命題人：蔡云清 審題人：王京臣 總分：150分 時(shí)量：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.命題“，”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A.B.C.D.
3.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在A，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)中去掉后，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平方和變大
C.變量x，y正相關(guān)D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
4.已知，，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列不等式正確的是（ ）
A.B.C.D.
5.函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（ ）
A.B.C.D.
6.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小.其中叫做信噪比，當(dāng)信噪比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至6000，則C的增長率為（ ）（，）
A. 10%B. 16%C. 26%D. 33%
7.若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
8.已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則x的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列命題正確的是（ ）
A.若A，B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，，則A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)
B.決定系數(shù)越大的模型，擬合的效果越好
C.回歸直線至少會經(jīng)過其中一個(gè)樣本點(diǎn)
D.以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則a，b的值分別為2，6
10.已知，則以下不等式成立的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知函數(shù)，的定義域均為，，是偶函數(shù)，且，若，則（ ）
A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.計(jì)算______.
13.若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為______.
14.已知x，滿足，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù).
（1）若不等式解集為時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
16.（15分）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，.
（1）求實(shí)數(shù)k的值和解析式；
（2）判斷的奇偶性，并用定義證明；
（3）直接寫出的單調(diào)遞減區(qū)間，并求不等式的解集.
17.（15分）已知函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求b的值和函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）若不等式對于任意的上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
18.（17分）產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命線，為提高產(chǎn)品質(zhì)量.企業(yè)非常重視產(chǎn)品生產(chǎn)線的質(zhì)量，某企業(yè)引進(jìn)了生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的A，B兩條生產(chǎn)線，為比較兩條生產(chǎn)線的質(zhì)量，從A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各自隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，把產(chǎn)品等級結(jié)果和頻數(shù)制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖.
（1）請完成列聯(lián)表：并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析一級品率是否與生產(chǎn)線有關(guān)？
（2）生產(chǎn)一件一級品可盈利100元，生產(chǎn)一件二級品可盈利50元，生產(chǎn)一件三級品則虧損20元，以頻率估計(jì)概率.
①分別估計(jì)A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤；
②你認(rèn)為哪條生產(chǎn)線的利潤較為穩(wěn)定？并說明理由.
附：①參考公式：，其中.
②臨界表值：
19.對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若.
（1）已知，，試寫出、的表達(dá)式；
（2）設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若，存在最小正整數(shù)k，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的k，如果不是，請說明理由.
2023-2024-2 麓山國際 高二4月學(xué)情檢測
數(shù)學(xué)答案
命題人：蔡云清 審題人：王京臣 總分：150分 時(shí)量：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?故選B.
2.【答案】A
【詳解】命題“，”為假命題，
則，解得，
對于A，能推出，反之不成立，故A正確；
對于B，不能推出，反之成立，故B不正確；
對于C，不能推出，反之成立，故C不正確；
對于D，能推出，反之成立，故D不正確.
所以命題“，”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是.
故選：A
3.【答案】B
【詳解】觀察散點(diǎn)圖知，變量x，y呈線性相關(guān)，點(diǎn)D偏離回歸直線較遠(yuǎn)，去掉后：
對于A，相關(guān)性變強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r變大，A正確；
對于B，殘差平方和變小，B錯(cuò)誤；
對于C，散點(diǎn)的分布是從左下到右上，因此變量x，y正相關(guān)，C正確；
對于D，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，D正確.
故選：B
4.【答案】D
【詳解】因?yàn)?，?br>，
，
所以，
故選：D
5.【答案】C
【詳解】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，可排除B、D，
，
∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)A.
故選：C.
6.【答案】C
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
∴C的增長率約為26%.
故選：C
7.【答案】B
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，無最大值；
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合題意可得，解得，，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
故選：B
8.【答案】A
【詳解】令，則，，原函數(shù)化為，
令，顯然，
即函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)，，都是R上的增函數(shù)，
因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，不等式
，
則，
于是，解得，
所以x的取值范圍是.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.【答案】BD
【詳解】對于A，因?yàn)?，即A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較弱，故A錯(cuò)誤；
對于B，決定系數(shù)越大則殘差平方和越小，則其擬合的效果越好，故B正確；
對于C，回歸直線不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D，由，得，，，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
10.【答案】ABD
【詳解】當(dāng)，所以，則，
當(dāng)時(shí)可得，所以，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上可得，故A正確；
因?yàn)?，即，故B正確；
取、滿足，但是，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故D正確.
故選：ABD
11.【答案】ABC
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，
所以，
所以.
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，所以，所以，故A正確；
由，得，
兩式相減得，所以，
又，所以，即，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；
，所以是以6為周期的周期函數(shù)，
所以，故C正確；
，D不正確.
故選：ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
【詳解】.
13.【答案】12
【詳解】原方程可化為，設(shè)，則原方程可化為.
設(shè)方程的兩根為，，則，.
由已知a，b是原方程的兩個(gè)根.
可令，，則，
.
故答案為：12.
14.【答案】4
【詳解】設(shè)，則為往右平移兩個(gè)單位得來.
又為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且關(guān)于對稱.
故為單調(diào)遞增的函數(shù)且關(guān)于對稱.
又可知，關(guān)于對稱.故，
即.又對任意的，恒成立.
即恒成立.故判別式，得.故k的最小值為4.故答案為4.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【答案】（1）或；（2）.
【詳解】
（1）由題設(shè)，是的解集，
，整理得，解得或；……………………5分
（2）由題意，時(shí)恒成立，
當(dāng)時(shí)，則有恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則有，……………………9分
若，要使題設(shè)不等式恒成立，僅需即可，而上，
……………………11分
，解之得
綜上，……………………13分
16.【答案】（1），
（2）偶函數(shù)，證明見解析
（3）的單調(diào)遞減區(qū)間，
【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，在R上是奇函數(shù)，不滿足題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，在上是偶函數(shù)，
綜上，，……………………4分
（2），，
對于任意的，，
故是上的偶函數(shù)……………………8分
（3）因?yàn)椋?br>且，在上是單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增，
所以在上是單調(diào)遞減，……………………10分
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上是單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間，
所以由可得，所以，……………………13分
解得或，
所以不等式的解集為.……………………15分
17.【答案】（1）；
（2）
【詳解】（1）由得，
所以定義域?yàn)?，…………………?分
由是奇函數(shù)，則，
即，解得……………………3分
所以.經(jīng)檢驗(yàn)滿足
……………………4分
令，易知在單調(diào)遞減，則.
故，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤?分
（2），其中，
所以，即，所以，……………………9分
令，，，
則，……………………11分
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，
所以，所以……………………15分
18.【答案】（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為一級品率與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.05.
（2）①A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤分別為46元、50元；
②A生產(chǎn)線的利潤更為穩(wěn)定；答案見解析.
【詳解】解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可建立列聯(lián)表如下：
……………………2分
零假設(shè)為
：一級品率與生產(chǎn)線無關(guān)聯(lián).
計(jì)算得：，……………4分
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為一級品率與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.05.……………………6分
（2）A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級晶的概率分別為，，.
記A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X，則X的取值為100，50，，
其分布列為
……………………8分
B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級品的概率分別為，，.
記B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為Y，則Y的取值為100，50，，
其分布列為
……………………10分
①；
.
故A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤分別為46元、50元.……………………12分
②；……………………14分
.……………………16分
因?yàn)?，所以A生產(chǎn)線的利潤更為穩(wěn)定.……………………17分
19.【答案】（1）、
（2）
（3）是，
【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
則，……………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則.…………4分
（2）解：若與恰好為同一函數(shù)，只須在上是單調(diào)遞增，
……………………6分
當(dāng)時(shí)，令，則，
由，則，對稱軸，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在為單調(diào)遞增，故不成立.…………7分
當(dāng)時(shí)，令，由，則，只需，
化簡得，解得，
綜上所述a的取值范圍為……………………9分
（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，，……………………11分
所以，，……………………12分
當(dāng)時(shí)，，，；……………………13分
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，；……………………14分
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，……………………16分
綜上所述：
故是上的“k階收縮函數(shù)”，且小正整數(shù).……………………17分0.10
0.02
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
一級品
非一級品
合計(jì)
A生產(chǎn)線
20
80
100
B生產(chǎn)線
35
65
100
合計(jì)
55
145
200
X
100
50
P
Y
100
50
P

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