本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再按交集的定義求即可.
【詳解】由題意：，所以.
故選：A
2. 命題“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題否定為存在量詞命題易求.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：
命題“，”的否定是，.
故選：D
3. 已知，下列不等式中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】舉反例排除ACD，利用作差法判斷B.
【詳解】因為，則，
對于A，取，則，故A錯誤；
對于B，，則，故B正確；
對于C，取，則，故C錯誤；
對于D，當時，，故D錯誤.
故選：B.
4. 已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函數(shù)的定義域求解即可.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，即，所以，
所以函數(shù)的定義域為，
由，得，所以函數(shù)的定義域為.
故選：B.
5. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是直線，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，解得，
故選：D．
6. Peukert于年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為Peukert常數(shù)．為測算某蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間．若計算時取，則該蓄電池的Peukert常數(shù)大約為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得出，兩個等式相除可得出，利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化可求得的值.
【詳解】由已知可得，上述兩個等式相除可得，
所以，.
故選：C.
7. 關(guān)于的方程有兩個正的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）.
A. B.
CD.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得判別式△、對應的二次函數(shù)滿足，即可求出的范圍．
【詳解】解：方程有兩個實數(shù)根，△，
，
的方程有兩個正的實數(shù)根，對應的二次函數(shù)的開口向上，對稱軸
所以，
可得，
或，
，
故選：．
【點睛】本題考查一元二次方程的根；熟練掌握一元二次方程中判別式確定根的存在，再由兩根都是正數(shù)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．
8. 設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，滿足，
且當時，，
當，時，，
則，
當，時，，
則，
當，時，，
則，
作出函數(shù)的大致圖象，
對任意，都有，設的最大值為，
則，所以，解得或，
結(jié)合圖象知m的最大值為，即的取值范圍是.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先求函數(shù)定義域，再判斷奇偶性，最后得出時函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性可依次解答判定.
【詳解】對于A，函數(shù)定義域為R，
由，可得為偶函數(shù)；
又當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A錯誤；
對于B，定義域為，
由可得為偶函數(shù)；
又由冪函數(shù)性質(zhì)可得在單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C，定義域為，
由可得為偶函數(shù)；
又當時，，
因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以在單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，定義域為R，
由可得為偶函數(shù)；
又當時，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得在單調(diào)遞增，故D正確.
故選：
10. 下列條件中，的必要不充分條件是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)必要不充分條件的基本概念可以得到答案.
【詳解】對于選項A，由不能推出，由可以推出，所以是的必要不充分條件.
對于選項B，由不能推出，由可以推出，所以是的必要不充分條件.
對于選項C，由不能推出，由也不能推出，所以是的既不充分也不必要條件.
對于選項D，由不能推出，由也不能推出，所以是的既不充分也不必要條件.
故選：AB
11. 下列函數(shù)中最大值為1的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式及其成立的條件“①正”，“②定”，“③相等”，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】對于A，，
當且僅當，即或取等號，
所以在或取最小值為1，無最大值，故A不符合題意；
對于B，，
則
，
當且僅當，即取等號，
所以的最大值為1，故B符合題意；
對于C，，則，
當且僅當即取等號，但，
所以的值域為，故C不符合題意；
對于D，，
則，
當且僅當，即取等號，
所以的最大值為1，故D符合題意.
故選：BD
12. 已知函數(shù)定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且時，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 周期為4
B.
C. 在上為減函數(shù)
D. 方程有且僅有四個不同的解
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項，根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)得到，，然后通過替換得到，即可得到的周期為8；B選項，為奇函數(shù)得到，即可得到，然后結(jié)合周期求函數(shù)值即可；C選項，根據(jù)圖象判斷單調(diào)性；D選項，將的解轉(zhuǎn)化為與圖象交點橫坐標，然后結(jié)合圖象判斷即可.
【詳解】
由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，，
則，，
，，，
周期為8，故A錯；
由題可得，，
又，，
∴當，，
，故B正確；
因為，，所以關(guān)于，關(guān)于直線對稱，
又時，由此可得函數(shù)的大致圖象，則在上為減函數(shù)，故C正確；
與圖像交點橫坐標即為的解，由圖可知，兩圖有4個公共點，即方程有4個解，故D正確.
故選：BCD
第II卷非選擇題（90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 計算：______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算、對數(shù)運算計算即得.
【詳解】.
故答案為：
14. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，再由復合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.
【詳解】設，由可得，或，
則函數(shù)，由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而在單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故答案為：
15. 已知，則______________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再將所求轉(zhuǎn)化為齊次分式形式，并用表示，即可求解.
【詳解】因為，則，
原式.
故答案為：
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對于任意的，當時，都有成立，則不等式的解集為__________.（用區(qū)間表示）
【答案】
【解析】
【分析】由題設，令易得為偶函數(shù)，在上遞增，在上遞減，且，討論不同區(qū)間上對應解集，即可得結(jié)果.
【詳解】由為定義在上的奇函數(shù)，則，
令，則對任意，，恒成立，
所以在上遞增，又，定義域為R，
所以為偶函數(shù)，在上遞增，在上遞減，且，
時，，在上，則；在上，則；
綜上，不等式的解集為.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知集合.
（1）求集合A；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分式不等式的解法解不等式，即可得出集合；
（2）由，得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式即可得解.
【小問1詳解】
由有，即，
所以，解得，
所以集合；
【小問2詳解】
因為，所以，
由（1）知，而，顯然，
則有，解得，
即實數(shù)a的取值范圍是.
18. 在平面直角坐標系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點
（1）求的值和；
（2）化簡求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義求得m的值，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義直接計算得到答案.
（2）利用誘導公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡化簡整理為齊次式，然后切化弦得到原式等于，計算得到答案.
【小問1詳解】
終邊經(jīng)過點，故，解得，.
【小問2詳解】
.
19. 已知函數(shù)，（，，）的一段圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在上的遞減區(qū)間．
【答案】（1）；（2）遞減區(qū)間，．
【解析】
【分析】（1）首先求出、，再求出即可得到函數(shù)解析式；
（2）首先求出函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間，再取交集即可；
【詳解】解：（1）由圖可知，，
因為，所以，
，
由，，，得．
所以；
（2）由，得
，又因為，
所以，
所以函數(shù)在上的遞減區(qū)間，．
【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題.
20. 已知是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（3）若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）單調(diào)遞增，證明見解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)定義，列式計算作答.
（2）判斷單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性定義按步驟推理作答.
（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性脫去法則“f”，再分離參數(shù)求出最值作答.
【小問1詳解】
因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，則有，解得，
此時，，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以.
小問2詳解】
函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
任意，，
因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，則有，即有，即，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由（2）知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又是R上的奇函數(shù)，
不等式恒成立，等價于，
即恒成立，而，當且僅當時取等號，則，
所以實數(shù)k的取值范圍是.
21. 年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強的“德爾塔”、“拉姆達”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松．某科研機構(gòu)對某變異毒株在一特定環(huán)境下進行觀測，每隔單位時間進行一次記錄，用表示經(jīng)過單位時間的個數(shù)，用表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬個，得到如下觀測數(shù)據(jù)：
若該變異毒株的數(shù)量單位：萬個與經(jīng)過個單位時間的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．
參考數(shù)據(jù)：，，，
（1）判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；
（2）求至少經(jīng)過多少個單位時間該病毒的數(shù)量不少于億個．
【答案】（1）選擇函數(shù)更合適，解析式為
（2）11個
【解析】
【分析】（1）將，和，分別代入兩種模型求解解析式，再根據(jù)的值，即可判斷；
（2）設至少需要x個單位時間，則，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．
【小問1詳解】
若選，
將，和，代入可得，，解得，
故，
將代入，，不符合題意；
若選，
將，和，代入可得，，解得，
故，
將代入可得，，符合題意；
綜上所述，選擇函數(shù)更合適，解析式為
【小問2詳解】
設至少需要x個單位時間，
則，即，兩邊同時取對數(shù)可得，，
則，
，
的最小值為11，
故至少經(jīng)過11個單位時間該病毒的數(shù)量不少于1億個．
22. 已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a取值范圍；
（3）設，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)m取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，代入計算可得；
（2）根據(jù)單調(diào)性得，分離參數(shù)求最值即可.
（3）因為對任意的，存在，使得，等價于，先求的最小值，再分類討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，使的最小值滿足小于等于1的條件，求解即可.
【小問1詳解】
由題意知，，
即，所以，
故.
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以不等式恒成立等價于，
即恒成立.
設，則，，當且僅當，即時取等號，
所以，
故實數(shù)a的取值范圍是.
【小問3詳解】
因為對任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因為在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
又的對稱軸為，，
當時，在上單調(diào)遞增，，解得，
所以；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，所以；
當時，在上單調(diào)遞減，，解得，
所以，
綜上可知，實數(shù)m的取值范圍是.
萬個

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