?四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校2023屆高三二診模擬數(shù)學(xué)（理）試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．集合，集合，則（????）
A． B．
C． D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（????）
A． B．2 C． D．4
3．設(shè)，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（????）
A． B．
C． D．
4．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（????）
A． B． C． D．
5．設(shè)a，，則“”是“”的（????）
A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．如圖是函數(shù)圖像的一部分，設(shè)函數(shù)，，則可以表示為（????）

A． B．
C． D．
7．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（????）
A．6 B．12 C． D．
8．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（????）
A． B． C． D．
9．今年11月，為預(yù)防新冠疫情蔓延，株洲市有，，三個(gè)小區(qū)被隔離；從菜市場(chǎng)出發(fā)的專車(chē)必須每天準(zhǔn)時(shí)到這3個(gè)小區(qū)運(yùn)送蔬菜，以解決小區(qū)居民的日常生活問(wèn)題．，，，之間的行車(chē)距離用表中的數(shù)字表示．若專車(chē)從出發(fā)，每個(gè)小區(qū)經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)一次，然后再返回，那么專車(chē)行駛的最短距離是（????）






0
7
6
3

7
0
5
4

6
5
0
8

3
4
8
0
A．17 B．18 C．23 D．25
10．古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）．如圖，直角梯形，已知，則其重心到的距離為（????）

A． B． C． D．1
11．過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
12．已知，，.其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（????）
A． B． C． D．

二、填空題
13．某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有 ．（若，）
14．若，，則 .
15．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ．
16．我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為 .（參考數(shù)據(jù)：）


三、解答題
17．為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開(kāi)展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，已知所有學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)若此次活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生占參賽總?cè)藬?shù)，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；
(2)采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)不低于80的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人，記成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，E為AB的中點(diǎn)，

（1）證明：平面PCD．
（2）求DA與平面PCE所成角的正弦值.
19．已知數(shù)列中，，.
(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和
20．已知橢圓，A為C的上頂點(diǎn)，過(guò)A的直線l與C交于另一點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)D，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若，求l的方程；
（2）已知P為AB的中點(diǎn)，y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得？若存在，求Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
21．已知，函數(shù).
（Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的值；
（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）
22．坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為，且點(diǎn)在直線上
（Ⅰ）求的值和直線的直角坐標(biāo)方程及的參數(shù)方程；
（Ⅱ）已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線與交于兩點(diǎn)，求的值
23．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，時(shí)，解不等式；
(2)若函數(shù)的最小值是2，證明：．

參考答案：
1．C
【分析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.
【詳解】由得：或，即，
.
故選：C.
2．C
【分析】根據(jù)對(duì)稱性得到，從而計(jì)算出，求出模長(zhǎng).
【詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，其中關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
故，
故.
故選：C
3．C
【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個(gè)非零向量解決.
【詳解】對(duì)于AB項(xiàng)，若時(shí)，，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，若時(shí)，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋忠驗(yàn)楹愠闪?，說(shuō)明與不共線，復(fù)合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.
故選：C
4．D
【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再借助多項(xiàng)式乘法運(yùn)算即可得解.
【詳解】因，于是得展開(kāi)式中的二次為，
所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為9.
故選：D
5．A
【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分必要條件的定義證明即可.
【詳解】在上遞減．若，則，故，充分性成立；若，則，故，故．故必要性成立，即“”是“”的充要條件.
故選：A．
6．D
【分析】根據(jù)圖象特征取特值分析排除.
【詳解】由圖象可得：
，但，故B不符合；
，但，故A不符合；
，但，故C不符合；
故選：D.
7．D
【分析】設(shè)，先得到的值，再代入的余弦定理計(jì)算可得，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可.
【詳解】對(duì)于橢圓有，
設(shè)，
則根據(jù)橢圓的定義得，
又，
解得，
.
故選：D.
8．D
【解析】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，可求出參數(shù)的值,從而得到答案.
【詳解】，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則


由，得，解得.
故.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換，三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬于中檔題.
9．B
【分析】根據(jù)題意，專車(chē)行駛的最短距離應(yīng)該選擇或，再求距離即可.
【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可知，到的距離最大，到的距離次之，
所以，為使行駛距離最短，與之間不能直達(dá)，與之間不能直達(dá)，
所以，專車(chē)行駛的最短距離應(yīng)該選擇或，此時(shí)最短距離為或.
故選：B
10．C
【分析】根據(jù)題意，用式子分別表示出直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)，進(jìn)而求解答案.
【詳解】設(shè)，
直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為
；
梯形的面積，故記重心到的距離為，
則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)為，
則，則，
故選：C.
11．D
【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，得到切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到，設(shè)，計(jì)算函數(shù)的極值，得到答案.
【詳解】，，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，
切線過(guò)點(diǎn)，，整理得到，
方程有三個(gè)不等根.
令，則，令，則或，
當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
極大值，極小值，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，
則，的取值范圍為.
故選：D
12．B
【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，，再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，令，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以，又，
所以，在成立，
所以，即，
所以，即，
令，所以，
因?yàn)椋?，即?br /> 所以在上單調(diào)遞減，
所以，即
令，所以，
因?yàn)椋?，即?br /> 所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，在成立，
令，則上式變?yōu)?，所以，即?br /> 綜上，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.
13．1359株
【分析】由正態(tài)分布及其對(duì)稱性求得，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意，，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得

故株高在的約有株.
故答案為：1359株.
14．
【分析】先通過(guò)以及確定的范圍，進(jìn)而可得，再利用兩角差的余弦公式展開(kāi)計(jì)算即可.
【詳解】,
，又，
若，則，與矛盾，
，
，
.
故答案為：.
15．
【分析】根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，以及當(dāng)時(shí)，等條件求出時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為,進(jìn)而求出時(shí)， ,代入即可求出答案.
【詳解】解：由是定義在上的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
可得時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，
則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，切點(diǎn)為，
則切線的方程為，所以
16．12
【分析】設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為，得到為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，求出，
從而得到去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為，列出不等式，求出答案.
【詳解】設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為，
則，，且每次操作留下的長(zhǎng)度均為上一次操作留下長(zhǎng)度的，
所以為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，故，
所以經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為，
故，即，
兩邊取對(duì)數(shù)得：，
因?yàn)?，所以，則n的最小值為12.
故答案為：12
17．(1)82
(2)分布列見(jiàn)解析，

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先判斷出獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線所在的區(qū)間，設(shè)為，則成績(jī)?cè)诘母怕蕿?.3，列出方程即可得解；
（2）先寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望的計(jì)算公式計(jì)算期望即可.
【詳解】（1）根據(jù)直方圖可知，成績(jī)?cè)诘念l率為，大于0.3，
成績(jī)的頻率為0.1，小于0.2，
因此獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于之間，
設(shè)分?jǐn)?shù)線為，使得成績(jī)?cè)诘母怕蕿?.3，
即，
可得，
所以獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線劃定為82；
（2）成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)有人，
成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，
則的可能取值為0，1，2，
，
，
，
的分布列為

0
1
2




∴數(shù)學(xué)期望．
18．（1）證明見(jiàn)解析（2）
【解析】（1）通過(guò)證明，即可證明線面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求解線面角的正弦值.
【詳解】（1）證明：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，，
所以，
所以，從而.
又，，
所以底面ABCD，所以.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以.
又，所以平面PCD.
（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
所以，，.
設(shè)平面PCE的法向量為，
則，即，
令，得.，
故DA與平面PCE所成角的正弦值為.

【點(diǎn)睛】此題考查證明線面垂直，求直線與平面所成角的正弦值，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直的判定定理，熟記向量法求線面角的方法.
19．(1)是等差數(shù)列，理由見(jiàn)解析
(2)

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求解；
(2)結(jié)合（1）的結(jié)論得出，然后利用錯(cuò)位相減法即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）知：
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，
則，
①，
②，
①②得：

，
則.
20．（1）（2）存在
【解析】（1）對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)顯然不滿足，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，代入弦長(zhǎng)公式求出斜率的值，即可得答案；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，根據(jù)求出，的方程，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，舍去；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，，
聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，
解得或，所以，
所以，化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去），即，
所以.

（2）①，由（1）得，，
所以，又因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以，
即存在定點(diǎn)滿足條件．??
②，則O，P重合，也滿足條件
綜上，存在滿足條件．
【點(diǎn)睛】本題考查直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力等；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）3.
【解析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，得，已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進(jìn)而得解；
（Ⅱ）可通過(guò)必要性探路，當(dāng)時(shí)，由知，又由于，則，當(dāng)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡(jiǎn)得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；
【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)?
易知單調(diào)遞增，由題意有.
令，則.
令得.
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
所以，而又有，因此，所以.
（Ⅱ）由知，又由于，則.
下面證明符合條件.
若.所以.
易知單調(diào)遞增，而，，
因此必存在使得，即.
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
則
.
綜上，的最大值為3.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題
22．（Ⅰ），的直角坐標(biāo)方程為，的參數(shù)方程為：（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）將點(diǎn)的極坐標(biāo)方程代入直線的極坐標(biāo)方程可求出的值，然后將直線方程化為普通方程，確定直線的傾斜角，即可將直線的方程表示為參數(shù)方程的形式；
（Ⅱ）將曲線的參數(shù)方程表示普通方程，然后將（Ⅰ）中直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，并列出韋達(dá)定理，根據(jù)的幾何意義計(jì)算出
和，于是可得出
的值．
【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)，所以；
由得
于是的直角坐標(biāo)方程為；
的參數(shù)方程為：??（t為參數(shù)）?????
（Ⅱ）由： ，
將的參數(shù)方程代入得
，設(shè)該方程的兩根為，由直線的參數(shù)的幾何意義及曲線知，
，??????????????????????

所以．
【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的處理，一般就是將直線的參數(shù)方程與普通方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．
23．(1)
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）直接分、及解不等式即可；
（2）先由絕對(duì)值三角不等式求出，再結(jié)合基本不等式證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，解不等式．
當(dāng)時(shí)不等式化為得，故；
當(dāng)時(shí)不等式化為得，故；
當(dāng)時(shí)不等式化為，故．
綜上可知，不等式的解集為．
（2）易知，
因?yàn)榈淖钚≈凳?且，，所以，
故．
所以

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.

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四川省宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校2020屆高三三診模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析
四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)（理）二診模擬試題（Word版附解析）

四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)（理）二診模擬試題（Word版附解析）
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