(dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)滿足，可得③正確，由③可知當(dāng)點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，的面積等于，即④錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，連接，如下圖所示：
由正方體性質(zhì)可得，平面，平面，
所以可得平面，
同理可平面，又，且平面，
所以可得平面平面，
當(dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)，有平面，即①正確；
對(duì)于②，設(shè)，
則在平面上的正投影圖形的面積為，
在平面上的正投影圖形的面積與在平面上的的面積相等，
即，
若，則可得，解得或，
又因?yàn)椋钥傻?，故存在點(diǎn)，使得，即②正確；
對(duì)于③，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，如下圖所示：
由正方形性質(zhì)可知，，且，
又，平面，所以平面；
又，所以平面，可得，
由的中點(diǎn)為，所以可得即為線段的垂直平分線，
可知，即③正確；
對(duì)于④，利用正方體性質(zhì)可得平面平面,所以；
同理可得平面,平面,所以；
又，所以平面，
易知平面，所以；
結(jié)合③的結(jié)論即可得即為和的公垂線，即的高的最小值即為，
易知，，可得，
所以此時(shí)，即，
即的面積，
即當(dāng)點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，的面積等于，即④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理立體幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，往往利用面面平行、線面垂直等判定定理首先確定滿足條件的動(dòng)點(diǎn)位置，再利用幾何體性質(zhì)驗(yàn)證是否符合題意，即可求出最值或范圍等問(wèn)題.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 已知函數(shù)
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）三角形的三邊a，b，c滿足，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用倍角公式以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)余弦定理可求得，便可知取值范圍從而求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：
的單調(diào)遞增區(qū)間：
【小問(wèn)2詳解】
由可知
由余弦定理得：
故可知
∴
又
∴．
18. 2021年7月24日中華人民共和國(guó)教育部正式發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，簡(jiǎn)稱“雙減”政策.某校為了解該校小學(xué)生在“雙減”政策下課外活動(dòng)的時(shí)間，隨機(jī)抽查了40名小學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們參加課外活動(dòng)的時(shí)間，并繪制了如下的頻率分布直方圖.如圖所示.
（1）由頻率分布直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：課外活動(dòng)時(shí)間t（分鐘）服從正態(tài)分布，其中為課外活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù).用頻率估計(jì)概率，在該校隨機(jī)抽取5名學(xué)生，記課外活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.1）.
參考數(shù)據(jù)：當(dāng)X服從正態(tài)分布時(shí)，，，.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)頻率直方圖中位數(shù)、平均數(shù)的求法直接計(jì)算即可；
(2)利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求出，進(jìn)而結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)求出即可.
【小問(wèn)1詳解】
由圖可知該組數(shù)據(jù)中位數(shù)位于第四組，設(shè)中位數(shù)為x，
則，解得，
平均數(shù)為：；
【小問(wèn)2詳解】
，，
，，
，
由題意知：
19. 如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，是菱形，分別是的中點(diǎn)，，．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】(1)由平面平面可得平面，從而，所以平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面平面?br>平面平面，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，
因?yàn)?，所以平?br>【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且?br>所以為正三角形，所以，因?yàn)?，所以?br>所以平面，所以兩兩垂直.
以分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，且，
則，，，，
，.，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，得，求得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，得，求得，
，
，所以二面角的正弦值為.
20. 動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，1)的距離比它到直線的距離小1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作曲線C的切線，且二者相交于點(diǎn)M．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：；
（3）求△ ABM的面積的最小值．
【答案】（1）；
（2）見(jiàn)解析；（3）4．
【解析】
【分析】（1）利用定義判斷出曲線為拋物線；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)分別求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理算出，從而得到，利用向量可以計(jì)算，所以；
（3）利用焦半徑公式和點(diǎn)到直線的距離可以求得，從而求得面積的最小值為．
【小問(wèn)1詳解】
解：由已知，動(dòng)點(diǎn)在直線上方，
條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線距離，
∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
故其方程為．
【小問(wèn)2詳解】
證：設(shè)直線的方程為：，
由得：
，
設(shè)，
則，．
由得：
，
，
∴ 直線的方程為：① ，
直線的方程為：② ，
① －② 消y得：
，
即，
將代入① 得：
，
，
故，
，
．
【小問(wèn)3詳解】
解：由（2）知，點(diǎn)到的距離，
，
，
∴ 當(dāng)時(shí)，的面積有最小值4．
【點(diǎn)睛】形如的拋物線，考慮其切線時(shí)可以利用導(dǎo)數(shù)去討論．
21. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（其中），證明：．
【答案】（1）和
（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知，證明，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)論；
（3）寫出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，根據(jù)題意可知，，則有，要證等價(jià)于證，即證，令，構(gòu)造函數(shù)，證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為和；
【小問(wèn)2詳解】
證明：由（1）知，
因?yàn)?，所以?br>又當(dāng)時(shí)，，，
所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
【小問(wèn)3詳解】
證明：，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（其中），
所以，，
要證等價(jià)于證，
即證，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又，，
作差得，所以，
所以原不等式等價(jià)于要證明，
即，
令，
則上不等式等價(jià)于要證：，
令，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題及極值問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.
（二）選考題，共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）
（1）求圓C的半徑以及圓心的直角坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)直線l上，且在圓C內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍．
【答案】（1）半徑為4，
（2）
【解析】
【分析】（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后可得；
（2）直線參數(shù)方程代入目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線過(guò)圓心可得.
【小問(wèn)1詳解】
由圓C的極坐標(biāo)方程得，
所以圓C的直角坐標(biāo)方程為，即，
所以圓C的半徑為4，圓心為．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，
將代入，得．
根據(jù)直線l的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知，表示直線l上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
又因?yàn)闉閳AC的圓心，
所以，即，即的取值范圍是．
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù)的最小值為.
（1）求的值；
（2）若為正實(shí)數(shù)，且，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由題意，得到函數(shù)，利用分段函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，即可求解；
（2）由（1）可得，實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)，且，代入利用基本不等式即可作出證明.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
綜上可得，函數(shù)的最小值為，所以.
（2）由（1）可得，實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)，且，
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.

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