1. 的虛部為（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（ ）
B.
C. D.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B.
C. D.
4. 設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則的模為（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
5. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
6. 若和都為基底，則不可以為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)到直線的距離為，則（ ）
A 0B. 2C. 0或2D. 1或2
8. 在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
9. 已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 向量與向量的夾角為
B.
C. 向量在向量上投影向量為
D. 向量與向量，共面
10. 已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. D. 若，則
11. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）

A. 三棱錐體積為定值B. 直線平面
C. 當(dāng)時(shí)，D. 直線與平面所成角的正弦值為
三、填空題
12. 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)3＋3i，－2＋i，－5i，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
13. 如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為1的正方形，,則，兩點(diǎn)間的距離是______．
14. 某中學(xué)組織學(xué)生到一工廠開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，加工制作帳篷．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形（其中），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)四棱錐型的帳篷（如圖②）．該四棱錐底面是正方形，從頂點(diǎn)P向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________．
四、解答題
15 已知復(fù)數(shù)，．
（1）若是純虛數(shù)，求值；
（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．
16. 已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn).
（1）當(dāng)直線的傾斜角為銳角和鈍角時(shí)，分別求出的取值范圍；
（2）若直線的方向向量為，求的值.
17. 已知正三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在EF上，且EN=3NF，設(shè)．
（1）用向量表示向量；
（2）求PN與EB夾角的余弦值．
18. 已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.
（1）求證：為定值；
（2）若，求a的取值范圍．
19. 如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的正弦值；
（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.
2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
一、單選題
1. 的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)得，再根據(jù)虛部的定義即可求解．
【詳解】，則所求虛部為.
故選：A．
2. 如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（ ）
B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)直線的傾斜角的大小，即可判斷斜率大小.
【詳解】?jī)A斜角為銳角時(shí)，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，
所以.
故選：A
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，是滿足有這個(gè)軸的坐標(biāo)不變號(hào)，其它軸的坐標(biāo)變號(hào)，從而即可求解.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C.
4. 設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則的模為（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【正確答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)得出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用乘法除法計(jì)算即可得出復(fù)數(shù)，最后計(jì)算求模.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以,
所以.
故選：A.
5. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)的意義求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的乘除計(jì)算即可得到結(jié)果；
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，
所以，
又因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，
所以，
整理可得，解得，
所以，
所以，
故選：A.
6. 若和都為基底，則不可以為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】假設(shè)不能構(gòu)成一組基底，可知，依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)，確定是否有取值即可.
【詳解】若不是一組基底，則可設(shè)，
對(duì)于A，若，則，方程組無(wú)解，為基底，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，方程組無(wú)解，為基底，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，解得：，
不是一組基底，C正確；
對(duì)于D，若，則，方程組無(wú)解，為基底，D錯(cuò)誤.
故選：C.
7. 已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)到直線的距離為，則（ ）
A. 0B. 2C. 0或2D. 1或2
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，由空間中點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可求解.
【詳解】由題意得，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
解得或.
故選：C
8. 在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】選取為基底，將進(jìn)行分解，可表示出：，，，進(jìn)一步結(jié)合向量夾角公式即可求解.
【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)，使得，由題意點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），
選取為基底，由題意，
而，
從而，
，
，
所以，
設(shè)，因?yàn)?，所以，而?br>因?yàn)?br>，
設(shè)，則，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，的最小值為，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
故選：C.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是表示出：，，，進(jìn)一步得出，由此即可通過(guò)換元法得解.
二、多選題
9. 已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 向量與向量的夾角為
B.
C. 向量在向量上的投影向量為
D. 向量與向量，共面
【正確答案】ABD
【分析】利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯(cuò)誤，得出向量共面判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以，即B正確；
根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為
，所以C錯(cuò)誤；
由向量，，，可知，
向量與向量，共面， 所以D正確.
故選：ABD
10. 已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. D. 若，則
【正確答案】AC
【分析】設(shè)，，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等充要條件判斷A、C，利用特殊值判斷B、D.
【詳解】設(shè)，，則，，
對(duì)于A：因，所以，即，所以，故A正確；
對(duì)于B：令，，則，
但是，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>所以，故C正確；
對(duì)于D：令，，滿足，但是，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）

A. 三棱錐的體積為定值B. 直線平面
C. 當(dāng)時(shí)，D. 直線與平面所成角的正弦值為
【正確答案】AD
【分析】對(duì)于A，將三棱錐轉(zhuǎn)換成后易得其體積為定值；對(duì)于B，建系后，證明與平面的法向量不垂直即可排除B項(xiàng)；對(duì)于C，設(shè)出，利用證得，再計(jì)算，結(jié)果不為0，排除C項(xiàng)；對(duì)于D，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.
【詳解】
對(duì)于A，如圖1，因,故A正確；

對(duì)于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,
于是，，
設(shè)平面的法向量為，則，故可取，
由知 與不垂直，
故直線與平面不平行，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由上圖建系，則, ,
因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn),不妨設(shè)，則，，
由題意，，即，于是，
此時(shí)，故與不垂直，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由圖知平面的法向量可取為，因，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，故D正確.
故選：AD.
三、填空題
12. 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)3＋3i，－2＋i，－5i，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【正確答案】
【詳解】對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為zD－(3＋3i)，在平行四邊形ABCD中，＝，則zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，－3).
【考查意圖】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、向量的平行四邊形法則．
13. 如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為1的正方形，,則，兩點(diǎn)間的距離是______．
【正確答案】
【分析】由空間向量的線性運(yùn)算可得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，即為所求．
【詳解】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則，，
又，則，
因?yàn)?，由圖易知，，
所以
，
即，兩點(diǎn)間的距離是．
故．
14. 某中學(xué)組織學(xué)生到一工廠開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，加工制作帳篷．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形（其中），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)四棱錐型的帳篷（如圖②）．該四棱錐底面是正方形，從頂點(diǎn)P向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________．
【正確答案】
【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及的坐標(biāo)，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.
【詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
由題意可知，，
故．
設(shè)平面的法向量為，又，
則有即
令，可得平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)與平面的法向量的夾角為，
則，
則直線與平面所成角的正弦值為．
故
四、解答題
15. 已知復(fù)數(shù)，．
（1）若是純虛數(shù)，求的值；
（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由實(shí)部為且虛部不為列式求解；
（2）由實(shí)部小于0與虛部大于得到不等式組，求出的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
是純虛數(shù)，
故，解得.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
所以，解得，
故的取值范圍為2,3．
16. 已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn).
（1）當(dāng)直線的傾斜角為銳角和鈍角時(shí)，分別求出的取值范圍；
（2）若直線的方向向量為，求的值.
【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析．
（2）
【分析】（1）由斜率為正或?yàn)樨?fù)求解；
（2）由坐標(biāo)得方向向量，然后利用向量共線得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
直線的傾斜角為銳角時(shí)，，解得，
直線的傾斜角為鈍角時(shí)，，解得或，
所以直線的傾斜角為銳角時(shí)，，為鈍角時(shí)，或；
【小問(wèn)2詳解】
由已知，又直線的方向向量為，
所以，解得．
17. 已知正三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在EF上，且EN=3NF，設(shè)．
（1）用向量表示向量；
（2）求PN與EB夾角的余弦值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合空間向量基本定理求解，
（2）利用基底法表示向量，利用向量的夾角求解線線角即可.
【小問(wèn)1詳解】
由EN=3NF可得, 由F為BC的中點(diǎn)可得
,
所以
【小問(wèn)2詳解】
，
兩兩夾角為，模長(zhǎng)均為，所以，
所以
，
，
，
設(shè)求PN與EB夾角為，則
18. 已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.
（1）求證：為定值；
（2）若，求a的取值范圍．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)整理可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等分析運(yùn)算；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的定義和公式，結(jié)合運(yùn)算求解.
【小問(wèn)1詳解】
∵，則，
由復(fù)數(shù)相等，消去t得，
故為定值.
【小問(wèn)2詳解】
∵，且
∴，
又∵，即，則，整理得，
∴原不等式組即為，解得，
故a的取值范圍為.
19. 如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的正弦值；
（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
（3）
【分析】（1）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到平面.
（2）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．
（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以為平行四邊?
由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，
因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以且，
可得且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫?，，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.
依題意可得，.
，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，即，則
從而
由（2）知平面的法向量為，
由題意，，即，
整理得，解得或，
因?yàn)樗裕?
則N到平面的距離為.

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