1. 直線的傾斜角（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圓關(guān)于直線對稱，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
3. 兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A，則C的長軸長為（ ）
A 4B. C. 3D. 2
6. 已知直線：，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（ ）
A. B. C. 5D. 10
7. 若直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：若動點(diǎn)與兩定點(diǎn)A，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若，，點(diǎn)滿足，則直線與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為
B. 直線必過定點(diǎn)
C. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為
D. 過兩點(diǎn)的所有直線的方程為
10. 已知直線，，則（ ）
A. 當(dāng)時，直線一個方向向量為
B. 若與相互平行，則或
C 若，則
D. 若不經(jīng)過第二象限，則
11. 已知直線：，圓C：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與直線平行且與圓C相切的直線方程為
B. 點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為M，則的最小值為2
C. 點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C上，則的最小值為
D. 若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓的方程為：
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的頂點(diǎn)，則邊上的中線所在的直線方程是_______________．
13. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，則__________．
14. 已知圓和圓，過動點(diǎn)分別作圓，圓的切線，（A，為切點(diǎn)），且，則的最大值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)；
（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，.
16. 已知圓的圓心為，一條直徑的兩個端點(diǎn)分別在x軸和y軸上.
（1）求圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.
17. 如圖，在三棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，，.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.
18. 已知點(diǎn)，動點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)距離的倍．
（1）動點(diǎn)的軌跡為曲線，求的方程；
（2）設(shè)直線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長度取得最小值時，求弦的長度和直線的方程．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，給定直線：與直線：，定義點(diǎn)到這兩條直線“折線距離”為或.其中表示點(diǎn)P到直線的距離，是點(diǎn)關(guān)于直線的鏡像點(diǎn)（即過點(diǎn)作直線的垂線，垂足即為點(diǎn)），表示點(diǎn)到直線的距離.
（1）求點(diǎn)到直線與直線的“折線距離”；
（2）若動點(diǎn)滿足，，且點(diǎn)到直線與直線的“折線距離”，證明：動點(diǎn)在某定直線上，并求出該定直線的方程
2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】將直線方程化成斜截式，再根據(jù)斜率得到傾斜角.
【詳解】化成斜截式為，所以直線斜率，直線傾斜角，且，則.
故選：D.
2. 已知圓關(guān)于直線對稱，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【正確答案】C
【分析】由題得圓心在直線上，列方程求解即可.
【詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為，
因為圓關(guān)于直線對稱，
所以圓心在直線上，所以，解得.
故選：C
3. 兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】B
【分析】根據(jù)兩平行直線的公式計算即可.
【詳解】因為直線和平行，
所以，所以，
所以兩平行直線分別為和，
所以兩平行線間的距離為.
故選：B.
4. 已知橢圓：左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得，且，再利用兩點(diǎn)距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.
【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點(diǎn)，則，且，
又，，
則
由于，所以，
于是可得，，所以橢圓C的離心率.
故選：B.
5. 已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A，則C的長軸長為（ ）
A. 4B. C. 3D. 2
【正確答案】A
【分析】根據(jù)傾斜角，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解.
【詳解】的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)1,0，故其傾斜角為，因此,
由于，所以，所以，
故，故長軸長為,
故選：A
6. 已知直線：，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（ ）
A. B. C. 5D. 10
【正確答案】B
【分析】根據(jù)直線方程，可得直線過定點(diǎn)，即可求出結(jié)果.
【詳解】直線：，即，
由，得到，所以直線過定點(diǎn)，
當(dāng)直線垂直于直線時，距離最大，此時最大值為，
故選：B.
7. 若直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點(diǎn)的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．
【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點(diǎn)的直線，
由曲線，可得，
所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當(dāng)直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，
由圖可得，即的取值范圍是．
故選：B．
8. 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：若動點(diǎn)與兩定點(diǎn)A，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若，，點(diǎn)滿足，則直線與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 1或2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意求出M的軌跡方程，發(fā)現(xiàn)直線l恒過圓上一點(diǎn)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)，則，
化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，表示的是以為圓心，2為半徑的圓，
而直線恒經(jīng)過圓上的點(diǎn)，故直線與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)個數(shù)是1或2.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為
B. 直線必過定點(diǎn)
C. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為
D. 過兩點(diǎn)所有直線的方程為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)時，滿足題意，可判定A錯誤；根據(jù)直線系方程過定點(diǎn)，可判定B正確；根據(jù)時，此時直線的斜率不存在，可判定C錯誤；根據(jù)直線的方程，分類討論，可判定D正確.
【詳解】對于A中：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于時，直線過原點(diǎn)，
可設(shè)直線方程為，又直線過點(diǎn)，則，即，
此時直線方程為，滿足題意，所以A錯誤；
對于B中：直線可化為，由方程組，解得，
即直線必過定點(diǎn)，所以B正確；
對于C中，當(dāng)傾斜角時，此時直線的斜率不存在，無意義，所以C錯誤；
對于D中，由兩點(diǎn)，
當(dāng)時，此時過兩點(diǎn)的所有直線的方程為，即，
當(dāng)時，此時過兩點(diǎn)的所有直線的方程為或，適合上式，
所以過兩點(diǎn)的所有直線的方程為，所以D正確.
故選：AC.
10. 已知直線，，則（ ）
A. 當(dāng)時，直線的一個方向向量為
B. 若與相互平行，則或
C. 若，則
D. 若不經(jīng)過第二象限，則
【正確答案】CD
【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將直線方程化簡可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對A，當(dāng)時，，斜率為，則其一個方向向量為，
，A錯誤；
對B，若與相互平行，則，解得或，
當(dāng)時，與重合，B錯誤；
對C，若，則，解得，故C正確；
對D，若不經(jīng)過第二象限，，即，
則，解得，D正確.
故選：CD
11. 已知直線：，圓C：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與直線平行且與圓C相切的直線方程為
B. 點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為M，則的最小值為2
C. 點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C上，則的最小值為
D. 若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓的方程為：
【正確答案】BD
【分析】運(yùn)用直線與圓相切的條件即可判斷選項A；根據(jù)切線長，將所求問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可判斷選項B；要使PQ最小，只需最小即可，利用選項B即可判斷選項C；利用點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱即可判斷選項D.
【詳解】對于選項A，因為直線：，
設(shè)與直線平行的直線為：，圓：，
圓心，因為直線圓C相切，
則圓心到直線的距離，
解得，所以與直線平行且與圓C相切的直線方程為，
所以A錯誤；
對于選項B，因為點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則，
所以在中，，
要使最小，只需最小，因為點(diǎn)在直線上，圓心，
則的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，
即，，所以B正確；
對于選項C，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C上，圓心，要使PQ最小，
只需直線過圓心，則，只需最小，由選項B知，，
則，所以C錯誤；
對于選項D，圓與圓關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，設(shè)，
因為直線斜率為，直線與直線垂直，則，
又的中點(diǎn)在直線上，
所以，解得，所以，
則圓的方程為：，所以D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的頂點(diǎn)，則邊上的中線所在的直線方程是_______________．
【正確答案】
【分析】求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般方程；
【詳解】中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
所以邊上的中線所在的直線方程是：，
整理得.
故
13. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，則__________．
【正確答案】16
【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦距的定義即可求解.
【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，焦點(diǎn)在軸上，
，
，
故16．
14. 已知圓和圓，過動點(diǎn)分別作圓，圓的切線，（A，為切點(diǎn)），且，則的最大值為______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意得出P的軌跡方程，結(jié)合圖像即可求解.
【詳解】
如圖，連接，因為，與圓相切，
所以，
設(shè)，所以，
整理得，所以在以為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動，
，當(dāng)且僅當(dāng)在時等號成立，
所以答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)；
（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；
（2）設(shè)橢圓的方程為，再利用待定系數(shù)法求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的焦距為，長軸長為，短軸長為，
則，且焦點(diǎn)在軸上，
，
所以，
所以橢圓方程為；
【小問2詳解】
設(shè)橢圓的方程為，
則，解得，
所以橢圓方程為.
16. 已知圓的圓心為，一條直徑的兩個端點(diǎn)分別在x軸和y軸上.
（1）求圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）或者
【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出兩端點(diǎn)坐標(biāo)，得到半徑，寫出圓的方程.
（2）切線方程先討論直線斜率是否存在，斜率存在即可設(shè)出直線，用圓心到直線距離等于半徑得到等量關(guān)系，從而計算出直線方程.
【小問1詳解】
設(shè)圓的直徑的兩個端點(diǎn)分別為，，
∴為中點(diǎn)，則，則，
∴直徑，∴，
故圓.
【小問2詳解】
當(dāng)斜率不存在時，直線：，顯然不是切線，舍去；
當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線：，整理得：
圓心到直線距離，
∵直線時切線，∴
∴，解得：
∴直線：或者.
17. 如圖，在三棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，，.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）通過已知條件證明、，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；
（2）取的中點(diǎn)，通過平行關(guān)系可知異面直線所成角為或其補(bǔ)角，根據(jù)余弦定理求解出的值，則異面直線所成角的余弦值可求.
【詳解】（1）證明：連接，
∵，，∴.
∵，，∴.
在中，由已知可得：，，而，
∴，∴，即.
∵，∴平面；
（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，，
由為的中點(diǎn)知，，
∴直線與直線所成的銳角就是異面直線與所成的角.
在中，，，
∵是斜邊上的中線，
∴，∴，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
18. 已知點(diǎn)，動點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)距離的倍．
（1）動點(diǎn)的軌跡為曲線，求的方程；
（2）設(shè)直線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長度取得最小值時，求弦的長度和直線的方程．
【正確答案】（1）
（2），
【分析】（1）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出方程，化簡可得答案；
（2）分離參數(shù)，求出直線所過定點(diǎn)E，確定當(dāng)直線l和直線垂直時，的長度取得最小值，結(jié)合圓的弦長的求解，即可求得弦的長度，結(jié)合直線的垂直關(guān)系即可求得直線的方程．
【小問1詳解】
設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由,
得，即，
即，
即的方程為；
【小問2詳解】
直線，即，
由于，故令，解得，
即直線l過定點(diǎn)，設(shè)為，由于，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，
即直線l和圓相交，
當(dāng)直線l和直線垂直時，的長度取得最小值，
由于，故，圓半徑為，
故的長度的最小值為.
又的斜率為，故此時直線l的斜率為3，
則直線l的方程為，即.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，給定直線：與直線：，定義點(diǎn)到這兩條直線的“折線距離”為或.其中表示點(diǎn)P到直線的距離，是點(diǎn)關(guān)于直線的鏡像點(diǎn)（即過點(diǎn)作直線的垂線，垂足即為點(diǎn)），表示點(diǎn)到直線的距離.
（1）求點(diǎn)到直線與直線的“折線距離”；
（2）若動點(diǎn)滿足，，且點(diǎn)到直線與直線的“折線距離”，證明：動點(diǎn)在某定直線上，并求出該定直線的方程.
【正確答案】（1）7 （2）,證明見解析
【分析】（1）先求得坐標(biāo)，由點(diǎn)到線的距離公式即可求解；
（2）求得在上的鏡像點(diǎn)，再結(jié)合即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，由題意可得：解得：
所以
【小問2詳解】
設(shè)在直線的鏡像點(diǎn)，
由題意可得：解得：，
所以
又，
所以
所以，
所以動點(diǎn)在定直線上

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